Křivky napětí-deformace pro různé hyperelastické materiálové modely.
A hyperelastický nebo Zelená pružná materiál[1] konstitutivní model v ideálním případě elastický materiál, pro který je vztah napětí-deformace odvozen z a funkce hustoty deformační energie . Hyperelastický materiál je speciální případ a Cauchyův elastický materiál .
U mnoha materiálů lineární elastický modely přesně nepopisují pozorované chování materiálu. Nejběžnějším příkladem tohoto druhu materiálu je kaučuk, jehož stres -kmen vztah lze definovat jako nelineárně elastický, izotropní , nestlačitelný a obecně nezávislé na rychlost deformace . Hyperelasticita poskytuje prostředky k modelování chování těchto materiálů vůči napětí.[2] vulkanizovaný elastomery často úzce odpovídá hyperelastickému ideálu. Plněné elastomery a biologické tkáně [3] [4]
Ronald Rivlin a Melvin Mooney vyvinuli první hyperelastické modely, Neo-Hookean a Mooney – Rivlin pevné látky. Od té doby bylo vyvinuto mnoho dalších hyperelastických modelů. Mezi další široce používané modely hyperelastického materiálu patří Ogden model a Model Arruda – Boyce .
Modely hyperelastického materiálu Model Saint Venant – Kirchhoff Nejjednodušším hyperelastickým materiálovým modelem je model Saint Venant – Kirchhoff, který je pouze rozšířením geometricky lineárního elastického materiálového modelu do geometricky nelineárního režimu. Tento model má obecnou formu a izotropní formu
S = C : E {displaystyle {oldsymbol {S}} = {oldsymbol {C}}: {oldsymbol {E}}} S = λ tr ( E ) Já + 2 μ E . {displaystyle {oldsymbol {S}} = lambda ~ {ext {tr}} ({oldsymbol {E}}) {oldsymbol {mathit {I}}} + 2mu {oldsymbol {E}} {ext {.}}} kde S {displaystyle {oldsymbol {S}}} C : Já R 3 × 3 → Já R 3 × 3 {displaystyle {oldsymbol {C}}: {m {I! R}} ^ {3 imes 3} ightarrow {m {I! R}} ^ {3 imes 3}} tenzor tuhosti a E {displaystyle {oldsymbol {E}}}
E = 1 2 [ ( ∇ X u ) T + ∇ X u + ( ∇ X u ) T ⋅ ∇ X u ] {displaystyle mathbf {E} = {frac {1} {2}} left [(abla _ {mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} + abla _ {mathbf {X}} mathbf {u} + (abla _ {mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} cdot abla _ {mathbf {X}} mathbf {u} ight] ,!} λ {displaystyle lambda} μ {displaystyle mu} Laméovy konstanty , a Já {displaystyle {oldsymbol {mathit {I}}}}
Funkce hustoty deformační energie pro model Saint Venant – Kirchhoff je
Ž ( E ) = λ 2 [ tr ( E ) ] 2 + μ tr ( E 2 ) {displaystyle W ({oldsymbol {E}}) = {frac {lambda} {2}} [{ext {tr}} ({oldsymbol {E}})] ^ {2} + mu {ext {tr}} ( {oldsymbol {E}} ^ {2})} a druhé Piola – Kirchhoffovo napětí lze odvodit ze vztahu
S = ∂ Ž ∂ E . {displaystyle {oldsymbol {S}} = {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {E}}}} ~.} Klasifikace hyperelastických materiálových modelů Modely hyperelastického materiálu lze klasifikovat jako:
1) fenomenologický popisy pozorovaného chování
2) mechanistické modely odvozené z argumentů o základní struktuře materiálu
3) hybridy fenomenologických a mechanistických modelů
Obecně by hyperelastický model měl splňovat Stabilita Druckera kritérium. Některé hyperelastické modely splňují Valanis-Landelova hypotéza který uvádí, že funkci deformační energie lze rozdělit na součet samostatných funkcí hlavní úseky ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {displaystyle (lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3})}
Ž = F ( λ 1 ) + F ( λ 2 ) + F ( λ 3 ) . {displaystyle W = f (lambda _ {1}) + f (lambda _ {2}) + f (lambda _ {3}) ,.} Vztahy mezi napětím a napětím Stlačitelné hyperelastické materiály První stres Piola – Kirchhoff Li Ž ( F ) {displaystyle W ({oldsymbol {F}})} 1. tenzor napětí Piola – Kirchhoff lze vypočítat pro hyperelastický materiál jako
P = ∂ Ž ∂ F nebo P i K. = ∂ Ž ∂ F i K. . {displaystyle {oldsymbol {P}} = {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {F}}}} qquad {ext {nebo}} qquad P_ {iK} = {frac {částečné W} {částečné F_ {iK} }}.} kde F {displaystyle {oldsymbol {F}}} gradient deformace . Z hlediska Lagrangeový zelený kmen ( E {displaystyle {oldsymbol {E}}}
P = F ⋅ ∂ Ž ∂ E nebo P i K. = F i L ∂ Ž ∂ E L K. . {displaystyle {oldsymbol {P}} = {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {E}}}} qquad {ext {nebo}} qquad P_ {iK} = F_ {iL} ~ {frac {částečné W} {částečné E_ {LK}}} ~.} Z hlediska vpravo Cauchy – Tenzor zelené deformace ( C {displaystyle {oldsymbol {C}}}
P = 2 F ⋅ ∂ Ž ∂ C nebo P i K. = 2 F i L ∂ Ž ∂ C L K. . {displaystyle {oldsymbol {P}} = 2 ~ {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} qquad {ext {nebo}} qquad P_ {iK} = 2 ~ F_ {iL} ~ {frac {částečné W} {částečné C_ {LK}}} ~.} Druhý stres Piola – Kirchhoff Li S {displaystyle {oldsymbol {S}}} druhý Piola – Kirchhoffův tenzor napětí pak
S = F − 1 ⋅ ∂ Ž ∂ F nebo S Já J = F Já k − 1 ∂ Ž ∂ F k J . {displaystyle {oldsymbol {S}} = {oldsymbol {F}} ^ {- 1} cdot {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {F}}}} qquad {ext {nebo}} qquad S_ {IJ} = F_ {Ik} ^ {- 1} {frac {částečné W} {částečné F_ {kJ}}} ~.} Z hlediska Lagrangeový zelený kmen
S = ∂ Ž ∂ E nebo S Já J = ∂ Ž ∂ E Já J . {displaystyle {oldsymbol {S}} = {frac {částečný W} {částečný {oldsymbol {E}}}} qquad {ext {nebo}} qquad S_ {IJ} = {frac {částečný W} {částečný E_ {IJ} }} ~.} Z hlediska vpravo Cauchy – Tenzor zelené deformace
S = 2 ∂ Ž ∂ C nebo S Já J = 2 ∂ Ž ∂ C Já J . {displaystyle {oldsymbol {S}} = 2 ~ {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} qquad {ext {nebo}} qquad S_ {IJ} = 2 ~ {frac {částečné W} {částečné C_ {IJ}}} ~.} Výše uvedený vztah je také známý jako Doyle-Ericksenův vzorec v konfiguraci materiálu.
Cauchyho stres Podobně Cauchyho stres darováno
σ = 1 J ∂ Ž ∂ F ⋅ F T ; J := det F nebo σ i j = 1 J ∂ Ž ∂ F i K. F j K. . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {1} {J}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {F}}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} ~; ~~ J: = det {oldsymbol {F}} qquad {ext {or}} qquad sigma _ {ij} = {cfrac {1} {J}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné F_ {iK}}} ~ F_ {jK} ~.} Z hlediska Lagrangeový zelený kmen
σ = 1 J F ⋅ ∂ Ž ∂ E ⋅ F T nebo σ i j = 1 J F i K. ∂ Ž ∂ E K. L F j L . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {1} {J}} ~ {oldsymbol {F}} cdot {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {E}}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} qquad {ext {or}} qquad sigma _ {ij} = {cfrac {1} {J}} ~ F_ {iK} ~ {cfrac {částečné W} {částečné E_ {KL}}} ~ F_ {jL } ~.} Z hlediska vpravo Cauchy – Tenzor zelené deformace
σ = 2 J F ⋅ ∂ Ž ∂ C ⋅ F T nebo σ i j = 2 J F i K. ∂ Ž ∂ C K. L F j L . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ {oldsymbol {F}} cdot {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} qquad {ext {or}} qquad sigma _ {ij} = {cfrac {2} {J}} ~ F_ {iK} ~ {cfrac {částečné W} {částečné C_ {KL}}} ~ F_ {jL } ~.} Výše uvedené výrazy platí i pro anizotropní média (v takovém případě se rozumí, že potenciální funkce závisí implicitně na referenčních směrových veličinách, jako jsou počáteční orientace vláken). Ve zvláštním případě izotropie lze Cauchyovo napětí vyjádřit pomocí vlevo, odjet Cauchy-Greenův deformační tenzor takto:[5]
σ = 2 J B ⋅ ∂ Ž ∂ B nebo σ i j = 2 J B i k ∂ Ž ∂ B k j . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {B}}}} qquad {ext {nebo}} qquad sigma _ {ij} = {cfrac {2} {J}} ~ B_ {ik} ~ {cfrac {částečné W} {částečné B_ {kj}}} ~.} Nestlačitelné hyperelastické materiály Pro nestlačitelný materiál J := det F = 1 {displaystyle J: = det {oldsymbol {F}} = 1} J − 1 = 0 {displaystyle J-1 = 0}
Ž = Ž ( F ) − str ( J − 1 ) {displaystyle W = W ({oldsymbol {F}}) - p ~ (J-1)} kde hydrostatický tlak str {displaystyle p} Lagrangian multiplikátor prosadit omezení nestlačitelnosti. Stres 1. Piola – Kirchhoff se nyní stává
P = − str J F − T + ∂ Ž ∂ F = − str F − T + F ⋅ ∂ Ž ∂ E = − str F − T + 2 F ⋅ ∂ Ž ∂ C . {displaystyle {oldsymbol {P}} = - p ~ J {oldsymbol {F}} ^ {- T} + {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {F}}}} = - p ~ {oldsymbol {F} } ^ {- T} + {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {E}}}} = - p ~ {oldsymbol {F}} ^ {- T} + 2 ~ {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} ~.} Tento tenzor napětí může být následně převedeny do kteréhokoli z dalších konvenčních tenzorů napětí, jako je Cauchyho tenzor napětí který je dán
σ = P ⋅ F T = − str 1 + ∂ Ž ∂ F ⋅ F T = − str 1 + F ⋅ ∂ Ž ∂ E ⋅ F T = − str 1 + 2 F ⋅ ∂ Ž ∂ C ⋅ F T . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {oldsymbol {P}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {frac {částečné W} {částečné {oldsymbol {F}}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečný W} {částečný {oldsymbol {E }}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2 ~ {oldsymbol {F}} cdot {frac {částečný W} {částečný {oldsymbol {C }}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} ~.} Výrazy pro Cauchyův stres Stlačitelné izotropní hyperelastické materiály Pro izotropní hyperelastické materiály, Cauchyho napětí lze vyjádřit pomocí invarianty vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace (nebo vpravo Cauchy – Tenzor zelené deformace ). Pokud funkce hustoty deformační energie je Ž ( F ) = Ž ^ ( Já 1 , Já 2 , Já 3 ) = Ž ¯ ( Já ¯ 1 , Já ¯ 2 , J ) = Ž ~ ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {displaystyle W ({oldsymbol {F}}) = {hat {W}} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) = {ar {W}} ({ar {I}} _ { 1}, {ar {I}} _ {2}, J) = {ilde {W}} (lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3})}
σ = 2 Já 3 [ ( ∂ Ž ^ ∂ Já 1 + Já 1 ∂ Ž ^ ∂ Já 2 ) B − ∂ Ž ^ ∂ Já 2 B ⋅ B ] + 2 Já 3 ∂ Ž ^ ∂ Já 3 1 = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 1 + Já ¯ 1 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ Ž ¯ ∂ J − 2 3 J ( Já ¯ 1 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 ) ] 1 = 2 J [ ( ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 1 + Já ¯ 1 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 ) B ¯ − ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] + [ ∂ Ž ¯ ∂ J − 2 3 J ( Já ¯ 1 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ¯ ∂ Já ¯ 2 ) ] 1 = λ 1 λ 1 λ 2 λ 3 ∂ Ž ~ ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 λ 1 λ 2 λ 3 ∂ Ž ~ ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 λ 1 λ 2 λ 3 ∂ Ž ~ ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 {displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {sqrt {I_ {3}}}} vlevo [vlevo ({cfrac {částečné {hat {W}}} {částečné I_ {1 }}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečný {klobouk {W}}} {částečný I_ {2}}} vpravo) {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečný {klobouk {W}}} {částečný I_ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] +2 {sqrt {I_ {3}}} ~ {cfrac {částečný {klobouk {W}}} {částečný I_ {3 }}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} & = {cfrac {2} {J}} vlevo [{cfrac {1} {J ^ {2/3}}} vlevo ({cfrac {částečný {ar {W}}} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné {ar {W}}} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) {oldsymbol {B}} - {cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ {cfrac {částečný {ar {W}}} {částečný {ar {I}} _ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] & qquad qquad + left [{cfrac {částečný {ar {W}}} {částečný J}} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné {ar {W}}} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I} } _ {2} ~ {cfrac {částečný {ar {W}}} {částečný {ar {I}} _ {2}}} ight) ight] ~ {oldsymbol {mathit {1}}} & = {cfrac {2} {J}} vlevo [vlevo ({cfrac {částečné {ar {W}}} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I} } _ {1} ~ {cfrac {částečný {ar {W}}} {částečný {ar {I}} _ {2}}} ight) {ar {oldsymbol {B}}} - {cfrac {částečný {ar { W}}} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {oldsymbol {B}}} cdot {ar {oldsymbol {B}}} ight] + vlevo [{cfrac {částečné {ar { W}}} {částečné J}} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné {ar {W}}} {částečné {ar {I} } _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné {ar {W}}} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) ight] ~ {oldsymbol {mathit {1}}} & = {cfrac {lambda _ {1}} {lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné {ilde {W} }} {částečná lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} další mathbf {n} _ {1} + {cfrac {lambda _ {2}} {lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné {ilde {W}}} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n} _ {2} další mathbf {n} _ {2} + {cfrac { lambda _ {3}} {lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné {ilde {W}}} {částečné lambda _ {3}}} ~ mathbf {n} _ {3} další mathbf {n} _ {3} konec {zarovnáno}}} (Viz stránka na levý tenzor Cauchy – zelené deformace pro definice těchto symbolů).
Důkaz 2: The izochorický gradient deformace je definován jako F ¯ := J − 1 / 3 F {displaystyle {ar {oldsymbol {F}}}: = J ^ {- 1/3} {oldsymbol {F}}} B ¯ := F ¯ ⋅ F ¯ T = J − 2 / 3 B {displaystyle {ar {oldsymbol {B}}}: = {ar {oldsymbol {F}}} cdot {ar {oldsymbol {F}}} ^ {T} = J ^ {- 2/3} {oldsymbol {B} }} Invarianty B ¯ {displaystyle {ar {oldsymbol {B}}}} Já ¯ 1 = tr ( B ¯ ) = J − 2 / 3 tr ( B ) = J − 2 / 3 Já 1 Já ¯ 2 = 1 2 ( tr ( B ¯ ) 2 − tr ( B ¯ 2 ) ) = 1 2 ( ( J − 2 / 3 tr ( B ) ) 2 − tr ( J − 4 / 3 B 2 ) ) = J − 4 / 3 Já 2 Já ¯ 3 = det ( B ¯ ) = J − 6 / 3 det ( B ) = J − 2 Já 3 = J − 2 J 2 = 1 {displaystyle {egin {aligned} {ar {I}} _ {1} & = {ext {tr}} ({ar {oldsymbol {B}}}) = J ^ {- 2/3} {ext {tr} } ({oldsymbol {B}}) = J ^ {- 2/3} I_ {1} {ar {I}} _ {2} & = {frac {1} {2}} vlevo ({ext {tr }} ({ar {oldsymbol {B}}}) ^ {2} - {ext {tr}} ({ar {oldsymbol {B}}} ^ {2}) ight) = {frac {1} {2} } vlevo (vlevo (J ^ {- 2/3} {ext {tr}} ({oldsymbol {B}}) ight) ^ {2} - {ext {tr}} (J ^ {- 4/3} { oldsymbol {B}} ^ {2}) ight) = J ^ {- 4/3} I_ {2} {ar {I}} _ {3} & = det ({ar {oldsymbol {B}}}) = J ^ {- 6/3} det ({oldsymbol {B}}) = J ^ {- 2} I_ {3} = J ^ {- 2} J ^ {2} = 1end {zarovnáno}}} J {displaystyle J}
Vyjádřit Cauchyův stres z hlediska invariantů Já ¯ 1 , Já ¯ 2 , J {displaystyle {ar {I}} _ {1}, {ar {I}} _ {2}, J}
Já ¯ 1 = J − 2 / 3 Já 1 = Já 3 − 1 / 3 Já 1 ; Já ¯ 2 = J − 4 / 3 Já 2 = Já 3 − 2 / 3 Já 2 ; J = Já 3 1 / 2 . {displaystyle {ar {I}} _ {1} = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1} = I_ {3} ^ {- 1/3} ~ I_ {1} ~; ~~ {ar { I}} _ {2} = J ^ {- 4/3} ~ I_ {2} = I_ {3} ^ {- 2/3} ~ I_ {2} ~; ~~ J = I_ {3} ^ { 1/2} ~.} Řetězové pravidlo diferenciace nám dává
∂ Ž ∂ Já 1 = ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 ∂ Já ¯ 1 ∂ Já 1 + ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ∂ Já ¯ 2 ∂ Já 1 + ∂ Ž ∂ J ∂ J ∂ Já 1 = Já 3 − 1 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 = J − 2 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já 2 = ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 ∂ Já ¯ 1 ∂ Já 2 + ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ∂ Já ¯ 2 ∂ Já 2 + ∂ Ž ∂ J ∂ J ∂ Já 2 = Já 3 − 2 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 = J − 4 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já 3 = ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 ∂ Já ¯ 1 ∂ Já 3 + ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ∂ Já ¯ 2 ∂ Já 3 + ∂ Ž ∂ J ∂ J ∂ Já 3 = − 1 3 Já 3 − 4 / 3 Já 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 − 2 3 Já 3 − 5 / 3 Já 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 + 1 2 Já 3 − 1 / 2 ∂ Ž ∂ J = − 1 3 J − 8 / 3 J 2 / 3 Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 − 2 3 J − 10 / 3 J 4 / 3 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 + 1 2 J − 1 ∂ Ž ∂ J = − 1 3 J − 2 ( Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) + 1 2 J − 1 ∂ Ž ∂ J {displaystyle {egin {aligned} {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} & = {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} ~ {cfrac {částečné {ar {I}} _ {1}} {částečné I_ {1}}} + {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {cfrac {částečné {ar {I}} _ {2}} {částečné I_ {1}}} + {cfrac {částečné W} {částečné J}} ~ {cfrac {částečné J} {částečné I_ {1}}} & = I_ {3} ^ {- 1 / 3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} = J ^ {- 2/3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ { 1}}} {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} & = {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} ~ {cfrac {částečné {ar {I }} _ {1}} {částečné I_ {2}}} + {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {cfrac {částečné {ar {I}} _ {2 }} {částečné I_ {2}}} + {cfrac {částečné W} {částečné J}} ~ {cfrac {částečné J} {částečné I_ {2}}} & = I_ {3} ^ {- 2/3 } ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} = J ^ {- 4/3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2} }} {cfrac {částečné W} {částečné I_ {3}}} & = {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} ~ {cfrac {částečné {ar {I}} _ {1}} {částečné I_ {3}}} + {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {cfrac {částečné { ar {I}} _ {2}} {částečné I_ {3}}} + {cfrac {částečné W} {částečné J}} ~ {cfrac {částečné J} {částečné I_ {3}}} & = - { cfrac {1} {3}} ~ I_ {3} ^ {- 4/3} ~ I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} - {cfrac { 2} {3}} ~ I_ {3} ^ {- 5/3} ~ I_ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} + {cfrac {1} {2}} ~ I_ {3} ^ {- 1/2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné J}} & = - {cfrac {1} {3}} ~ J ^ {- 8/3} ~ J ^ {2/3} ~ {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} - {cfrac {2} {3}} ~ J ^ {- 10/3} ~ J ^ {4/3} ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} + {cfrac {1} {2}} ~ J ^ {- 1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné J}} & = - {cfrac {1} {3}} ~ J ^ {- 2} ~ vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečný {ar {I}} _ {2}}} vpravo) + {cfrac {1} {2}} ~ J ^ {- 1} ~ {cfrac {částečný W} {částečný J}} konec {zarovnán }}} Připomeňme, že Cauchyovo napětí je dáno
σ = 2 Já 3 [ ( ∂ Ž ∂ Já 1 + Já 1 ∂ Ž ∂ Já 2 ) B − ∂ Ž ∂ Já 2 B ⋅ B ] + 2 Já 3 ∂ Ž ∂ Já 3 1 . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {sqrt {I_ {3}}}} ~ vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} + I_ {1} ~ { cfrac {částečný W} {částečný I_ {2}}} pravý) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečný W} {částečný I_ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B} } ight] + 2 ~ {sqrt {I_ {3}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {3}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.} Pokud jde o invarianty Já ¯ 1 , Já ¯ 2 , J {displaystyle {ar {I}} _ {1}, {ar {I}} _ {2}, J}
σ = 2 J [ ( ∂ Ž ∂ Já 1 + J 2 / 3 Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já 2 ) B − ∂ Ž ∂ Já 2 B ⋅ B ] + 2 J ∂ Ž ∂ Já 3 1 . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} + J ^ {2/3} ~ {ar {I }} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} ight) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} ~ {oldsymbol {B }} cdot {oldsymbol {B}} ight] + 2 ~ J ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {3}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.} Zapojení výrazů pro deriváty Ž {displaystyle W} Já ¯ 1 , Já ¯ 2 , J {displaystyle {ar {I}} _ {1}, {ar {I}} _ {2}, J}
σ = 2 J [ ( J − 2 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + J − 2 / 3 Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B − J − 4 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ⋅ B ] + 2 J [ − 1 3 J − 2 ( Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) + 1 2 J − 1 ∂ Ž ∂ J ] 1 {displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo (J ^ {- 2/3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I }} _ {1}}} + J ^ {- 2/3} ~ {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} hned ) ~ {oldsymbol {B}} - J ^ {- 4/3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B }} ight] + & qquad 2 ~ J ~ vlevo [- {cfrac {1} {3}} ~ J ^ {- 2} ~ vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} včas) + {cfrac {1} {2}} ~ J ^ {- 1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné J}} ight] ~ {oldsymbol {mathit {1}}} konec {zarovnáno}}} nebo,
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ Ž ∂ J − 2 3 J ( Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) ] 1 {displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [{cfrac {1} {J ^ {2/3}}} ~ vlevo ({cfrac {částečné W } {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} včas) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] & qquad + vlevo [{cfrac {částečné W} {částečné J}} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2} }} ight) ight] {oldsymbol {mathit {1}}} konec {zarovnáno}}} Z hlediska deviátorové části B {displaystyle {oldsymbol {B}}}
σ = 2 J [ ( ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B ¯ − ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] + [ ∂ Ž ∂ J − 2 3 J ( Já ¯ 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + 2 Já ¯ 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) ] 1 {displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) ~ {ar {oldsymbol {B}}} - {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {oldsymbol {B}}} cdot {ar {oldsymbol {B}}} ight] & qquad + vlevo [{cfrac {částečné W} {částečné J }} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) ight] {oldsymbol {mathit {1}}} konec {zarovnáno}}} Pro nestlačitelný materiál J = 1 {displaystyle J = 1} Ž = Ž ( Já ¯ 1 , Já ¯ 2 ) {displaystyle W = W ({ar {I}} _ {1}, {ar {I}} _ {2})}
σ = 2 [ ( ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + Já 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B ¯ − ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] − str 1 . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = 2 vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar { I}} _ {2}}} ight) ~ {ar {oldsymbol {B}}} - {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {oldsymbol {B} }} cdot {ar {oldsymbol {B}}} ight] -p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.} kde str {displaystyle p} Já ¯ 1 = Já ¯ 2 {displaystyle {ar {I}} _ {1} = {ar {I}} _ {2}} Ž = Ž ( Já ¯ 1 ) {displaystyle W = W ({ar {I}} _ {1})}
σ = 2 ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 B ¯ − str 1 . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = 2 {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} ~ {ar {oldsymbol {B}}} - p ~ {oldsymbol {mathit {1} }} ~.}
Důkaz 3: Vyjádřit Cauchyův stres z hlediska úseky λ 1 , λ 2 , λ 3 {displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3}} ∂ λ i ∂ C = 1 2 λ i R T ⋅ ( n i ⊗ n i ) ⋅ R ; i = 1 , 2 , 3 . {displaystyle {cfrac {částečná lambda _ {i}} {částečná {oldsymbol {C}}}} = {cfrac {1} {2lambda _ {i}}} ~ {oldsymbol {R}} ^ {T} cdot (mathbf {n} _ {i} další mathbf {n} _ {i}) cdot {oldsymbol {R}} ~; ~~ i = 1,2,3 ~.} Pravidlo řetězu dává
∂ Ž ∂ C = ∂ Ž ∂ λ 1 ∂ λ 1 ∂ C + ∂ Ž ∂ λ 2 ∂ λ 2 ∂ C + ∂ Ž ∂ λ 3 ∂ λ 3 ∂ C = R T ⋅ [ 1 2 λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + 1 2 λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + 1 2 λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] ⋅ R {displaystyle {egin {aligned} {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} & = {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ {cfrac {částečné lambda _ {1} } {částečný {oldsymbol {C}}}} + {cfrac {částečný W} {částečný lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečný lambda _ {2}} {částečný {oldsymbol {C}}}} + { cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné lambda _ {3}} {částečné {oldsymbol {C}}}} & = {oldsymbol {R}} ^ {T} cdot left [{cfrac {1} {2lambda _ {1}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} často mathbf {n} _ {1} + { cfrac {1} {2lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n} _ {2} často mathbf {n} _ {2} + {cfrac { 1} {2lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ mathbf {n} _ {3} další mathbf {n} _ {3} ight] cdot {oldsymbol { R}} konec {zarovnáno}}} Cauchyovo napětí je dáno vztahem
σ = 2 J F ⋅ ∂ Ž ∂ C ⋅ F T = 2 J ( PROTI ⋅ R ) ⋅ ∂ Ž ∂ C ⋅ ( R T ⋅ PROTI ) {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ {oldsymbol {F}} cdot {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {T} = {cfrac {2} {J}} ~ ({oldsymbol {V}} cdot {oldsymbol {R}}) cdot {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} cdot ({oldsymbol {R}} ^ {T} cdot {oldsymbol {V}})} Připojením výrazu pro derivaci Ž {displaystyle W}
σ = 2 J PROTI ⋅ [ 1 2 λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + 1 2 λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + 1 2 λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] ⋅ PROTI {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ {oldsymbol {V}} cdot left [{cfrac {1} {2lambda _ {1}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} další mathbf {n} _ {1} + {cfrac {1} {2lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n} _ {2} často mathbf {n} _ {2} + {cfrac {1} {2lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3 }}} ~ mathbf {n} _ {3} často mathbf {n} _ {3} ight] cdot {oldsymbol {V}}} Za použití spektrální rozklad z PROTI {displaystyle {oldsymbol {V}}}
PROTI ⋅ ( n i ⊗ n i ) ⋅ PROTI = λ i 2 n i ⊗ n i ; i = 1 , 2 , 3. {displaystyle {oldsymbol {V}} cdot (mathbf {n} _ {i} otimes mathbf {n} _ {i}) cdot {oldsymbol {V}} = lambda _ {i} ^ {2} ~ mathbf {n} _ {i} častěji mathbf {n} _ {i} ~; ~~ i = 1,2,3.} Všimněte si také, že
J = det ( F ) = det ( PROTI ) det ( R ) = det ( PROTI ) = λ 1 λ 2 λ 3 . {displaystyle J = det ({oldsymbol {F}}) = det ({oldsymbol {V}}) det ({oldsymbol {R}}) = det ({oldsymbol {V}}) = lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} ~.} Proto lze výraz pro Cauchyův stres psát jako
σ = 1 λ 1 λ 2 λ 3 [ λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = {cfrac {1} {lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}}} ~ vlevo [lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} často mathbf {n} _ {1} + lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ight]} Pro nestlačitelný materiál λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {displaystyle lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3} = 1} Ž = Ž ( λ 1 , λ 2 ) {displaystyle W = W (lambda _ {1}, lambda _ {2})} [1]
σ = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 − str 1 {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} často mathbf {n} _ {1} + lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n} _ {2} jiné mathbf {n} _ {2} + lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W } {částečná lambda _ {3}}} ~ mathbf {n} _ {3} často mathbf {n} _ {3} -p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~} V této fázi je nutná určitá opatrnost, protože při opakování vlastního čísla je to pouze obecně Gateaux rozlišitelné , ale ne Fréchet rozlišitelný .[6] [7] tenzorová derivace lze najít pouze řešením jiného problému s vlastní hodnotou.
Pokud vyjádříme napětí ve smyslu rozdílů mezi složkami,
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 {displaystyle sigma _ {11} -sigma _ {33} = lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~; ~~ sigma _ {22} -sigma _ {33} = lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}}} Pokud kromě nestlačitelnosti máme λ 1 = λ 2 {displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2}} σ 11 = σ 22 {displaystyle sigma _ {11} = sigma _ {22}}
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 {displaystyle sigma _ {11} -sigma _ {33} = sigma _ {22} -sigma _ {33} = lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}}}
Nestlačitelné izotropní hyperelastické materiály Pro nestlačitelné izotropní hyperelastické materiály, funkce hustoty deformační energie je Ž ( F ) = Ž ^ ( Já 1 , Já 2 ) {displaystyle W ({oldsymbol {F}}) = {hat {W}} (I_ {1}, I_ {2})}
σ = − str 1 + 2 [ ( ∂ Ž ^ ∂ Já 1 + Já 1 ∂ Ž ^ ∂ Já 2 ) B − ∂ Ž ^ ∂ Já 2 B ⋅ B ] = − str 1 + 2 [ ( ∂ Ž ∂ Já ¯ 1 + Já 1 ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 ) B ¯ − ∂ Ž ∂ Já ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] = − str 1 + λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 {displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2left [left ({cfrac {částečný {hat {W}}} {částečný I_ {1}} } + I_ {1} ~ {cfrac {částečné {hat {W}}} {částečné I_ {2}}} ight) {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečné {hat {W}}} {částečné I_ { 2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] & = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2left [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) ~ {ar {oldsymbol {B}}} - { cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {oldsymbol {B}}} cdot {ar {oldsymbol {B}}} ight] & = - p ~ {oldsymbol { mathit {1}}} + lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ mathbf {n} _ {1} jiné časy mathbf {n} _ {1} + lambda _ { 2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ mathbf {n} _ {2} jiné mathbf {n} _ {2} + lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} { částečná lambda _ {3}}} ~ mathbf {n} _ {3} často mathbf {n} _ {3} konec {zarovnáno}}} kde str {displaystyle p}
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ Ž ∂ λ 2 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 {displaystyle sigma _ {11} -sigma _ {33} = lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~; ~~ sigma _ {22} -sigma _ {33} = lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}}} Pokud navíc Já 1 = Já 2 {displaystyle I_ {1} = I_ {2}}
σ = 2 ∂ Ž ∂ Já 1 B − str 1 . {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = 2 {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} ~ {oldsymbol {B}} - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.} Li λ 1 = λ 2 {displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2}}
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = λ 1 ∂ Ž ∂ λ 1 − λ 3 ∂ Ž ∂ λ 3 {displaystyle sigma _ {11} -sigma _ {33} = sigma _ {22} -sigma _ {33} = lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} - lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}}} Konzistence s lineární pružností Konzistence s lineární elasticitou se často používá k určení některých parametrů modelů hyperelastického materiálu. Tyto podmínky konzistence lze nalézt porovnáním Hookeův zákon s linearizovanou hyperelasticitou u malých kmenů.
Podmínky konzistence pro izotropní hyperelastické modely Aby byly izotropní hyperelastické materiály v souladu s isotropními lineární pružnost , vztah napětí-deformace by měl mít v nekonečně malý kmen omezit:
σ = λ t r ( ε ) 1 + 2 μ ε {displaystyle {oldsymbol {sigma}} = lambda ~ mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}}) ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2mu {oldsymbol {varepsilon}}} kde λ , μ {displaystyle lambda, mu} Laméovy konstanty . Funkce hustoty deformační energie, která odpovídá výše uvedenému vztahu, je[1]
Ž = 1 2 λ [ t r ( ε ) ] 2 + μ t r ( ε 2 ) {displaystyle W = {frac {1} {2}} lambda ~ [mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}})] ^ {2} + mu ~ mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}} ^ {2 })} Pro nestlačitelný materiál t r ( ε ) = 0 {displaystyle mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}}) = 0}
Ž = μ t r ( ε 2 ) {displaystyle W = mu ~ mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon}} ^ {2})} Pro jakoukoli funkci hustoty deformační energie Ž ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {displaystyle W (lambda _ {1}, lambda _ {2}, lambda _ {3})} [1]
Ž ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ; ∂ Ž ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ∂ 2 Ž ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) = λ + 2 μ δ i j {displaystyle {egin {aligned} & W (1,1,1) = 0 ~; ~~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {i}}} (1,1,1) = 0 & {cfrac { částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} částečné lambda _ {j}}} (1,1,1) = lambda + 2mu delta _ {ij} konec {zarovnáno}}} Pokud je materiál nestlačitelný, pak mohou být výše uvedené podmínky vyjádřeny v následující formě.
Ž ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ∂ Ž ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = ∂ Ž ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) ; ∂ 2 Ž ∂ λ i 2 ( 1 , 1 , 1 ) = ∂ 2 Ž ∂ λ j 2 ( 1 , 1 , 1 ) ∂ 2 Ž ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) = i n d E str E n d E n t Ó F i , j ≠ i ∂ 2 Ž ∂ λ i 2 ( 1 , 1 , 1 ) − ∂ 2 Ž ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) + ∂ Ž ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = 2 μ ( i ≠ j ) {displaystyle {egin {aligned} & W (1,1,1) = 0 & {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {i}}} (1,1,1) = {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {j}}} (1,1,1) ~; ~~ {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} ^ {2}}} (1,1,1) = { cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {j} ^ {2}}} (1,1,1) & {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} částečné lambda _ {j}}} (1,1,1) = mathrm {independententof} ~ i, jeq i & {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} ^ {2}}} (1 , 1,1) - {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} částečné lambda _ {j}}} (1,1,1) + {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ { i}}} (1,1,1) = 2mu ~~ (ieq j) konec {zarovnáno}}} Tyto podmínky lze použít k nalezení vztahů mezi parametry daného hyperelastického modelu a smykovými a objemovými moduly.
Podmínky konzistence pro nestlačitelné Já 1 {displaystyle I_ {1}} Mnoho elastomerů je adekvátně modelováno funkcí hustoty deformační energie, která závisí pouze na Já 1 {displaystyle I_ {1}} Ž = Ž ( Já 1 ) {displaystyle W = W (I_ {1})} Já 1 = 3 , λ i = λ j = 1 {displaystyle I_ {1} = 3, lambda _ {i} = lambda _ {j} = 1}
Ž ( Já 1 ) | Já 1 = 3 = 0 a ∂ Ž ∂ Já 1 | Já 1 = 3 = μ 2 . {displaystyle W (I_ {1}) {iggr |} _ {I_ {1} = 3} = 0quad {ext {and}} quad {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} {iggr |} _ {I_ {1} = 3} = {frac {mu} {2}} ,.} Výše uvedená druhá podmínka konzistence může být odvozena tím, že je zaznamenána
∂ Ž ∂ λ i = ∂ Ž ∂ Já 1 ∂ Já 1 ∂ λ i = 2 λ i ∂ Ž ∂ Já 1 a ∂ 2 Ž ∂ λ i ∂ λ j = 2 δ i j ∂ Ž ∂ Já 1 + 4 λ i λ j ∂ 2 Ž ∂ Já 1 2 . {displaystyle {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {i}}} = {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} {cfrac {částečné I_ {1}} {částečné lambda _ {i}}} = 2lambda _ {i} {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} quad {ext {a}} quad {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné lambda _ {i} částečné lambda _ {j }}} = 2delta _ {ij} {cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} + 4lambda _ {i} lambda _ {j} {cfrac {částečné ^ {2} W} {částečné I_ {1} ^ {2}}} ,.} Tyto vztahy pak mohou být nahrazeny do podmínky konzistence pro izotropní nestlačitelné hyperelastické materiály.
Reference ^ A b C d R.W. Ogden, 1984, Nelineární elastické deformace , ISBN 0-486-69648-0Dover. ^ Muhr, A. H. (2005). "Modelování chování napětí a deformace pryže". Chemie a technologie kaučuku . 78 (3): 391–425. doi :10.5254/1.3547890 . ^ Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X. „Model nelineární lidské mitrální chlopně s omezeným napětím s interakcí tekutina-struktura“ . Int J Numer Method Biomed Eng . 30 : 1597–613. doi :10,1002 / cnm.2691 . PMC 4278556 PMID 25319496 . ^ Jia, F; Ben Amar, M; Billoud, B; Charrier, B. „Morphoelasticity ve vývoji hnědé řasy Ectocarpus siliculosus : od zaokrouhlování buněk k větvení " . Rozhraní J R Soc . 14 : 20160596. doi :10.1098 / rsif.2016.0596 . PMC 5332559 PMID 28228537 . ^ Y. Basar, 2000, Nelineární mechanika kontinua pevných látek, Springer, s. 157. ^ Fox & Kapoor, Sazby změny vlastních čísel a vlastních vektorů , AIAA Journal , 6 (12) 2426–2429 (1968) ^ Friswell MI. Deriváty opakovaných vlastních čísel a jejich přidružené vlastní vektory. Journal of Vibration and Acoustics (ASME) 1996; 118: 390–397. Viz také 
![{mathbf E}={frac {1}{2}}left[(abla _{{{mathbf X}}}{mathbf u})^{T}+abla _{{{mathbf X}}}{mathbf u}+(abla _{{{mathbf X}}}{mathbf u})^{T}cdot abla _{{{mathbf X}}}{mathbf u}ight],!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb57038f53e8acd75c977dd33dc650dd27913b2c)
![W({ oldsymbol {E}})={frac {lambda }{2}}[{ ext{tr}}({ oldsymbol {E}})]^{2}+mu { ext{tr}}({ oldsymbol {E}}^{2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9c069514727f98b79fe8f70daaacd4e1750cbc)
![{ egin{aligned}{ oldsymbol {sigma }}&={cfrac {2}{{sqrt {I_{3}}}}}left[left({cfrac {partial {hat {W}}}{partial I_{1}}}+I_{1}~{cfrac {partial {hat {W}}}{partial I_{2}}}ight){ oldsymbol {B}}-{cfrac {partial {hat {W}}}{partial I_{2}}}~{ oldsymbol {B}}cdot { oldsymbol {B}}ight]+2{sqrt {I_{3}}}~{cfrac {partial {hat {W}}}{partial I_{3}}}~{ oldsymbol {{mathit {1}}}}&={cfrac {2}{J}}left[{cfrac {1}{J^{{2/3}}}}left({cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{1}}}+{ ar {I}}_{1}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}ight){ oldsymbol {B}}-{cfrac {1}{J^{{4/3}}}}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}~{ oldsymbol {B}}cdot { oldsymbol {B}}ight]&qquad qquad +left[{cfrac {partial { ar {W}}}{partial J}}-{cfrac {2}{3J}}left({ ar {I}}_{1}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{1}}}+2~{ ar {I}}_{2}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}ight)ight]~{ oldsymbol {{mathit {1}}}}&={cfrac {2}{J}}left[left({cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{1}}}+{ ar {I}}_{1}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}ight){ ar {{ oldsymbol {B}}}}-{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}~{ ar {{ oldsymbol {B}}}}cdot { ar {{ oldsymbol {B}}}}ight]+left[{cfrac {partial { ar {W}}}{partial J}}-{cfrac {2}{3J}}left({ ar {I}}_{1}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{1}}}+2~{ ar {I}}_{2}~{cfrac {partial { ar {W}}}{partial { ar {I}}_{2}}}ight)ight]~{ oldsymbol {{mathit {1}}}}&={cfrac {lambda _{1}}{lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}}}~{cfrac {partial { ilde {W}}}{partial lambda _{1}}}~{mathbf {n}}_{1}otimes {mathbf {n}}_{1}+{cfrac {lambda _{2}}{lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}}}~{cfrac {partial { ilde {W}}}{partial lambda _{2}}}~{mathbf {n}}_{2}otimes {mathbf {n}}_{2}+{cfrac {lambda _{3}}{lambda _{1}lambda _{2}lambda _{3}}}~{cfrac {partial { ilde {W}}}{partial lambda _{3}}}~{mathbf {n}}_{3}otimes {mathbf {n}}_{3}end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c827a98c19f82fbc33bc4787ff6e1aaa021d5d22)
![{ oldsymbol {sigma }}={cfrac {2}{J}}~left[{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~{ oldsymbol {F}}cdot { oldsymbol {F}}^{T}+{cfrac {partial W}{partial I_{2}}}~(I_{1}~{ oldsymbol {F}}cdot { oldsymbol {F}}^{T}-{ oldsymbol {F}}cdot { oldsymbol {F}}^{T}cdot { oldsymbol {F}}cdot { oldsymbol {F}}^{T})+{cfrac {partial W}{partial I_{3}}}~I_{3}~{ oldsymbol {{mathit {1}}}}ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e14aca126ea518e5e3e0132e4fd899deadbc3ad)
![{ oldsymbol {sigma }}={cfrac {2}{{sqrt {I_{3}}}}}~left[left({cfrac {partial W}{partial I_{1}}}+I_{1}~{cfrac {partial W}{partial I_{2}}}ight)~{ oldsymbol {B}}-{cfrac {partial W}{partial I_{2}}}~{ oldsymbol {B}}cdot { oldsymbol {B}}ight]+2~{sqrt {I_{3}}}~{cfrac {partial W}{partial I_{3}}}~{ oldsymbol {{mathit {1}}}}~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1ee0c6cf0b91150820746d66e9a5e38e7cfe65)
![{oldsymbol {sigma}} = 2 vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} vpravo) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] -p ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} ~ .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6381092927f1ab91630b3e401879855dbfa465d0)
![{oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné I_ {1}}} + J ^ {{2/3}} ~ {ar {I }} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} ight) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečné W} {částečné I_ {2}}} ~ {oldsymbol {B }} cdot {oldsymbol {B}} ight] + 2 ~ J ~ {cfrac {částečné W} {částečné I_ {3}}} ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f30443899568890a1c8f543ec6a9524c996172)
![{egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo (J ^ {{- 2/3}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I }} _ {1}}} + J ^ {{- 2/3}} ~ {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}} } ight) ~ {oldsymbol {B}} - J ^ {{- 4/3}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] + & qquad 2 ~ J ~ vlevo [- {cfrac {1} {3}} ~ J ^ {{- 2}} ~ vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ { 2}}} ight) + {cfrac {1} {2}} ~ J ^ {{- 1}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné J}} ight] ~ {oldsymbol {{mathit {1}}} } konec {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942d309f640a99c84f20f0f4d241b013e1a933d6)
![{egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [{cfrac {1} {J ^ {{2/3}}}}} vlevo ({cfrac {částečné W } {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} včas) ~ {oldsymbol {B}} - {cfrac {1} {J ^ {{4/3}}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {oldsymbol {B }} cdot {oldsymbol {B}} ight] & qquad + vlevo [{cfrac {částečné W} {částečné J}} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ { 2}}} ight) ight] {oldsymbol {{mathit {1}}}} konec {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf8d623e7b2f5d1d9f08bd3c2b5a5b7d833f8df)
![{egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = {cfrac {2} {J}} ~ vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + {ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} včas) ~ {ar {{oldsymbol {B}}}} - {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {{oldsymbol {B}}}} cdot {ar {{oldsymbol {B}}}} ight] & qquad + left [{cfrac {částečné W } {částečné J}} - {cfrac {2} {3J}} vlevo ({ar {I}} _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {ar {I}} _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ight) ight] {oldsymbol {{mathit {1}}}} konec { zarovnaný}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e447cd3da810efbd1307341195ecdcade76c7a)
![{oldsymbol {sigma}} = 2 vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {1}}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I} } _ {2}}} ight) ~ {ar {{oldsymbol {B}}}} - {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {{oldsymbol {B }}}} cdot {ar {{oldsymbol {B}}}} ight] -p ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0104ea1124e91b8d004bdb373b069edcc94d576f)
![{egin {aligned} {cfrac {částečné W} {částečné {oldsymbol {C}}}} & = {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ {cfrac {částečné lambda _ {1}} { částečný {oldsymbol {C}}}} + {cfrac {částečný W} {částečný lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečný lambda _ {2}} {částečný {oldsymbol {C}}}} + {cfrac { částečný W} {částečný lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečný lambda _ {3}} {částečný {oldsymbol {C}}}} & = {oldsymbol {R}} ^ {T} cdot left [{ cfrac {1} {2lambda _ {1}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ {mathbf {n}} _ {1} často {mathbf {n}} _ {1} + {cfrac {1} {2lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ {mathbf {n}} _ {2} často {mathbf {n}} _ { 2} + {cfrac {1} {2lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ {mathbf {n}} _ {3} často {mathbf {n}} _ {3} ight] cdot {oldsymbol {R}} konec {zarovnáno}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7525fe32c1f006a7800f672d51035a43e2802c90)
![{oldsymbol {sigma}} = {cfrac {2} {J}} ~ {oldsymbol {V}} zbývá cdot [{cfrac {1} {2lambda _ {1}}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ {mathbf {n}} _ {1} často {mathbf {n}} _ {1} + {cfrac {1} {2lambda _ {2}}} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ {mathbf {n}} _ {2} další {mathbf {n}} _ {2} + {cfrac {1} {2lambda _ {3}}} ~ {cfrac {částečné W} {partial lambda _ {3}}} ~ {mathbf {n}} _ {3} otimes {mathbf {n}} _ {3} ight] cdot {oldsymbol {V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977230f6bcdfd24e95c31388332eadf83658fca3)
![{oldsymbol {sigma}} = {cfrac {1} {lambda _ {1} lambda _ {2} lambda _ {3}}} ~ vlevo [lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ { 1}}} ~ {mathbf {n}} _ {1} často {mathbf {n}} _ {1} + lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ { mathbf {n}} _ {2} další {mathbf {n}} _ {2} + lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ {mathbf {n}} _ {3} další {mathbf {n}} _ {3} včas]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f1a3e0369450e0ee8ec83c6917e96874302e62)
![{egin {aligned} {oldsymbol {sigma}} & = - p ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} + 2left [left ({cfrac {částečný {hat {W}}} {částečný I_ {1}} } + I_ {1} ~ {cfrac {částečné {hat {W}}} {částečné I_ {2}}} ight) {oldsymbol {B}} - {cfrac {částečné {hat {W}}} {částečné I_ { 2}}} ~ {oldsymbol {B}} cdot {oldsymbol {B}} ight] & = - p ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} + 2 vlevo [vlevo ({cfrac {částečné W} {částečné) {ar {I}} _ {1}}} + I_ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} včas) ~ {ar {{oldsymbol {B}} }} - {cfrac {částečné W} {částečné {ar {I}} _ {2}}} ~ {ar {{oldsymbol {B}}}} cdot {ar {{oldsymbol {B}}}} včas] & = - p ~ {oldsymbol {{mathit {1}}}} + lambda _ {1} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {1}}} ~ {mathbf {n}} _ {1} často {mathbf {n}} _ {1} + lambda _ {2} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {2}}} ~ {mathbf {n}} _ {2} často {mathbf {n}} _ {2} + lambda _ {3} ~ {cfrac {částečné W} {částečné lambda _ {3}}} ~ {mathbf {n}} _ {3} často {mathbf {n}} _ {3} konec { zarovnaný}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01e1483b139b0476ce6e30d37db183a0f1fa600)
![W = {frac {1} {2}} lambda ~ [{mathrm {tr}} ({oldsymbol {varepsilon}})] ^ {2} + mu ~ {mathrm {tr}} ({oldsymbol {varepsilon}} ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5e49f19ce38854b20045fed38b47140cbc09f1)
