Diracova algebra - Dirac algebra

v matematická fyzika, Diracova algebra je Cliffordova algebra Cℓ₄(C), kterou lze považovat za Cℓ_1,3(C). Toto představil matematický fyzik P. A. M. Dirac v roce 1928 při vývoji Diracova rovnice pro spin-½ částice s maticovým vyjádřením s Diracem gama matice, které představují generátory algebry.

Gama prvky mají určující vztah

{displaystyle displaystyle {gamma ^ {mu}, gamma ^ {u}} = gamma ^ {mu} gamma ^ {u} + gamma ^ {u} gamma ^ {mu} = 2eta ^ {mu u} mathbf {1}}

kde ${displaystyle eta ^ {mu u},}$ jsou komponenty Minkowského metrika s podpisem (+ - - -) a ${displaystyle mathbf {1}}$ je prvek identity algebry ( matice identity v případě maticového zobrazení). To umožňuje definici a skalární součin

{displaystyle displaystyle langle a, bangle = součet _ {mu u} eta ^ {mu u} a_ {mu} b_ {u} ^ {dýka}}

kde

{displaystyle, a = suma _ {mu} a_ {mu} gama ^ {mu}}

a

{displaystyle, b = součet _ {u} b_ {u} gama ^ {u}}

.

Vyšší síly

Sigma^[1]

{displaystyle sigma ^ {mu u} = - {frac {i} {4}} vlevo [gamma ^ {mu}, gamma ^ {u} ight],}

(I4)

pouze $6$ z nichž jsou nenulové kvůli antisymetrii závorky, rozprostírají se šestimenzionální reprezentační prostor tenzoru $(1, 0) \oplus (0, 1)$ - zastoupení Lorentz algebra uvnitř ${displaystyle {mathcal {Cl}} _ {1,3} (mathbb {R})}$ . Navíc mají komutační vztahy Lieovy algebry,^[2]

{displaystyle ileft [sigma ^ {mu u}, sigma ^ {ho au} ight] = eta ^ {u ho} sigma ^ {mu au} -eta ^ {mu ho} sigma ^ {u au} -eta ^ {au mu} sigma ^ {ho u} + eta ^ {au u} sigma ^ {ho u},}

(I5)

a tudíž představují reprezentaci Lorentzovy algebry (kromě překlenutí reprezentačního prostoru) sedící uvnitř ${displaystyle {mathcal {Cl}} _ {1,3} (mathbb {R}),}$ the $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ rotační reprezentace.

Odvození od Diracova a Klein-Gordonovy rovnice

Definující formu gama prvků lze odvodit, pokud předpokládáme kovarianční forma Diracova rovnice:

{displaystyle -ihbar gamma ^ {mu} částečný _ {mu} psi + mcpsi = 0 ,.}

a Klein-Gordonova rovnice:

{displaystyle -partial _ {t} ^ {2} psi + abla ^ {2} psi = m ^ {2} psi}

a vyžaduje, aby tyto rovnice vedly ke konzistentním výsledkům.

Odvození od požadavku konzistence (důkaz)

Vynásobením Diracova rovnice výnosy z konjugované rovnice získáme:

{displaystyle psi ^ {dagger} (ihbar gamma ^ {mu} částečný _ {mu} + mc) (- ihbar gamma ^ {u} částečný _ {u} + mc) psi = 0 ,.}

Požadavek soudržnosti s Klein-Gordonova rovnice vede okamžitě k:

{displaystyle displaystyle {gamma ^ {mu}, gamma ^ {u}} = gamma ^ {mu} gamma ^ {u} + gamma ^ {u} gamma ^ {mu} = 2eta ^ {mu u} I_ {4}}

kde ${displaystyle {,}}$ je antikomutátor, ${displaystyle eta ^ {mu u},}$ je Minkowského metrika s podpisem (+ - - -) a ${displaystyle I_ {4},}$ je matice jednotek 4x4.^[3]

Cℓ_1,3( $ℂ$ ) a Cℓ_1,3( $ℝ$ )

Diracova algebra může být považována za komplexifikace skutečný časoprostorová algebra Cℓ_1,3( $ℝ$ ):

{displaystyle mathrm {Cell} _ {1,3} (mathbb {C}) = mathrm {Cell} _ {1,3} (mathbb {R}) otimes mathbb {C}.}

Cℓ_1,3( $ℝ$ ) se liší od Cℓ_1,3( $ℂ$ ): v Cℓ_1,3( $ℝ$ ) pouze nemovitý lineární kombinace gama matic a jejich produktů jsou povoleny.

Navrhovatelé geometrická algebra usilovat o práci se skutečnými algebrami, kdekoli je to možné. Tvrdí, že je obecně možné (a obvykle poučné) identifikovat přítomnost imaginární jednotka ve fyzikální rovnici. Takové jednotky vznikají z jedné z mnoha veličin ve skutečné Cliffordově algebře, která se umocňuje na -1, a tyto mají geometrický význam kvůli vlastnostem algebry a interakci jejích různých podprostorů. Někteří z těchto navrhovatelů se také ptají, zda je nutné nebo dokonce užitečné zavést další imaginární jednotku v kontextu Diracova rovnice.

V matematice Riemannova geometrie, je běžné definovat Cliffordovu algebru Cℓ_{p, q}( $ℝ$ ) pro libovolné rozměry $p, q$ ; anti-komutace Weyl spinors přirozeně vychází z Cliffordovy algebry.^[4] Weylovy rotory se transformují působením spinová skupina ${displaystyle mathrm {Spin} (n)}$ . Složitost spinové skupiny, nazývaná spinc group ${displaystyle mathrm {Spin} ^ {mathbb {C}} (n)}$ , je produkt ${displaystyle mathrm {Spin} (n) imes _ {mathbb {Z} _ {2}} S ^ {1}}$ rotační skupiny s kruhem ${displaystyle S ^ {1} cong U (1)}$ s výrobkem ${displaystyle imes _ {mathbb {Z} _ {2}}}$ jen notační zařízení k identifikaci ${displaystyle (a, u) in mathrm {Spin} (n) imes S ^ {1}}$ s ${displaystyle (-a, -u).}$ Geometrickým bodem je to, že odděluje skutečný spinor, který je kovariantní při Lorentzových transformacích, od ${displaystyle U (1)}$ komponenta, kterou lze identifikovat pomocí ${displaystyle U (1)}$ vlákno elektromagnetické interakce. The ${displaystyle imes _ {mathbb {Z} _ {2}}}$ je zapletená parita a konjugace náboje způsobem vhodným pro přiřazení Diracových částic / anti-částicových stavů (ekvivalentně chirálních stavů na Weylově bázi). The bispinor, pokud má lineárně nezávislé levé a pravé komponenty, může interagovat s elektromagnetickým polem. To je na rozdíl od Majoranský spinor a spinko ELKO, které nemůže (tj. jsou elektricky neutrální), protože výslovně omezují spinor tak, aby neinteragovali s ${displaystyle S ^ {1}}$ část vycházející ze složitosti.

Vzhledem k tomu, že prezentace náboje a parity může být v konvenčních učebnicích teorie kvantového pole matoucím tématem, může být objasněna pečlivější disekce těchto témat v obecném geometrickém prostředí. Standardní expozice Cliffordovy algebry konstruují Weylovy spinory z prvních principů; to, že „automaticky“ dojíždějí, je elegantní geometrický vedlejší produkt stavby, zcela obcházející veškeré argumenty, které se odvolávají na Pauliho princip vyloučení (nebo někdy běžný pocit, že Grassmann proměnné byly zavedeny prostřednictvím ad hoc argumentace.)

V současné fyzikální praxi je Diracova algebra i nadále standardním prostředím rotory Diracova rovnice „žije“ spíše než časoprostorová algebra.

Viz také

Reference

^ Weinberg 2002, Rovnice 5.4.6
^ Weinberg 2002, Rovnice 5.4.4 Oddíl 5.4.
^ viz také: Victoria Martin, Poznámky k přednášce SH Fyzika částic 2012, Poznámky k přednášce 5–7, Oddíl 5.5 Gama matice
^ Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“, Springer Universitext. Viz část 1.8

[1] Weinberg 2002, Rovnice 5.4.6

[ReferenceA-2] Weinberg 2002, Rovnice 5.4.4 Oddíl 5.4.

[3] viz také: Victoria Martin, Poznámky k přednášce SH Fyzika částic 2012, Poznámky k přednášce 5–7, Oddíl 5.5 Gama matice

[4] Jurgen Jost (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“, Springer Universitext. Viz část 1.8

[1]

[2]

[3]

[4]