Kanonický základ - Canonical basis

V matematice, a kanonický základ je základem algebraické struktury, která je kanonická v tom smyslu, že závisí na přesném kontextu:

V souřadnicovém prostoru a obecněji ve volném modulu odkazuje na standardní základ definováno Kroneckerova delta.
V polynomiálním kruhu odkazuje na jeho standardní základnu danou monomials, ${ displaystyle (X ^ {i}) _ {i}}$ .
Pro pole konečných rozšíření to znamená polynomiální základ.
v lineární algebra, odkazuje na soubor n lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory z n×n matice ${ displaystyle A}$ , pokud je sada složena výhradně z Jordanské řetězy.^[1]

Teorie reprezentace

V teorii reprezentace existuje několik základen, které se nazývají „kanonické“, například Lusztigův kanonický základ a úzce související Kashiwarův základ. krystalický základ v kvantových skupinách a jejich reprezentacích. Tyto základy tvoří obecný koncept:

Zvažte prsten integrálu Laurentovy polynomy ${ displaystyle { mathcal {Z}}: = mathbb {Z} [v, v ^ {- 1}]}$ se svými dvěma podřetězci ${ displaystyle { mathcal {Z}} ^ { pm}: = mathbb {Z} [v ^ { pm 1}]}$ a automorfismus ${ displaystyle { overline { cdot}}}$ definován ${ displaystyle { overline {v}}: = v ^ {- 1}}$ .

A prekanonická struktura zdarma ${ displaystyle { mathcal {Z}}}$ -modul ${ displaystyle F}$ skládá se z

A Standard základ ${ displaystyle (t_ {i}) _ {i v I}}$ z ${ displaystyle F}$ ,
Interval konečný částečná objednávka na ${ displaystyle I}$ , to znamená, ${ displaystyle (- infty, i]: = {j v I mid j leq i }}$ je konečný pro všechny ${ displaystyle i in I}$ ,
Operace dualizace, to znamená bijekce ${ displaystyle F až F}$ řádu dva, to je ${ displaystyle { overline { cdot}}}$ -semilineární a bude označen ${ displaystyle { overline { cdot}}}$ také.

Pokud je dána prekanonická struktura, lze definovat ${ displaystyle { mathcal {Z}} ^ { pm}}$ submodul ${ displaystyle F ^ { pm}: = součet { mathcal {Z}} ^ { pm} t_ {j}}$ z ${ displaystyle F}$ .

A kanonický základ v ${ displaystyle v = 0}$ prekanonické struktury je pak a ${ displaystyle { mathcal {Z}}}$ -základ ${ displaystyle (c_ {i}) _ {i v I}}$ z ${ displaystyle F}$ který splňuje:

${ displaystyle { overline {c_ {i}}} = c_ {i}}$ a
${ displaystyle c_ {i} in sum _ {j leq i} { mathcal {Z}} ^ {+} t_ {j} { text {and}} c_ {i} ekviv t_ {i} mod vF ^ {+}}$

pro všechny ${ displaystyle i in I}$ . A kanonický základ v ${ displaystyle v = infty}$ je analogicky definován jako základ ${ displaystyle ({ widetilde {c}} _ {i}) _ {i v I}}$ to uspokojuje

${ displaystyle { overline {{ widetilde {c}} _ {i}}} = { widetilde {c}} _ {i}}$ a
${ displaystyle { widetilde {c}} _ {i} in sum _ {j leq i} { mathcal {Z}} ^ {-} t_ {j} { text {and}} { widetilde {c}} _ {i} equiv t_ {i} mod v ^ {- 1} F ^ {-}}$

pro všechny ${ displaystyle i in I}$ . Pojmenování „na ${ displaystyle v = infty}$ „zmiňuje se o skutečnosti ${ displaystyle lim _ {v to infty} v ^ {- 1} = 0}$ a tedy „specializace“ ${ displaystyle v mapsto infty}$ odpovídá kvocientování vztahu ${ displaystyle v ^ {- 1} = 0}$ .

Dá se ukázat, že existuje maximálně jeden kanonický základ na proti = 0 (a nejvýše jeden v ${ displaystyle v = infty}$ ) pro každou prekanonickou strukturu. Postačující podmínkou pro existenci je, že polynomy ${ displaystyle r_ {ij} v { mathcal {Z}}}$ definován ${ displaystyle { overline {t_ {j}}} = součet _ {i} r_ {ij} t_ {i}}$ uspokojit ${ displaystyle r_ {ii} = 1}$ a ${ displaystyle r_ {ij} neq 0 znamená i leq j}$ .

Kanonický základ v proti = 0 ( ${ displaystyle v = infty}$ ) indukuje izomorfismus z ${ displaystyle textstyle F ^ {+} cap { overline {F ^ {+}}} = součet _ {i} mathbb {Z} c_ {i}}$ na ${ displaystyle F ^ {+} / vF ^ {+}}$ ( ${ displaystyle textstyle F ^ {-} cap { overline {F ^ {-}}} = sum _ {i} mathbb {Z} { widetilde {c}} _ {i} do F ^ {-} / v ^ {- 1} F ^ {-}}$ příslušně).

Příklady

Kvantové skupiny

Kanonický základ kvantových skupin ve smyslu Lusztiga a Kashiwary je kanonickým základem na ${ displaystyle v = 0}$ .

Hecke algebry

Nechat ${ displaystyle (W, S)}$ být Skupina coxeterů. Korespondence Iwahori-Hecke algebra ${ displaystyle H}$ má standardní základ ${ displaystyle (T_ {w}) _ {w ve W}}$ , skupina je částečně seřazena podle Bruhatův řád který je interval konečný a má operaci dualizace definovanou ${ displaystyle { overline {T_ {w}}}: = T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}}$ . Toto je prekanonická struktura na ${ displaystyle H}$ který splňuje dostatečnou podmínku výše a odpovídající kanonický základ ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle v = 0}$ je Kazhdan – Lusztig základ

{ displaystyle C_ {w} '= součet _ {y leq w} P_ {y, w} (v ^ {2}) T_ {w}}

s ${ displaystyle P_ {y, w}}$ být Kazhdan – Lusztigovy polynomy.

Lineární algebra

Pokud dostaneme n × n matice ${ displaystyle A}$ a chcete najít matici ${ displaystyle J}$ v Jordan normální forma, podobný na ${ displaystyle A}$ nás zajímají pouze sady lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory. Matice v Jordanově normální formě je „téměř diagonální matice“, tedy co nejblíže diagonále. A diagonální matice ${ displaystyle D}$ je speciální případ matice v Jordanově normální formě. An obyčejný vlastní vektor je zvláštní případ zobecněného vlastního vektoru.

Každý n × n matice ${ displaystyle A}$ má n lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory. Zobecněné vlastní vektory odpovídající odlišným vlastní čísla jsou lineárně nezávislé. Li ${ displaystyle lambda}$ je vlastní číslo z ${ displaystyle A}$ z algebraická multiplicita ${ displaystyle mu}$ , pak ${ displaystyle A}$ budu mít ${ displaystyle mu}$ lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory odpovídající ${ displaystyle lambda}$ .

Pro všechny dané n × n matice ${ displaystyle A}$ , existuje nekonečně mnoho způsobů, jak vybrat n lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory. Pokud jsou vybráni zvláště uvážlivým způsobem, můžeme to ukázat pomocí těchto vektorů ${ displaystyle A}$ je podobná matici v Jordanově normální formě. Zejména,

Definice: Sada n lineárně nezávislé zobecněné vlastní vektory je a kanonický základ pokud se skládá výhradně z jordánských řetězců.

Jakmile jsme tedy určili, že zobecněný vlastní vektor hodnost m je na kanonickém základě, z toho vyplývá, že m - 1 vektory ${ displaystyle mathbf {x} _ {m-1}, mathbf {x} _ {m-2}, ldots, mathbf {x} _ {1}}$ které jsou v řetězci Jordan generované ${ displaystyle mathbf {x} _ {m}}$ jsou také na kanonickém základě.^[2]

Výpočet

Nechat ${ displaystyle lambda _ {i}}$ být vlastním číslem ${ displaystyle A}$ algebraické multiplicity ${ displaystyle mu _ {i}}$ . Nejprve najděte hodnosti (maticové řady) matic ${ displaystyle (A- lambda _ {i} I), (A- lambda _ {i} I) ^ {2}, ldots, (A- lambda _ {i} I) ^ {m_ {i }}}$ . Celé číslo ${ displaystyle m_ {i}}$ je určen jako první celé číslo pro který ${ displaystyle (A- lambda _ {i} já) ^ {m_ {i}}}$ má hodnost ${ displaystyle n- mu _ {i}}$ (n je počet řádků nebo sloupců ${ displaystyle A}$ , to znamená, ${ displaystyle A}$ je n × n).

Nyní definujte

{ displaystyle rho _ {k} = operatorname {hodnost} (A- lambda _ {i} I) ^ {k-1} - operatorname {hodnost} (A- lambda _ {i} I) ^ {k} qquad (k = 1,2, ldots, m_ {i}).}

Proměnná ${ displaystyle rho _ {k}}$ označuje počet lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů hodnosti k (zobecněná vlastní řada; viz zobecněný vlastní vektor ) odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle lambda _ {i}}$ který se objeví na kanonickém základě pro ${ displaystyle A}$ . Všimněte si, že

{ displaystyle operatorname {rank} (A- lambda _ {i} I) ^ {0} = operatorname {rank} (I) = n.}

Jakmile určíme počet zobecněných vlastních vektorů každé hodnosti, které má kanonický základ, můžeme vektory explicitně získat (viz zobecněný vlastní vektor ).^[3]

Příklad

Tento příklad ilustruje kanonický základ se dvěma řetězci Jordan. Bohužel je trochu obtížné vytvořit zajímavý příklad nízkého řádu.^[4]Matice

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 end {pmatrix}}

má vlastní čísla ${ displaystyle lambda _ {1} = 4}$ a ${ displaystyle lambda _ {2} = 5}$ s algebraickými multiplicitami ${ displaystyle mu _ {1} = 4}$ a ${ displaystyle mu _ {2} = 2}$ , ale geometrické multiplicity ${ displaystyle gamma _ {1} = 1}$ a ${ displaystyle gamma _ {2} = 1}$ .

Pro ${ displaystyle lambda _ {1} = 4,}$ my máme ${ displaystyle n- mu _ {1} = 6-4 = 2,}$

{ displaystyle (A-4I)}

má hodnost 5,

{ displaystyle (A-4I) ^ {2}}

má hodnost 4,

{ displaystyle (A-4I) ^ {3}}

má hodnost 3,

{ displaystyle (A-4I) ^ {4}}

má hodnost 2.

Proto ${ displaystyle m_ {1} = 4.}$

{ displaystyle rho _ {4} = operatorname {rank} (A-4I) ^ {3} - operatorname {rank} (A-4I) ^ {4} = 3-2 = 1,}

{ displaystyle rho _ {3} = operatorname {rank} (A-4I) ^ {2} - operatorname {rank} (A-4I) ^ {3} = 4-3 = 1,}

{ displaystyle rho _ {2} = operatorname {rank} (A-4I) ^ {1} - operatorname {rank} (A-4I) ^ {2} = 5-4 = 1,}

{ displaystyle rho _ {1} = operatorname {rank} (A-4I) ^ {0} - operatorname {rank} (A-4I) ^ {1} = 6-5 = 1.}

Tedy kanonický základ pro ${ displaystyle A}$ bude mít, odpovídající ${ displaystyle lambda _ {1} = 4,}$ jeden generalizovaný vlastní vektor každé z řad 4, 3, 2 a 1.

Pro ${ displaystyle lambda _ {2} = 5,}$ my máme ${ displaystyle n- mu _ {2} = 6-2 = 4,}$

{ displaystyle (A-5I)}

má hodnost 5,

{ displaystyle (A-5I) ^ {2}}

má 4. pozici.

Proto ${ displaystyle m_ {2} = 2.}$

{ displaystyle rho _ {2} = operatorname {rank} (A-5I) ^ {1} - operatorname {rank} (A-5I) ^ {2} = 5-4 = 1,}

{ displaystyle rho _ {1} = operatorname {rank} (A-5I) ^ {0} - operatorname {rank} (A-5I) ^ {1} = 6-5 = 1.}

Tedy kanonický základ pro ${ displaystyle A}$ bude mít, odpovídající ${ displaystyle lambda _ {2} = 5,}$ jeden generalizovaný vlastní vektor každé z řad 2 a 1.

Kanonický základ pro ${ displaystyle A}$ je

{ displaystyle left { mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}, mathbf {x} _ {3}, mathbf {x} _ {4}, mathbf { y} _ {1}, mathbf {y} _ {2} right } = left {{ begin {pmatrix} -4 0 0 0 0 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} -27 - 4 0 0 0 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 25 - 25 - 2 0 0 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 0 36 - 12 - 2 2 - 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix } 3 2 1 1 0 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} -8 - 4 - 1 0 1 0 end {pmatrix}} doprava }.}

${ displaystyle mathbf {x} _ {1}}$ je obyčejný vlastní vektor spojený s ${ displaystyle lambda _ {1}}$ . ${ displaystyle mathbf {x} _ {2}, mathbf {x} _ {3}}$ a ${ displaystyle mathbf {x} _ {4}}$ jsou zobecněné vlastní vektory spojené s ${ displaystyle lambda _ {1}}$ . ${ displaystyle mathbf {y} _ {1}}$ je obyčejný vlastní vektor spojený s ${ displaystyle lambda _ {2}}$ . ${ displaystyle mathbf {y} _ {2}}$ je zobecněný vlastní vektor spojený s ${ displaystyle lambda _ {2}}$ .

Matice ${ displaystyle J}$ v Jordánsku normální forma, podobná ${ displaystyle A}$ se získá takto:

{ displaystyle M = { begin {pmatrix} mathbf {x} _ {1} & mathbf {x} _ {2} & mathbf {x} _ {3} & mathbf {x} _ {4} & mathbf {y} _ {1} & mathbf {y} _ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -4 & -27 & 25 & 0 & 3 & -8 0 & -4 & -25 & 36 & 2 & -4 0 & 0 & -2 & -12 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 end {pmatrix}},}

{ displaystyle J = { begin {pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 end {pmatrix}}

kde matice ${ displaystyle M}$ je zobecněná modální matice pro ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle AM = MJ}$ .^[5]

Viz také

Poznámky

^ Bronson (1970, str. 196)
^ Bronson (1970 196, 197)
^ Bronson (1970 197, str.
^ Nering (1970 122, 123)
^ Bronson (1970, str. 203)

Reference

Bronson, Richard (1970), Maticové metody: Úvod, New York: Akademický tisk, LCCN 70097490
Deng, Bangming; Ju, Jie; Parshall, Brian; Wang, Jianpan (2008), Konečné dimenzionální algebry a kvantové skupiny Matematické průzkumy a monografie 150„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 9780821875315
Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a teorie matic (2. vyd.), New York: Wiley, LCCN 76091646

[1] Bronson (1970, str. 196)

[2] Bronson (1970 196, 197)

[3] Bronson (1970 197, str.

[4] Nering (1970 122, 123)

[5] Bronson (1970, str. 203)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]