Velká kruhová navigace - Great-circle navigation

Ortodromický kurz nakreslený na zemi světa.

Velká kruhová navigace nebo ortodromická navigace (související s ortodromický kurz; z řecký ορθóς, pravý úhel a δρóμος, cesta) je praxe navigace plavidlo (a loď nebo letadlo ) podél a velký kruh. Takové trasy přinášejí nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na světě.^[1]

Chod

Obrázek 1. Cesta velké kružnice mezi (φ₁, λ₁) a (φ₂, λ₂).

Cestu po velkém kruhu lze najít pomocí sférická trigonometrie; toto je sférická verze inverzní geodetický problémPokud navigátor začíná v P₁ = (φ₁, λ₁) a plánuje cestovat po velkém kruhu do bodu v bodě P₂ = (φ₂, λ₂) (viz obr. 1, φ je zeměpisná šířka, kladná na sever a λ je zeměpisná délka, kladná na východ), počáteční a konečný směr α₁ a α₂ jsou dány vzorce pro řešení sférického trojúhelníku

{ displaystyle { begin {zarovnaný} tan alpha _ {1} & = { frac { cos phi _ {2} sin lambda _ {12}} { cos phi _ {1} sin phi _ {2} - sin phi _ {1} cos phi _ {2} cos lambda _ {12}}}, tan alpha _ {2} & = { frac { cos phi _ {1} sin lambda _ {12}} {- cos phi _ {2} sin phi _ {1} + sin phi _ {2} cos phi _ {1} cos lambda _ {12}}}, end {zarovnáno}}}

kde λ₁₂ = λ₂ - λ₁^{[poznámka 1]}a kvadranty α₁, α₂ jsou určeny znaménky čitatele a jmenovatele ve tangenciálních vzorcích (např. pomocí atan2 funkce) středový úhel mezi dvěma body, σ₁₂, darováno

{ displaystyle tan sigma _ {12} = { frac { sqrt {( cos phi _ {1} sin phi _ {2} - sin phi _ {1} cos phi _ {2} cos lambda _ {12}) ^ {2} + ( cos phi _ {2} sin lambda _ {12}) ^ {2}}} { sin phi _ {1} sin phi _ {2} + cos phi _ {1} cos phi _ {2} cos lambda _ {12}}}.}

^{[poznámka 2]}^{[Poznámka 3]}

(Čitatel tohoto vzorce obsahuje množství, která byla použita k určení₁.) Vzdálenost podél velké kružnice pak bude s₁₂ = Rσ₁₂, kde R je předpokládaný poloměr Země a σ₁₂ je vyjádřen v radiány.Za použití střední poloměr Země, R = R₁ ≈ 6 371 km (3959 mi) přináší výsledky na tuto vzdálenost s₁₂ které jsou do 1% zgeodetická vzdálenost pro WGS84 elipsoid.

Hledání trasových bodů

Chcete-li najít trasové body, to je pozice vybraných bodů na velké kružnici meziP₁ a P₂, nejprve extrapolujeme velký kruh zpět na jeho uzel A, bod, který velká kružnice prochází přes rovník směrem na sever: zeměpisná délka tohoto bodu je λ₀ - viz obr. 1. Azimut v tomto bodě, α₀, darováno

{ displaystyle tan alpha _ {0} = { frac { sin alpha _ {1} cos phi _ {1}} { sqrt { cos ^ {2} alpha _ {1} + sin ^ {2} alpha _ {1} sin ^ {2} phi _ {1}}}}.}

^{[poznámka 4]}

Nechte úhlové vzdálenosti podél velké kružnice od A na P₁ a P₂ být σ₀₁ a σ₀₂ resp. Pak pomocí Napierova pravidla my máme

{ displaystyle tan sigma _ {01} = { frac { tan phi _ {1}} { cos alpha _ {1}}} qquad}

(Pokud φ₁ = 0 a α₁ = ¹⁄₂π, použijte σ₀₁ = 0).

To dává σ₀₁, odkud σ₀₂ = σ₀₁ + σ₁₂.

Zeměpisná délka v uzlu se nachází z

{ displaystyle { begin {zarovnaný} tan lambda _ {01} & = { frac { sin alpha _ {0} sin sigma _ {01}} { cos sigma _ {01}} }, lambda _ {0} & = lambda _ {1} - lambda _ {01}. end {zarovnáno}}}

Obrázek 2. Cesta velké kružnice mezi uzlem (křížení rovníku) a libovolným bodem (φ, λ).

Nakonec vypočítejte polohu a azimut v libovolném bodě, P (viz obr. 2), sférickou verzí přímý geodetický problém.^{[poznámka 5]} Napierova pravidla dávají

{ displaystyle { color {bílá}. , qquad)} tan phi = { frac { cos alpha _ {0} sin sigma} { sqrt { cos ^ {2} sigma + sin ^ {2} alpha _ {0} sin ^ {2} sigma}}},}

^{[poznámka 6]}

{ displaystyle { begin {zarovnáno} tan ( lambda - lambda _ {0}) & = { frac { sin alpha _ {0} sin sigma} { cos sigma}}, tan alpha & = { frac { tan alpha _ {0}} { cos sigma}}. end {zarovnáno}}}

The atan2 funkce by měla být použita k určeníσ₀₁, λ a α. Chcete-li například najít střed cesty, dosaďte σ =¹⁄₂(σ₀₁ + σ₀₂); alternativně najít bod na vzdálenost d od počátečního bodu vezměte σ = σ₀₁ + d/RPodobně vrchol, bod na oběžném kruhu s největší zeměpisnou šířkou, je nalezen dosazením σ = +¹⁄₂π. Může být vhodné parametrizovat trasu z hlediska zeměpisné délky pomocí

{ displaystyle tan phi = cot alpha _ {0} sin ( lambda - lambda _ {0}).}

^{[poznámka 7]}

Lze najít zeměpisné šířky v pravidelných délkových intervalech a výsledné polohy přenést do Mercatorova diagramu, který umožňuje aproximaci velkého kruhu řadou loxodrómy. Takto určená cesta dává velká elipsa spojování koncových bodů za předpokladu souřadnic ${ displaystyle ( phi, lambda)}$ jsou interpretovány jako zeměpisné souřadnice na elipsoidu.

Tyto vzorce platí pro sférický model Země. Používají se také při řešení velkého kruhu na pomocná sféra což je zařízení pro hledání nejkratší cesty, nebo geodetické, onanský elipsoid revoluce; viz článek na geodetika na elipsoidu.

Příklad

Vypočítejte trasu velkého kruhu Valparaíso, φ₁ = −33 °, λ₁ = -71,6 °, doŠanghaj, φ₂ = 31,4 °, λ₂ = 121.8°.

Vzorce pro kurz a vzdálenost dávajíλ₁₂ = −166.6°,^{[poznámka 8]}α₁ = -94,41 °, α₂ = -78,42 ° aσ₁₂ = 168,56 °. Užívání poloměr Země býtR = 6371 km, vzdálenost jes₁₂ = 18743 km.

Chcete-li vypočítat body na trase, nejprve najděte α₀ = -56,74 °, σ₁ = -96,76 °, σ₂ = 71,8 °, λ₀₁ = 98,07 ° aλ₀ = −169,67 °. Poté například vypočítat střed trasy, vzítσ =¹⁄₂(σ₁ + σ₂) = -12,48 °, a solutionforφ = -6,81 °, λ = -159,18 ° aα = -57,36 °.

Pokud je geodetická vypočítána přesně na WGS84 elipsoid,^[4] výsledky jsou α₁ = -94,82 °, α₂ = -78,29 ° as₁₂ = 18752 km. Střed geodetického prvku jeφ = -7,07 °, λ = -159,31 °, α = -57,45 °.

Gnomonický graf

Přímka nakreslená na a gnomonický graf by byla skvělá kruhová dráha. Když je to přeneseno do a Mercatorův graf, stane se křivkou. Pozice jsou přenášeny ve vhodném intervalu zeměpisná délka a toto je vyneseno do Mercatorova grafu.

Viz také

Poznámky

^ V článku o vzdálenosti velkého kruhu, zápis Δλ = λ₁₂a σσ = σ₁₂ se používá. Zápis v tomto článku je nutný pro všechny s rozdíly mezi jinými body, např. Λ₀₁.
^ Jednodušší vzorec je
${ displaystyle cos sigma _ {12} = sin phi _ {1} sin phi _ {2} + cos phi _ {1} cos phi _ {2} cos lambda _ {12};}$
to je však méně přesné, pokud σ₁₂ malý.
^ Tyto rovnice pro α₁, α₂, σ₁₂ jsou vhodné pro implementaci na moderních kalkulačkách a počítačích. Pro ruční výpočty s logaritmy,Delambre analogie^[2] byly obvykle používány:
${ displaystyle { begin {aligned} cos { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} + alpha _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = sin { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} - phi _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} lambda _ {12 }, sin { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} + alpha _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = cos { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} + phi _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}, cos { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} - alpha _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = cos { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} - phi _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}, sin { tfrac { 1} {2}} ( alpha _ {2} - alpha _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = sin { tfrac {1} { 2}} ( phi _ {2} + phi _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}. End {zarovnáno}}}$
McCaw^[3] odkazuje na tyto rovnice jako na „logaritmickou formu“, což znamená, že všechny trigonometrické výrazy se objevují jako produkty; to minimalizuje počet požadovaných vyhledání tabulky. Nadbytečnost v těchto vzorcích dále slouží jako výpočty kontroly v ruce. Pokud použijete tyto rovnice k určení kratší dráhy ve velké kružnici, je nutné zajistit, že | λ₁₂| ≤ π (jinak je nalezena delší cesta).
^ Jednodušší vzorec je
${ displaystyle sin alpha _ {0} = sin alpha _ {1} cos phi _ {1};}$
to je však méně přesnéα₀ ≈ ±¹⁄₂π.
^ Přímý geodetický problém, zjištění polohy P₂ daný P₁, α₁,a s₁₂, lze také vyřešit pomocívzorce pro řešení sférického trojúhelníku, jak následuje,
${ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {12} & = s_ {12} / R, sin phi _ {2} & = sin phi _ {1} cos sigma _ { 12} + cos phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}, quad { text {nebo}} tan phi _ {2} & = { frac { sin phi _ {1} cos sigma _ {12} + cos phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}} { sqrt {( cos phi _ {1} cos sigma _ {12} - sin phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}) ^ {2} + ( sin sigma _ {12} sin alpha _ {1}) ^ {2}}}}, tan lambda _ {12} & = { frac { sin sigma _ {12} sin alpha _ {1}} { cos phi _ {1} cos sigma _ {12} - sin phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}}} , lambda _ {2} & = lambda _ {1} + lambda _ {12}, tan alpha _ {2} & = { frac { sin alpha _ {1}} { cos sigma _ {12} cos alpha _ {1} - tan phi _ {1} sin sigma _ {12}}}. end {zarovnáno}}}$
Řešení pro průjezdní body uvedené v hlavním textu je obecnější než toto řešení v tom, že umožňuje nalezení průjezdních bodů ve stanovených zeměpisných délkách. Při hledání je navíc potřeba řešení pro σ (tj. Poloha uzlu) geodetika na elipsoidu pomocí pomocné koule.
^ Jednodušší vzorec je
${ displaystyle sin phi = cos alfa _ {0} sin sigma;}$
to je však méně přesné, kdyžφ ≈ ±¹⁄₂π
^ Používá se následující: ${ displaystyle cos sigma = cos phi cos ( lambda - lambda _ {0})}$
^ λ₁₂se sníží na rozsah [-180 °, 180 °] přidáním nebo odečtením 360 ° podle potřeby

Reference

^ Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7. června 2011). Metody a algoritmy v navigaci: Námořní navigace a bezpečnost námořní dopravy. CRC Press. str. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
^ Todhunter, I. (1871). Sférická trigonometrie (3. vyd.). MacMillan. str.26.
^ McCaw, G. T. (1932). "Dlouhé čáry na Zemi". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10,1179 / sre.1932.1.6.259.
^ Karney, C. F. F. (2013). „Algoritmy pro geodetiku“. J. Geodézie. 87 (1): 43–55. doi:10.1007 / s00190-012-0578-z.

externí odkazy

Velký kruh - z MathWorld Velký popis kruhu, čísla a rovnice. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c. 1999
Velký kruhový mapovač Interaktivní nástroj pro vykreslování tras velkých kruhů.
Skvělá kruhová kalkulačka odvození (počátečního) kurzu a vzdálenosti mezi dvěma body.
Velká vzdálenost kruhu Grafický nástroj pro kreslení velkých kruhů nad mapami. Také ukazuje vzdálenost a azimut v tabulce.
Asistenční program Google pro ortodromickou navigaci

[2] V článku o vzdálenosti velkého kruhu, zápis Δλ = λ₁₂a σσ = σ₁₂ se používá. Zápis v tomto článku je nutný pro všechny s rozdíly mezi jinými body, např. Λ₀₁.

[3] Jednodušší vzorec je
${ displaystyle cos sigma _ {12} = sin phi _ {1} sin phi _ {2} + cos phi _ {1} cos phi _ {2} cos lambda _ {12};}$
to je však méně přesné, pokud σ₁₂ malý.

[6] Tyto rovnice pro α₁, α₂, σ₁₂ jsou vhodné pro implementaci na moderních kalkulačkách a počítačích. Pro ruční výpočty s logaritmy,Delambre analogie^[2] byly obvykle používány:
${ displaystyle { begin {aligned} cos { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} + alpha _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = sin { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} - phi _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} lambda _ {12 }, sin { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} + alpha _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = cos { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} + phi _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}, cos { tfrac {1} {2}} ( alpha _ {2} - alpha _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = cos { tfrac {1} {2}} ( phi _ {2} - phi _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}, sin { tfrac { 1} {2}} ( alpha _ {2} - alpha _ {1}) cos { tfrac {1} {2}} sigma _ {12} & = sin { tfrac {1} { 2}} ( phi _ {2} + phi _ {1}) sin { tfrac {1} {2}} lambda _ {12}. End {zarovnáno}}}$
McCaw^[3] odkazuje na tyto rovnice jako na „logaritmickou formu“, což znamená, že všechny trigonometrické výrazy se objevují jako produkty; to minimalizuje počet požadovaných vyhledání tabulky. Nadbytečnost v těchto vzorcích dále slouží jako výpočty kontroly v ruce. Pokud použijete tyto rovnice k určení kratší dráhy ve velké kružnici, je nutné zajistit, že | λ₁₂| ≤ π (jinak je nalezena delší cesta).

[7] Jednodušší vzorec je
${ displaystyle sin alpha _ {0} = sin alpha _ {1} cos phi _ {1};}$
to je však méně přesnéα₀ ≈ ±¹⁄₂π.

[8] Přímý geodetický problém, zjištění polohy P₂ daný P₁, α₁,a s₁₂, lze také vyřešit pomocívzorce pro řešení sférického trojúhelníku, jak následuje,
${ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {12} & = s_ {12} / R, sin phi _ {2} & = sin phi _ {1} cos sigma _ { 12} + cos phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}, quad { text {nebo}} tan phi _ {2} & = { frac { sin phi _ {1} cos sigma _ {12} + cos phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}} { sqrt {( cos phi _ {1} cos sigma _ {12} - sin phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}) ^ {2} + ( sin sigma _ {12} sin alpha _ {1}) ^ {2}}}}, tan lambda _ {12} & = { frac { sin sigma _ {12} sin alpha _ {1}} { cos phi _ {1} cos sigma _ {12} - sin phi _ {1} sin sigma _ {12} cos alpha _ {1}}} , lambda _ {2} & = lambda _ {1} + lambda _ {12}, tan alpha _ {2} & = { frac { sin alpha _ {1}} { cos sigma _ {12} cos alpha _ {1} - tan phi _ {1} sin sigma _ {12}}}. end {zarovnáno}}}$
Řešení pro průjezdní body uvedené v hlavním textu je obecnější než toto řešení v tom, že umožňuje nalezení průjezdních bodů ve stanovených zeměpisných délkách. Při hledání je navíc potřeba řešení pro σ (tj. Poloha uzlu) geodetika na elipsoidu pomocí pomocné koule.

[9] Jednodušší vzorec je
${ displaystyle sin phi = cos alfa _ {0} sin sigma;}$
to je však méně přesné, kdyžφ ≈ ±¹⁄₂π

[10] Používá se následující: ${ displaystyle cos sigma = cos phi cos ( lambda - lambda _ {0})}$

[11] λ₁₂se sníží na rozsah [-180 °, 180 °] přidáním nebo odečtením 360 ° podle potřeby

[WeintritNeumann2011-1] Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7. června 2011). Metody a algoritmy v navigaci: Námořní navigace a bezpečnost námořní dopravy. CRC Press. str. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.

[4] Todhunter, I. (1871). Sférická trigonometrie (3. vyd.). MacMillan. str.26.

[5] McCaw, G. T. (1932). "Dlouhé čáry na Zemi". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10,1179 / sre.1932.1.6.259.

[12] Karney, C. F. F. (2013). „Algoritmy pro geodetiku“. J. Geodézie. 87 (1): 43–55. doi:10.1007 / s00190-012-0578-z.

[1]

[poznámka 1]

[poznámka 2]

[Poznámka 3]

[poznámka 4]

[poznámka 5]

[poznámka 6]

[poznámka 7]

[poznámka 8]

[4]

[2]

[3]