Vincentysovy vzorce - Vincentys formulae - Wikipedia

Vincentyho vzorce jsou dva příbuzné iterační metody použito v geodézie vypočítat vzdálenost mezi dvěma body na povrchu sféroidu, vyvinutou Thaddeus Vincenty (1975a). Jsou založeny na předpokladu, že postava Země je zploštělý sféroid, a proto jsou přesnější než metody, které předpokládají a sférický Země, jako je vzdálenost velkého kruhu.

První (přímá) metoda počítá umístění bodu, který je danou vzdáleností a azimut (směr) z jiného bodu. Druhá (inverzní) metoda počítá zeměpisná vzdálenost a azimut mezi dvěma danými body. Byly široce používány v geodézii, protože jsou přesné s přesností na 0,5 mm (0,020 v) na Země elipsoid.

Pozadí

Vincentyho cílem bylo vyjádřit existující algoritmy pro geodetika na elipsoidu ve formě, která minimalizovala délku programu (Vincenty 1975a). Jeho nepublikovaná zpráva (1975b) zmiňuje použití a Wang 720 stolní kalkulačka, která měla jen pár kilobajtů paměti. Pro získání dobré přesnosti pro dlouhé tratě používá řešení klasické řešení Legendre (1806), Bessel (1825) a Helmert (1880) založené na pomocné sféře. Vincenty se spoléhal na formulaci této metody dané Rainsfordem, 1955. Legendre ukázal, že elipsoidní geodetika může být přesně namapována na velký kruh na pomocné sféře mapováním zeměpisné šířky na zmenšenou šířku a nastavením azimutu velkého kruhu rovného této geodetické. Zeměpisná délka na elipsoidu a vzdálenost podél geodetiky jsou pak dány pomocí zeměpisné délky na kouli a délky oblouku podél velké kružnice pomocí jednoduchých integrálů. Bessel a Helmert poskytli pro tyto integrály rychle konvergující řady, které umožňují výpočet geodetiky s libovolnou přesností.

Aby se minimalizovala velikost programu, vzal Vincenty tyto řady a znovu je rozšířil pomocí prvního členu každé řady jako malého parametru,^{[je zapotřebí objasnění ]} a zkrátil je na ${ displaystyle O (f ^ {3})}$. Výsledkem byly kompaktní výrazy pro integrály délky a vzdálenosti. Výrazy byly vloženy Horner (nebo vnořené), protože to umožňuje vyhodnocení polynomů pouze pomocí jediného dočasného registru. Nakonec byly k řešení implicitních rovnic v přímých a inverzních metodách použity jednoduché iterační techniky; i když jsou pomalé (a v případě inverzní metody to někdy nekonverguje), mají za následek nejmenší zvětšení velikosti kódu.

Zápis

Definujte následující zápis:

Inverzní problém

Vzhledem k souřadnicím dvou bodů (Φ₁, L₁) a (Φ₂, L₂), inverzní problém najde azimuty α₁, α₂ a elipsoidní vzdálenost s.

Vypočítat U₁, U₂ a La nastavte počáteční hodnotu λ = L. Pak iterativně vyhodnoťte následující rovnice do λ konverguje:

${ displaystyle sin sigma = { sqrt { left ( cos U_ {2} sin lambda right) ^ {2} + left ( cos U_ {1} sin U_ {2} - sin U_ {1} cos U_ {2} cos lambda right) ^ {2}}}}$

${ displaystyle cos sigma = sin U_ {1} sin U_ {2} + cos U_ {1} cos U_ {2} cos lambda ,}$

${ displaystyle sigma = operatorname {arctan2} left ( sin sigma, cos sigma right)}$^[1]

${ displaystyle sin alpha = { frac { cos U_ {1} cos U_ {2} sin lambda} { sin sigma}}}$^[2]

${ displaystyle cos left (2 sigma _ { text {m}} right) = cos sigma - { frac {2 sin U_ {1} sin U_ {2}} { cos ^ {2} alpha}} = cos sigma - { frac {2 sin U_ {1} sin U_ {2}} {1- sin ^ {2} alpha}}}$^[3]

${ displaystyle C = { frac {f} {16}} cos ^ {2} alpha left [4 + f left (4-3 cos ^ {2} alpha right) right]}$

${ displaystyle lambda = L + (1-C) f sin alpha left { sigma + C sin sigma left [ cos left (2 sigma _ { text {m}} vpravo ) + C cos sigma left (-1 + 2 cos ^ {2} left (2 sigma _ { text {m}} right) right) right] right }}$

Když λ konvergoval na požadovaný stupeň přesnosti (10⁻¹² odpovídá přibližně 0,06 mm), vyhodnotit následující:

${ displaystyle { begin {aligned} u ^ {2} & = cos ^ {2} alpha left ({ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}} } right) A & = 1 + { frac {u ^ {2}} {16384}} left (4096 + u ^ {2} left [-768 + u ^ {2} left (320- 175u ^ {2} right) right] right) B & = { frac {u ^ {2}} {1024}} left (256 + u ^ {2} left [-128 + u ^ {2} left (74-47u ^ {2} right) right] right) Delta sigma & = B sin sigma left { cos (2 sigma _ { text { m}}) + { frac {1} {4}} B vlevo ( cos sigma vlevo [-1 + 2 cos ^ {2} vlevo (2 sigma _ { text {m}}) right) right] - { frac {B} {6}} cos left [2 sigma _ { text {m}} right] left [-3 + 4 sin ^ {2} sigma right] left [-3 + 4 cos ^ {2} left (2 sigma _ { text {m}} right) right] right) right } s & = bA ( sigma - Delta sigma) , alpha _ {1} & = operatorname {arctan2} left ( cos U_ {2} sin lambda, cos U_ {1} sin U_ {2 } - sin U_ {1} cos U_ {2} cos lambda right) alpha _ {2} & = operatorname {arctan2} left ( cos U_ {1} sin lambda, - sin U_ {1} cos U_ {2} + cos U_ {1} sin U_ {2} cos lambda right) end {zarovnáno}}}$

Mezi dvěma téměř antipodálními body může selhat konverze iteračního vzorce; k tomu dojde, když první odhad na λ jak je vypočítáno výše uvedenou rovnicí, je větší než π v absolutní hodnotě.

Přímý problém

Vzhledem k počátečnímu bodu (Φ₁, L₁) a počáteční azimut, α₁a vzdálenost, s, podél geodetické je problém najít koncový bod (Φ₂, L₂) a azimut, α₂.

Začněte výpočtem následujícího:

${ displaystyle { begin {aligned} U_ {1} & = arctan left [(1-f) tan phi _ {1} right] sigma _ {1} & = operatorname {arctan2 } left ( tan U_ {1}, cos alpha _ {1} right) sin alpha & = cos U_ {1} sin alpha _ {1} u ^ {2 } & = cos ^ {2} alpha left ({ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} right) = left (1- sin ^ {2} alpha right) left ({ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} right) A & = 1 + { frac {u ^ {2}} {16384}} vlevo (4096 + u ^ {2} vlevo [-768 + u ^ {2} (320-175u ^ {2}) vpravo] vpravo) B & = { frac {u ^ {2}} {1024}} vlevo (256 + u ^ {2} vlevo [-128 + u ^ {2} vlevo (74-47u ^ {2} vpravo) vpravo) vpravo) end {zarovnáno}}}$

Poté pomocí počáteční hodnoty ${ displaystyle sigma = { tfrac {s} {bA}}}$, opakujte následující rovnice, dokud nedojde k významné změně v σ:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 2 sigma _ { text {m}} & = 2 sigma _ {1} + sigma Delta sigma & = B sin sigma doleva { cos left (2 sigma _ { text {m}} right) + { frac {1} {4}} B left ( cos sigma left [-1 + 2 cos ^ {2} left (2 sigma _ { text {m}} right) right] - { frac {B} {6}} cos left [2 sigma _ { text {m}} right] left [-3 + 4 sin ^ {2} sigma right] left [-3 + 4 cos ^ {2} left (2 sigma _ { text {m}} right) right ] right) right } sigma & = { frac {s} {bA}} + Delta sigma end {zarovnáno}}}$

Jednou σ se získá s dostatečnou přesností vyhodnotit:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} phi _ {2} & = operatorname {arctan2} left ( sin U_ {1} cos sigma + cos U_ {1} sin sigma cos alfa _ {1}, (1-f) { sqrt { sin ^ {2} alpha + left ( sin U_ {1} sin sigma - cos U_ {1} cos sigma cos alpha _ {1} right) ^ {2}}} right) lambda & = operatorname {arctan2} left ( sin sigma sin alpha _ {1}, cos U_ {1} cos sigma - sin U_ {1} sin sigma cos alpha _ {1} vpravo) C & = { frac {f} {16}} cos ^ {2} alpha vlevo [4 + f levý (4-3 cos ^ {2} alfa pravý) pravý] L & = lambda - (1-C) f sin alfa levý { sigma + C sin sigma left ( cos left [2 sigma _ { text {m}} right] + C cos sigma left [-1 + 2 cos ^ {2} left (2 sigma _ { text {m}} right) right] right) right } L_ {2} & = L + L_ {1} alpha _ {2} & = operatorname {arctan2} left ( sin alpha, - sin U_ {1} sin sigma + cos U_ {1} cos sigma cos alpha _ {1} right) end {zarovnáno}}}$

Pokud je počáteční bod na severním nebo jižním pólu, pak je první rovnice neurčitá. Pokud je počáteční azimut na východ nebo na západ, pak je druhá rovnice neurčitá. Pokud má dvojnásobnou hodnotu atan2 použije se funkce typu, pak se s těmito hodnotami obvykle zachází správně.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Vincentyho modifikace

Ve svém dopise Survey Review v roce 1976 Vincenty navrhl nahradit své výrazy řady pro A a B s jednoduššími vzorci pomocí parametru expanze Helmerta k₁:

${ displaystyle A = { frac {1 + { frac {1} {4}} {k_ {1}} ^ {2}} {1-k_ {1}}}}$

${ displaystyle B = k_ {1} left (1 - { frac {3} {8}} {k_ {1}} ^ {2} right)}$

kde

${ displaystyle k_ {1} = { frac {{ sqrt {1 + u ^ {2}}} - 1} {{ sqrt {1 + u ^ {2}}} + 1}}}$

Téměř antipodální body

Jak je uvedeno výše, iterativní řešení inverzního problému nedokáže konvergovat nebo konverguje pomalu pro téměř antipodální body. Příkladem pomalé konvergence je (Φ₁, L₁) = (0 °, 0 °) a (Φ₂, L₂) = (0,5 °, 179,5 °) pro elipsoid WGS84. To vyžaduje přibližně 130 iterací, aby byl výsledek přesný na 1 mm. V závislosti na tom, jak je implementována inverzní metoda, může algoritmus vrátit správný výsledek (19936288,579 m), nesprávný výsledek nebo indikátor chyby. Příklad nesprávného výsledku poskytuje NGS online nástroj, která vrací vzdálenost, která je příliš dlouhá asi 5 km. Vincenty v takových případech navrhl metodu urychlení konvergence (Rapp, 1973).

Příkladem selhání konverzní metody inverze je (Φ₁, L₁) = (0 °, 0 °) a (Φ₂, L₂) = (0,5 °, 179,7 °) pro elipsoid WGS84. V nepublikované zprávě Vincenty (1975b) poskytl alternativní iterativní schéma pro řešení takových případů. To konverguje ke správnému výsledku 19944127,421 m po přibližně 60 iteracích; v jiných případech je však vyžadováno mnoho tisíc iterací.

Newtonova metoda byl použit pro rychlou konvergenci pro všechny páry vstupních bodů (Karney, 2013).

Viz také

• Zeměpisná vzdálenost
• Velká kruhová vzdálenost
• Poledníkový oblouk
• Geodetika na elipsoidu
• Thaddeus Vincenty
• Geodézie

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Online kalkulačky z Geoscience Australia:
  • Vincenty Direct (cílový bod)
  • Vincenty inverzní (vzdálenost mezi body)
• Kalkulačky z Americký národní geodetický průzkum:
  • Online a stahovatelné počítačové výpočtové nástroje ke stažení, včetně dopředných (přímých) a inverzních problémů, ve dvou i třech rozměrech (přístup k 01.08.2011).
• Online kalkulačky se zdrojovým kódem JavaScriptu od Chrisa Venessa (licence Creative Commons Attribution):
  • Vincenty Direct (cílový bod)
  • Vincenty inverzní (vzdálenost mezi body)
• GeografickýLib poskytuje nástroj GeodSolve (s licencovaným zdrojovým kódem MIT / X11) pro řešení přímých a inverzních geodetických problémů. Ve srovnání s Vincenty je to asi 1000krát přesnější (chyba = 15 nm) a inverzní řešení je kompletní. Tady je online verze GeodSolve.
• Dokončete přímou a inverzní implementaci vzorců Vincenty pomocí zdrojového kódu, implementace Excel VBA od Tomasze Jastrzębského