Jamessova věta - Jamess theorem - Wikipedia

v matematika, zejména funkční analýza, Jamesova věta, pojmenovaný pro Robert C. James, uvádí, že a Banachův prostor B je reflexní jen a jen pokud každý kontinuální lineární funkční na B dosáhne svého supremum na zavřeném jednotková koule v B.

Silnější verze věty uvádí, že a slabě uzavřený podmnožina C Banachova prostoru B je slabě kompaktní právě tehdy, když je každá spojitá lineární funkce zapnutá B dosahuje maxima na C.

Hypotézu o úplnosti věty nelze zrušit (James 1971 ).

Prohlášení

Prostor X považován za skutečný nebo složitý Banachův prostor. Jeho topologický dual je označen X ' . Topologická dvojice ℝ-Banachova prostoru byla odvozena z X jakýmkoli omezením bude skalární označen X ' ℝ . (Zajímavé je, pouze pokud X je vesmírné auto, protože pokud X je tedy ℝ-prostor X ' ℝ = X' .)

Kritérium Jamesovy kompaktnosti  - Nechte X být Banachovým prostorem a A slabě uzavřená neprázdná podmnožina X . Následující podmínky jsou ekvivalentní: * A je slabě kompaktní. * Pro každého F ∈ X ' , existuje prvek A z A takhle F ( A ) = sup {| F ( X ) | ; X ∈ A }. * Pro všechny F ∈ X ' ℝ , existuje prvek A z A takhle F ( A ) = sup {| F ( X ) | ; X ∈ A }. * Pro všechny F ∈ X ' ℝ , existuje prvek A z A takhle F ( A ) = sup { F ( X ); X ∈ A }.

Banachův prostor, který je reflexivní právě tehdy, když je jeho uzavřená jednotková koule slabě kompaktní, z toho vyvozuje, protože normou spojitého lineárního tvaru je horní mez jeho modulu na této kouli:

Jamesova věta  - Banachův prostor X je reflexivní právě tehdy, když pro všechny F ∈ X' , existuje prvek A z X jako ║ A ║ ≤ 1 a F ( A ) = ║ F ║.

Dějiny

Historicky byly tyto věty dokázány v obráceném pořadí. V roce 1957 James prokázal kritérium reflexivity pro oddělitelné Banachovy prostory a 1964 pro obecné Banachovy prostory. Protože reflexivita je ekvivalentní slabé kompaktnosti jednotkové sféry, Victor L. Klee to v roce 1962 přeformuloval jako kritérium kompaktnosti pro jednotkovou sféru a předpokládá, že toto kritérium charakterizuje jakékoli slabě kompaktní veličiny. To pak ve skutečnosti dokázal RC James v roce 1964.

Viz také

Reference

  • James, Robert C. (1957), „Reflexivita a převaha lineárních funkcionálů“, Ann. matematiky., 66 (1): 159–169, doi:10.2307/1970122, JSTOR  1970122, PAN  0090019
  • James, Robert C. (1964), „Slabě kompaktní sady“, Trans. Amer. Matematika. Soc.Americká matematická společnost, 113 (1): 129–140, doi:10.2307/1994094, JSTOR  1994094, PAN  0165344.
  • James, Robert C. (1971), „Protiklad supor věty v normovaném prostoru“, Israel J. Math., 9 (4): 511–512, doi:10.1007 / BF02771466.
  • James, Robert C. (1972), „Reflexivita a podpora lineárních funkcionálů“, Israel J. Math., 13 (3–4): 289–300, doi:10.1007 / BF02762803, PAN  0338742.
  • Megginson, Robert E. (1998), Úvod do Banachovy teorie prostoru, Postgraduální texty z matematiky, 183, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98431-3