Klasifikace Cliffordových algeber - Classification of Clifford algebras

v abstraktní algebra, zejména v teorii nedegenerovat kvadratické formy na vektorové prostory, struktury konečně-dimenzionální nemovitý a komplex Cliffordské algebry pro nedgenerovaná kvadratická forma byly zcela klasifikovány. V každém případě je to Cliffordova algebra algebra isomorfní naplno maticový prsten přes R, Cnebo H (dále jen čtveřice ), nebo na a přímý součet dvou kopií takové algebry, i když ne v a kanonický způsob. Níže je ukázáno, že mohou existovat odlišné Cliffordovy algebry algebra-izomorfní, jako je tomu v případě Cl_2,0(R) a Cl_1,1(R), které jsou oba izomorfní vůči prstenci matice dva ku dvěma nad reálnými čísly.

Zápis a konvence

The Produkt Clifford je produkt manifestního kruhu pro Cliffordovu algebru a celou algebru homomorfismy v tomto článku jsou s ohledem na tento prstenový produkt. Další produkty definované v Cliffordových algebrách, například vnější produkt, se zde nepoužívají. Tento článek používá (+) podepsat konvenci pro množení Clifford tak

{ displaystyle v ^ {2} = Q (v)}

pro všechny vektory proti ∈ PROTI, kde Q je kvadratická forma ve vektorovém prostoru PROTI. Budeme označovat algebru n×n matice se záznamy v divize algebra K. podle M._n(K.) nebo M (n, K.). The přímý součet dvou takových identických algeber bude označeno M_n(K.) ⊕ M_n(K.) = M_n²(K.), který je izomorfní s M_n(K. ⊕ K.).

Bottova periodicita

Cliffordovy algebry vykazují 2násobnou periodicitu nad komplexními čísly a 8násobnou periodicitu nad reálnými čísly, což souvisí se stejnými periodicitami pro homotopy skupin stáje jednotná skupina a stabilní ortogonální skupina a je volán Bottova periodicita. Spojení vysvětluje geometrický model smyčkových prostorů přístup k Bottově periodicitě: jejich 2násobné / 8násobné periodické vložení klasické skupiny v sobě navzájem (což odpovídá isomorfickým skupinám Cliffordových algeber) a jejich následné podíly jsou symetrické prostory což jsou ekvivalent homotopy do smyčkové mezery unitární / ortogonální skupiny.

Složitý případ

Složitý případ je obzvláště jednoduchý: každý nedgenerovaný kvadratický tvar na komplexním vektorovém prostoru je ekvivalentní standardnímu diagonálnímu tvaru

{ displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + cdots + u_ {n} ^ {2}}

kde n = dim PROTI, takže v každé dimenzi je v podstatě pouze jedna Cliffordova algebra. Je to proto, že komplexní čísla zahrnují ${ displaystyle i}$ kterými ${ displaystyle -u_ {k} ^ {2} = + (iu_ {k}) ^ {2}}$ a tak kladné nebo záporné výrazy jsou rovnocenné. Označíme Cliffordovu algebru dále Cⁿ se standardní kvadratickou formou Cl_n(C).

Je třeba vzít v úvahu dva samostatné případy podle toho, zda n je sudé nebo liché. Když n je dokonce algebra Cl_n(C) je centrální jednoduché a tak podle Artin – Wedderburnova věta je izomorfní s maticovou algebrou C. Když n je liché, střed zahrnuje nejen skaláry, ale i pseudoskaláře (stupeň n prvky). Vždy můžeme najít normalizovaný pseudoskal ω takhle ω² = 1. Definujte operátory

{ displaystyle P _ { pm} = { frac {1} {2}} (1 pm omega).}

Tito dva operátoři tvoří kompletní sadu ortogonální idempotents, a protože jsou ústřední, dávají rozklad Cl_n(C) do přímého součtu dvou algeber

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {n} ( mathbf {C}) = operatorname {Cl} _ {n} ^ {+} ( mathbf {C}) oplus operatorname {Cl} _ {n } ^ {-} ( mathbf {C}),}

kde

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {n} ^ { pm} ( mathbf {C}) = P _ { pm} operatorname {Cl} _ {n} ( mathbf {C}).}

Algebry ${ displaystyle operatorname {Cl} _ {n} ^ { pm} ( mathbf {C})}$ jsou pouze pozitivní a negativní vlastní prostory ω a P_± jsou pouze operátoři projekce. Od té doby ω je liché, tyto algebry jsou smíchány α (lineární mapa na PROTI definován proti ↦ −proti):

{ displaystyle alpha ( operatorname {Cl} _ {n} ^ { pm} ( mathbf {C})) = operatorname {Cl} _ {n} ^ { mp} ( mathbf {C}) }

.

a proto izomorfní (od α je automorfismus ). Tyto dvě izomorfní algebry jsou každá centrální jednoduchá a tak opět izomorfní s maticovou algebrou C. Velikosti matic lze určit ze skutečnosti, že rozměr Cl_n(C) je 2ⁿ. Máme tedy následující tabulku:

n	Cl_n(C)
2m	M (2^m,C)
2m+1	M (2^m,C) ⊕ M (2^m,C)

Sudá subalgebra Cl_n(C) je (nekanonicky) izomorfní s Cl_n−1(C). Když n je sudé, sudou subalgebru lze identifikovat pomocí blokových diagonálních matic (při rozdělení na 2 × 2 bloková matice ). Když n je liché, sudá subalgebra jsou ty prvky M (2^m,C) ⊕ M (2^m,C) pro které jsou oba faktory totožné. Vyberete-li jeden z kousků, získáte izomorfismus s Cl_n−1(C) ≅ M (2^m,C).

Skutečný případ

Skutečný případ je výrazně komplikovanější, vykazuje periodicitu 8 spíše než 2 a existuje 2parametrická rodina Cliffordových algeber.

Klasifikace kvadratických forem

Nejprve existují neizomorfní kvadratické formy daného stupně klasifikované podpisem.

Každý nedgenerovaný kvadratický tvar ve skutečném vektorovém prostoru je ekvivalentní standardnímu diagonálnímu tvaru:

{ displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + cdots + u_ {p} ^ {2} -u_ {p + 1} ^ {2} - cdots -u_ {p + q} ^ {2}}

kde n = p + q je rozměr vektorového prostoru. Dvojice celých čísel (p, q) se nazývá podpis kvadratické formy. Skutečný vektorový prostor s touto kvadratickou formou je často označován R^p,q. Cliffordova algebra zapnuta R^p,q je označován Cl_p,q(R).

Standard ortonormální základ {E_i} pro R^p,q skládá se z n = p + q vzájemně ortogonální vektory, p z nichž mají normu +1 a q z nichž mají normu -1.

Jednotka pseudoskalární

Jednotka pseudoscalar v Cl_p,q(R) je definován jako

{ displaystyle omega = e_ {1} e_ {2} cdots e_ {n}.}

To je obojí Coxeter prvek druhů (produkt odrazů) a a nejdelší prvek skupiny Coxeter v Bruhatův řád; toto je analogie. Odpovídá a zobecňuje a objemová forma (v vnější algebra; pro triviální kvadratickou formu je jednotka pseudoskalární objemová forma) a výtahy odraz skrz původ (což znamená, že obraz jednotky pseudoskalární je odrazem původu, v ortogonální skupina ).

Pro výpočet čtverce ${ displaystyle omega ^ {2} = (e_ {1} e_ {2} cdots e_ {n}) (e_ {1} e_ {2} cdots e_ {n})}$ , jeden může buď obrátit pořadí druhé skupiny, čímž se získá ${ displaystyle { mbox {sgn}} ( sigma) e_ {1} e_ {2} cdots e_ {n} e_ {n} cdots e_ {2} e_ {1}}$ , nebo použijte a perfektní shuffle,poddajný ${ displaystyle { mbox {sgn}} ( sigma) (e_ {1} e_ {1} e_ {2} e_ {2} cdots e_ {n} e_ {n})}$ . Oba mají znamení ${ displaystyle (-1) ^ { lfloor n / 2 rfloor} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2}}$ , což je 4-periodické (důkaz ) a v kombinaci s ${ displaystyle e_ {i} e_ {i} = pm 1}$ , to ukazuje, že čtverec ω darováno

{ displaystyle omega ^ {2} = (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} (- 1) ^ {q} = (- 1) ^ { frac {(pq ) (pq-1)} {2}} = { begin {cases} + 1 & p-q equiv 0,1 mod {4} - 1 & p-q equiv 2,3 mod {4}. konec {případů}}}

Všimněte si, že na rozdíl od komplexního případu není vždy možné najít pseudoskál, který umocňuje na +1.

Centrum

Li n (ekvivalentně, p − q) je sudá, algebra Cl_p,q(R) je centrální jednoduché a tak isomorfní s maticovou algebrou R nebo H podle Artin – Wedderburnova věta.

Li n (ekvivalentně, p − q) je lichá, pak algebra již není centrální jednoduchá, ale spíše má střed, který zahrnuje pseudoskaláře i skaláry. Li n je liché a ω² = +1 (ekvivalentně, pokud p − q ≡ 1 (mod 4)) pak, stejně jako v komplexním případě, algebra Cl_p,q(R) se rozkládá na přímý součet izomorfních algeber

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p, q} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p, q} ^ {+} ( mathbf {R}) oplus operatorname {Cl } _ {p, q} ^ {-} ( mathbf {R})}

každý z nich je centrální jednoduchý a tak izomorfní k maticové algebře R nebo H.

Li n je liché a ω² = −1 (ekvivalentně, pokud p − q ≡ −1 (mod 4)) pak střed Cl_p,q(R) je izomorfní s C a lze je považovat za komplex algebra. Jako komplexní algebra je centrální jednoduchá a tak izomorfní s maticovou algebrou C.

Klasifikace

Všichni říkali, že existují tři vlastnosti, které určují třídu algebry Cl_p,q(R):

podpisový mod 2: n je sudý / lichý: centrální jednoduchý nebo ne
podpisový mod 4: ω² = ±1: pokud není centrální jednoduché, střed je R ⊕ R nebo C
signature mod 8: the Brauerova třída algebry (n sudý) nebo dokonce subalgebra (n lichý) je R nebo H

Každá z těchto vlastností závisí pouze na podpisu p − q modulo 8. Kompletní klasifikační tabulka je uvedena níže. Velikost matic je dána požadavkem, že Cl_p,q(R) mají rozměr 2^p+q.

p−q mod 8	ω²	Cl_p,q(R) (n = p+q)	p−q mod 8	ω²	Cl_p,q(R) (n = p+q)
0	+	M (2^n/2,R)	1	+	M (2^(n−1)/2,R) ⊕M (2^(n−1)/2,R)
2	−	M (2^{n / 2},R)	3	−	M (2^(n−1)/2,C)
4	+	M (2^(n−2)/2,H)	5	+	M (2^(n−3)/2,H) ⊕M (2^(n−3)/2,H)
6	−	M (2^(n−2)/2,H)	7	−	M (2^(n−1)/2,C)

Je vidět, že ze všech zmíněných typů maticových kruhů existuje pouze jeden typ sdílený mezi komplexními i skutečnými algebry: typ M (2^m,C). Například Cl₂(C) a Cl_3,0(R) jsou oba určeni jako M.₂(C). Je důležité si uvědomit, že v použitém klasifikačním izomorfismu je rozdíl. Protože Cl₂(C) je algebra izomorfní pomocí a C-lineární mapa (což je nutně R-lineární) a Cl_3,0(R) je algebra izomorfní pomocí R-lineární mapa, Cl₂(C) a Cl_3,0(R) jsou R-algebra izomorfní.

Tabulka této klasifikace pro p + q ≤ 8 následuje. Tady p + q běží svisle a p − q běží vodorovně (např. algebra Cl_1,3(R) ≅ M₂(H) se nachází v řádku 4, sloupci −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0

R

1

R²

C

2

M₂(R)

H

3

M₂(C)

M₂²(R)

M₂(C)

H²

4

M₂(H)

M₄(R)

M₂(H)

5

M₂²(H)

M₄(C)

M₄²(R)

M₄(C)

M₂²(H)

M₄(C)

6

M₄(H)

M₈(R)

M₄(H)

M₈(R)

7

M₈(C)

M₄²(H)

M₈(C)

M₈²(R)

M₈(C)

M₄²(H)

M₈(C)

M₈²(R)

8

M₁₆(R)

M₈(H)

M₁₆(R)

M₈(H)

M₁₆(R)

ω²

+

−

+

−

+

−

+

−

+

Symetrie

Ve výše uvedené tabulce je spletitá síť symetrií a vztahů.

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p + 1, q + 1} ( mathbf {R}) = mathrm {M} _ {2} ( operatorname {Cl} _ {p, q} ( mathbf {R}))}

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p + 4, q} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p, q + 4} ( mathbf {R})}

Pokud přejdete 4 místa v libovolné řadě, získáte stejnou algebru.

Z těchto Bottových periodicit vyplývá:

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p + 8, q} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p + 4, q + 4} ( mathbf {R}) = M_ {2 ^ {4}} ( operatorname {Cl} _ {p, q} ( mathbf {R})).}

Pokud podpis vyhovuje p − q ≡ 1 (mod 4) pak

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p + k, q} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p, q + k} ( mathbf {R}).}

(Tabulka je symetrická o sloupcích s podpisem ..., −7, −3, 1, 5, ...) Pokud tedy podpis vyhovuje p − q ≡ 1 (mod 4),

{ displaystyle operatorname {Cl} _ {p + k, q} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p, q + k} ( mathbf {R}) = operatorname {Cl} _ {p-k + k, q + k} ( mathbf {R}) = mathrm {M} _ {2 ^ {k}} ( operatorname {Cl} _ {pk, q} ( mathbf {R })) = mathrm {M} _ {2 ^ {k}} ( operatorname {Cl} _ {p, qk} ( mathbf {R})).}

Viz také

Reference

Budinich, Paolo; Trautman, Andrzej (1988). Spinorial šachovnice. Springer Verlag. ISBN 9783540190783.
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Geometrie točení. Matematická řada z Princetonu. 38. Princeton University Press. ISBN 9781400883912.
Porteous, Ian R. (1995). Clifford Algebras a klasické skupiny. Cambridge studia pokročilé matematiky. 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9.