Egorovova věta - Egorovs theorem - Wikipedia

v teorie míry, oblast matematika, Egorovova věta stanoví podmínku pro jednotná konvergence a bodově konvergentní sekvence z měřitelné funkce. Je také pojmenován Severini – Egoroffova věta nebo Věta Severini – Egorov, po Carlo Severini, an italština matematik, a Dmitrij Egorov, a ruština fyzik a geometr, který publikoval nezávislé důkazy v letech 1910 a 1911.

Egorovu větu lze použít spolu s kompaktně podporováno spojité funkce dokázat Lusinova věta pro integrovatelné funkce.

Historická poznámka

První důkaz věty poskytl Carlo Severini v roce 1910:^[1][2] použil výsledek jako nástroj při svém výzkumu série z ortogonální funkce. Jeho práce zůstala venku zjevně bez povšimnutí Itálie, pravděpodobně kvůli tomu, že je napsán v italština, se objevil ve vědeckém časopise s omezenou difúzí a byl považován pouze za prostředek k získání dalších vět. O rok později Dmitrij Egorov zveřejnil své nezávisle prokázané výsledky,^[3] a věta se stala široce známou pod jeho jménem: není však neobvyklé najít odkazy na tuto větu jako Severini-Egoroffova věta nebo Severini-Egorovova věta. První matematici, kteří dokázali samostatně teorém v dnešním běžném abstraktu změřte prostor nastavení bylo Frigyes Riesz  (1922, 1928 ) a v Wacław Sierpiński  (1928 ):^[4] je dřívější generalizace způsobena Nikolai Luzin, kterému se podařilo mírně zmírnit požadavek konečnosti míry doména konvergence bodově konvergující funkce v dostatečném množství papíru (Luzin 1916 ).^[5] Další zevšeobecnění podal mnohem později Pavel Korovkin, v novinách (Korovkin 1947 ) a Gabriel Mokobodzki v novinách (Mokobodzki 1970 ).

Formální prohlášení a důkaz

Prohlášení

Nechť (F_n) být posloupností M-hodnotitelné měřitelné funkce, kde M je u některých oddělitelný metrický prostor změřte prostor (X, Σ, μ), a předpokládejme, že existuje měřitelná podmnožina A ⊆ X, s konečným μ-taktem, že (F_n) konverguje μ-téměř všude na A na limitní funkci F. Platí následující výsledek: pro každé ε> 0 existuje měřitelný podmnožina B z A takové, že μ (B) <ε a (F_n) konverguje k F jednotně na relativní doplněk A \ B.

Zde μ (B) označuje μ-míru z B. Věta slovy říká, že bodová konvergence téměř všude A implikuje zdánlivě mnohem silnější jednotnou konvergenci všude kromě určité podmnožiny B svévolně malé míry. Tento typ konvergence se také nazývá téměř jednotná konvergence.

Diskuse o předpokladech a protiklad

• Hypotéza μ (A) <∞ je nutné. Chcete-li to vidět, je jednoduché vytvořit protiklad, když μ je Lebesgueovo opatření: zvažte posloupnost skutečných hodnot funkce indikátorů

${ displaystyle f_ {n} (x) = 1 _ {[n, n + 1]} (x), qquad n in mathbb {N}, x in mathbb {R},}$

definované na skutečná linie. Tato posloupnost konverguje bodově k nulové funkci všude, ale nekonverguje rovnoměrně ${ displaystyle mathbb {R} setminus B}$ pro jakoukoli sadu B konečné míry: protipříklad obecně ${ displaystyle n}$-dimenzionální skutečný vektorový prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ lze zkonstruovat, jak ukazuje Cafiero (1959, str. 302).

• Oddělitelnost metrického prostoru je nutná, aby se zajistilo, že pro M- hodnotné, měřitelné funkce F a G, vzdálenost d(F(X), G(X)) je opět měřitelná funkce se skutečnou hodnotou X.

Důkaz

Pro přirozená čísla n a k, definovat množinu E_{n, k} podle svaz

${ displaystyle E_ {n, k} = bigcup _ {m geq n} vlevo {x v A , { Big |} , | f_ {m} (x) -f (x) | geq { frac {1} {k}} vpravo }.}$

Tyto sady se zmenšují jako n zvyšuje, což znamená, že E_n+1,k je vždy podmnožinou E_{n, k}, protože první unie zahrnuje méně sad. Bod X, pro které posloupnost (F_m(X)) konverguje k F(X), nemůže být v každém E_{n, k} za pevnou k, protože F_m(X) musí zůstat blíže F(X) než 1 /k nakonec. Proto za předpokladu μ-téměř všude bodová konvergence na A,

${ displaystyle mu left ( bigcap _ {n in mathbb {N}} E_ {n, k} right) = 0}$

pro každého k. Od té doby A je konečné míry, máme kontinuitu shora; proto pro každého existuje k, nějaké přirozené číslo n_k takhle

${ displaystyle mu (E_ {n_ {k}, k}) <{ frac { varepsilon} {2 ^ {k}}}.}$

Pro X v této sadě uvažujeme rychlost přiblížení do 1 /k-sousedství z F(X) jako příliš pomalý. Definovat

${ displaystyle B = bigcup _ {k in mathbb {N}} E_ {n_ {k}, k}}$

jako soubor všech těchto bodů X v A, pro které je rychlost přiblížení alespoň do jednoho z těchto 1 /k- sousedství F(X) je příliš pomalý. Na nastavený rozdíl A \ B máme tedy jednotnou konvergenci.

Apelovat na sigma aditivita μ a pomocí geometrické řady, dostaneme

${ displaystyle mu (B) leq sum _ {k in mathbb {N}} mu (E_ {n_ {k}, k}) < sum _ {k in mathbb {N}} { frac { varepsilon} {2 ^ {k}}} = varepsilon.}$

Zobecnění

Luzinova verze

Nikolai Luzin Zde je uvedena generalizace věty Severini – Egorov podle Saks (1937, str. 19).

Prohlášení

Při stejné hypotéze abstraktu předpokládá Severini – Egorovova věta A je svaz a sekvence z měřitelné sady konečného μ-míry a (F_n) je daná posloupnost M- na některých hodnotitelné měřitelné funkce změřte prostor (X, Σ, μ) takové, že (F_n) konverguje μ-téměř všude na A na limitní funkci F, pak A lze vyjádřit jako spojení posloupnosti měřitelných množin H, A₁, A₂, ... takové, že μ (H) = 0 a (F_n) konverguje k F rovnoměrně na každé sadě A_k.

Důkaz

Postačuje vzít v úvahu případ, ve kterém je soubor A je sama o sobě konečným μ-měřítkem: pomocí této hypotézy a standardní Severini-Egorovovy věty je možné definovat matematická indukce sled sad {A_k}_{k = 1,2, ...} takhle

${ displaystyle mu left (A setminus bigcup _ {k = 1} ^ {N} A_ {k} right) leq { frac {1} {N}}}$

a takové, že (F_n) konverguje k F rovnoměrně na každé sadě A_k pro každého k. Výběr

${ displaystyle H = A setminus bigcup _ {k = 1} ^ { infty} A_ {k}}$

pak samozřejmě μ (H) = 0 a věta je prokázána.

Korovkinova verze

Důkaz verze Korovkin úzce navazuje na verzi dále Kharazishvili (2000, s. 183–184), což jej však do určité míry zobecňuje uvažováním přípustní funkcionáři namísto nezáporná opatření a nerovnosti ${ displaystyle leq}$ a ${ displaystyle geq}$ za podmínek 1 a 2.

Prohlášení

Nechť (M,d) označují a oddělitelný metrický prostor a (X, Σ) a měřitelný prostor: zvažte a měřitelná množina A a a třída ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ obsahující A a jeho měřitelné podmnožiny takové, že jejich počitatelný v odbory a křižovatky patří do stejné třídy. Předpokládejme, že existuje a nezáporné opatření μ takové, že μ (A) existuje a

1. ${ displaystyle mu ( cap A_ {n}) = lim mu (A_ {n})}$ -li ${ displaystyle A_ {1} supset A_ {2} supset cdots}$ s ${ displaystyle A_ {n} in { mathfrak {A}}}$ pro všechny n
2. ${ displaystyle mu ( pohár A_ {n}) = lim mu (A_ {n})}$ -li ${ displaystyle A_ {1} podmnožina A_ {2} podmnožina cdots}$ s ${ displaystyle cup A_ {n} in { mathfrak {A}}}$.

Pokud (F_n) je posloupnost měřitelných funkcí s hodnotou M. konvergující μ-téměř všude na ${ displaystyle A v { mathfrak {A}}}$ na limitní funkci F, pak existuje a podmnožina A' z A takové, že 0 <μ (A) - μ (A') <ε a kde je také stejnoměrná konvergence.

Důkaz

Zvažte indexovaná rodina sad jehož sada indexů je sada přirozená čísla ${ displaystyle m in mathbb {N},}$ definováno takto:

${ displaystyle A_ {0, m} = vlevo {x v A | d (f_ {n} (x), f (x)) leq 1 celkem n geq m vpravo }}$

Očividně

${ displaystyle A_ {0,1} subseteq A_ {0,2} subseteq A_ {0,3} subseteq dots}$

a

${ displaystyle A = bigcup _ {m in mathbb {N}} A_ {0, m}}$

proto existuje přirozené číslo m₀ takové, že uvedení A_{0, m0}=A₀ platí následující vztah:

${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {0}) leq varepsilon}$

Použitím A₀ je možné definovat následující indexovanou rodinu

${ displaystyle A_ {1, m} = vlevo {x v A_ {0} vlevo | d (f_ {m} (x), f (x)) leq { frac {1} {2} } forall n geq m right. right }}$

uspokojení následujících dvou vztahů, analogických s dříve nalezenými, tj.

${ displaystyle A_ {1,1} subseteq A_ {1,2} subseteq A_ {1,3} subseteq dots}$

a

${ displaystyle A_ {0} = bigcup _ {m in mathbb {N}} A_ {1, m}}$

Tato skutečnost nám umožňuje definovat množinu A_{1, m1}=A₁, kde m₁ je jistě existující přirozené číslo takové, že

${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {1}) leq varepsilon}$

Iterací zobrazené konstrukce vznikla další indexovaná rodina množiny {A_n} je definován tak, že má následující vlastnosti:

• ${ displaystyle A_ {0} supseteq A_ {1} supseteq A_ {2} supseteq cdots}$
• ${ displaystyle 0 leq mu (A) - mu (A_ {m}) leq varepsilon}$ pro všechny ${ displaystyle m in mathbb {N}}$
• pro každého ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ tady existuje k_m takové, že pro všechny ${ displaystyle n geq k_ {m}}$ pak ${ displaystyle d (f_ {n} (x), f (x)) leq 2 ^ {- m}}$ pro všechny ${ displaystyle x v A_ {m}}$

a konečně uvedení

${ displaystyle A '= bigcup _ {n in mathbb {N}} A_ {n}}$

práce je snadno dokázatelná.

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Egorovova věta na PlanetMath.
• Humpreys, Alexis. „Egorovova věta“. MathWorld.
• Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], „Egorovova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS