Modální matice - Modal matrix

v lineární algebra, modální matice se používá v proces diagonalizace zahrnující vlastní čísla a vlastní vektory.^[1]

Konkrétně modální matice ${displaystyle M}$ pro matici ${displaystyle A}$ je n × n matice vytvořená s vlastními vektory ${displaystyle A}$ jako sloupce v ${displaystyle M}$. Používá se v transformace podobnosti

${displaystyle D = M ^ {- 1} AM,}$

kde ${displaystyle D}$ je n × n diagonální matice s vlastními hodnotami ${displaystyle A}$ na hlavní úhlopříčce ${displaystyle D}$ a nuly jinde. Matice ${displaystyle D}$ se nazývá spektrální matice pro ${displaystyle A}$. Vlastní čísla se musí zobrazovat zleva doprava, shora dolů ve stejném pořadí, v jakém jsou jejich vlastní vlastní vektory uspořádány zleva doprava ${displaystyle M}$.^[2]

Příklad

Matice

${displaystyle A = {egin {pmatrix} 3 & 2 & 0 2 & 0 & 0 1 & 0 & 2end {pmatrix}}}$

má vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory

${displaystyle lambda _ {1} = - 1, quad, mathbf {b} _ {1} = left (-3,6,1ight),}$

${displaystyle lambda _ {2} = 2, qquad mathbf {b} _ {2} = left (0,0,1ight),}$

${displaystyle lambda _ {3} = 4, qquad mathbf {b} _ {3} = left (2,1,1ight).}$

Diagonální matice ${displaystyle D}$, podobný na ${displaystyle A}$ je

${displaystyle D = {egin {pmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4end {pmatrix}}.}$

Jedna možná volba pro invertibilní matice ${displaystyle M}$ takhle ${displaystyle D = M ^ {- 1} AM,}$ je

${displaystyle M = {egin {pmatrix} -3 & 0 & 2 6 & 0 & 1 1 & 1 & 1end {pmatrix}}.}$^[3]

Všimněte si, že protože vlastní vektory nejsou jedinečné, a protože sloupce obou ${displaystyle M}$ a ${displaystyle D}$ mohou být zaměňovány, z toho vyplývá, že obojí ${displaystyle M}$ a ${displaystyle D}$ nejsou jedinečné.^[4]

Zobecněná modální matice

Nechat ${displaystyle A}$ být n × n matice. A zobecněná modální matice ${displaystyle M}$ pro ${displaystyle A}$ je n × n matice, jejíž sloupce, považované za vektory, tvoří a kanonický základ pro ${displaystyle A}$ a objeví se v ${displaystyle M}$ podle následujících pravidel:

• Všechno Jordanské řetězy skládající se z jednoho vektoru (tj. jednoho vektoru o délce) se objeví v prvních sloupcích ${displaystyle M}$.
• Všechny vektory jednoho řetězce se objevují společně v sousedních sloupcích ${displaystyle M}$.
• Každý řetězec se objeví v ${displaystyle M}$ v pořadí zvyšující se hodnosti (tj zobecněný vlastní vektor 1. úrovně se objeví před zevšeobecněným vlastním vektorem 2. úrovně stejného řetězce, který se objeví před zobecněným vlastním vektorem 3. úrovně stejného řetězce atd.).^[5]

Jeden to může ukázat

${displaystyle AM ​​= MJ,}$

(1)

kde ${displaystyle J}$ je matice v Jordan normální forma. Předběžným vynásobením ${displaystyle M ^ {- 1}}$, získáváme

${displaystyle J = M ^ {- 1} AM.}$

(2)

Všimněte si, že při výpočtu těchto matic platí rovnice (1) je nejjednodušší ze dvou rovnic ověřit, protože to nevyžaduje převrácení matice.^[6]

Příklad

Tento příklad ilustruje zobecněnou modální matici se čtyřmi Jordanovými řetězci. Bohužel je trochu obtížné vytvořit zajímavý příklad nízkého řádu.^[7]Matice

${displaystyle A = {egin {pmatrix} -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & -1 & -1 & -6 & 0 -2 & 0 & -1 & 2 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0$

má jednu vlastní hodnotu ${displaystyle lambda _ {1} = 1}$ s algebraická multiplicita ${displaystyle mu _ {1} = 7}$. Kanonický základ pro ${displaystyle A}$ bude sestávat z jednoho lineárně nezávislého zobecněného vlastního vektoru 3. úrovně (zobecněný vlastní vektor; viz zobecněný vlastní vektor ), dva z úrovně 2 a čtyři z úrovně 1; nebo ekvivalentně jeden řetězec tří vektorů ${displaystyle left {mathbf {x} _ {3}, mathbf {x} _ {2}, mathbf {x} _ {1} ight}}$, jeden řetězec dvou vektorů ${displaystyle left {mathbf {y} _ {2}, mathbf {y} _ {1} ight}}$a dva řetězce jednoho vektoru ${displaystyle left {mathbf {z} _ {1} ight}}$, ${displaystyle left {mathbf {w} _ {1} ight}}$.

„Téměř diagonální“ matice ${displaystyle J}$ v Jordan normální forma, podobný ${displaystyle A}$ se získá takto:

${displaystyle M = {egin {pmatrix} mathbf {z} _ {1} & mathbf {w} _ {1} & mathbf {x} _ {1} & mathbf {x} _ {2} & mathbf {x} _ {3} & mathbf {y} _ {1} & mathbf {y} _ {2} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a 0 1 a 0 & -1 a 0end {pmatrix}},}$

${displaystyle J = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0$

kde ${displaystyle M}$ je zobecněná modální matice pro ${displaystyle A}$, sloupce ${displaystyle M}$ jsou kanonickým základem pro ${displaystyle A}$, a ${displaystyle AM ​​= MJ}$.^[8] Všimněte si, že protože zobecněné vlastní vektory nejsou samy o sobě jedinečné, a protože některé ze sloupců obou ${displaystyle M}$ a ${displaystyle J}$ mohou být zaměňovány, z toho vyplývá, že obojí ${displaystyle M}$ a ${displaystyle J}$ nejsou jedinečné.^[9]

Poznámky

Reference

• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), První kurz v lineární algebře: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Maticové metody: Úvod, New York: Akademický tisk, LCCN  70097490
• Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a maticová teorie (2. vyd.), New York: Wiley, LCCN  76091646