Gårdingova nerovnost - Gårdings inequality - Wikipedia

v matematika, Gårdingova nerovnost je výsledek, který dává dolní mez pro bilineární forma vyvolané skutečným lineární eliptický parciální diferenciální operátor. Nerovnost je pojmenována po Lars Gårding.

Prohlášení o nerovnosti

Nechť Ω je a ohraničený, otevřená doména v n-dimenzionální Euklidovský prostor a nechte H^k(Ω) označuje Sobolevův prostor z k-krát slabě diferencovatelné funkce u : Ω →R se slabými deriváty v L². Předpokládejme, že Ω splňuje k-extension vlastnost, tj. že existuje a ohraničený lineární operátor E : H^k(Ω) →H^k(Rⁿ) takové, že (Eu)|_Ω = u pro všechny u v H^k(Ω).

Nechat L být lineární parciální diferenciální operátor sudého řádu 2k, psaný v divergenční formě

${ displaystyle (Lu) (x) = součet _ {0 leq | alpha |, | beta | leq k} (- 1) ^ {| alpha |} mathrm {D} ^ { alfa } left (A _ { alpha beta} (x) mathrm {D} ^ { beta} u (x) right),}$

a předpokládejme to L je rovnoměrně eliptický, tj. existuje konstanta θ > 0 takových

${ displaystyle sum _ {| alpha |, | beta | = k} xi ^ { alpha} A _ { alpha beta} (x) xi ^ { beta}> theta | xi | ^ {2k} { mbox {pro všechny}} x in Omega, xi in mathbb {R} ^ {n} setminus {0 }.}$

Nakonec předpokládejme, že koeficienty A_αβ jsou ohraničený, spojité funkce na uzavření Ω pro |α| = |β| = k a to

${ displaystyle A _ { alpha beta} v L ^ { infty} ( Omega) { mbox {pro všechny}} | alpha |, | beta | leq k.}$

Pak Gårdingova nerovnost platí: existují konstanty C > 0 a G ≥ 0

${ displaystyle B [u, u] + G | u | _ {L ^ {2} ( Omega)} ^ {2} geq C | u | _ {H ^ {k} ( Omega )} ^ {2} { mbox {pro všechny}} u v H_ {0} ^ {k} ( Omega),}$

kde

${ displaystyle B [v, u] = součet _ {0 leq | alpha |, | beta | leq k} int _ { Omega} A _ { alpha beta} (x) mathrm { D} ^ { alpha} u (x) mathrm {D} ^ { beta} v (x) , mathrm {d} x}$

je bilineární forma spojená s operátorem L.

Aplikace: Laplaceův operátor a Poissonův problém

Buďte opatrní, v této aplikaci se zde zdá Gardingova nerovnost zbytečná, protože konečný výsledek je přímým důsledkem Poincarého nerovnosti nebo Friedrichovy nerovnosti. (Viz diskuse k článku).

Jako jednoduchý příklad zvažte Operátor Laplace Δ. Přesněji řečeno, předpokládejme, že si to někdo přeje vyřešit F ∈ L²(Ω) Poissonova rovnice

${ displaystyle { begin {cases} - Delta u (x) = f (x), & x in Omega; u (x) = 0, & x in částečný Omega; end {případů} }}$

kde Ω je ohraničený Lipschitzova doména v Rⁿ. Odpovídající slabou formou problému je najít u v Sobolevově prostoru H₀¹(Ω) takové, že

${ displaystyle B [u, v] = langle f, v rangle { mbox {pro všechny}} v v H_ {0} ^ {1} ( Omega),}$

kde

${ displaystyle B [u, v] = int _ { Omega} nabla u (x) cdot nabla v (x) , mathrm {d} x,}$

${ displaystyle langle f, v rangle = int _ { Omega} f (x) v (x) , mathrm {d} x.}$

The Lema – Milgramové lemma zajišťuje, že pokud bilineární forma B je kontinuální i eliptický s ohledem na normu H₀¹(Ω), tedy pro každého F ∈ L²(Ω), jedinečné řešení u musí existovat v H₀¹(Ω). Hypotézy Gårdingovy nerovnosti lze snadno ověřit pro Laplaceův operátor Δ, takže existují konstanty C a G ≥ 0

${ displaystyle B [u, u] geq C | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} ^ {2} -G | u | _ {L ^ {2} ( Omega )} ^ {2} { mbox {pro všechny}} u v H_ {0} ^ {1} ( Omega).}$

Uplatnění Poincarého nerovnost umožňuje kombinovat dva výrazy na pravé straně, čímž se získá nová konstanta K. > 0 s

${ displaystyle B [u, u] geq K | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} ^ {2} { mbox {pro všechny}} u v H_ {0} ^ { 1} ( Omega),}$

což je přesně tvrzení, že B je eliptický. Kontinuita B je ještě lépe vidět: jednoduše použijte Cauchy – Schwarzova nerovnost a skutečnost, že Sobolevova norma je řízena L² norma přechodu.

Reference

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. str. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Věta 9.17)