Harmonický diferenciál - Harmonic differential
V matematice skutečný diferenciální jedna forma ω na povrchu se nazývá a harmonický diferenciál -li ω a jeho konjugovaná jedna forma, psaná jako ω∗, jsou oba Zavřeno.
Vysvětlení
Zvažte případ skutečných jednoformulárů definovaných na dvourozměrném skutečné potrubí. Kromě toho zvažte skutečné jednoformy, které jsou skutečnými částmi komplex diferenciály. Nechat ω = A dX + B dya formálně definovat sdružené být v jedné formě ω∗ = A dy − B dX.
Motivace
Existuje jasná souvislost s komplexní analýza. Napišme a komplexní číslo z pokud jde o jeho nemovitý a imaginární části, řekněme X a y respektive, tj. z = X + iy. Od té doby ω + iω∗ = (A − IB) (dX + i dy), z pohledu komplexní analýza, kvocient (ω + iω∗) / dz inklinuje k omezit jako dz inklinuje k 0. Jinými slovy, definice ω∗ byl vybrán pro jeho spojení s konceptem derivátu (analytičnost ). Další spojení s komplexní jednotka je to (ω∗)∗ = −ω (stejně jako i2 = −1).
Za dané funkce F, napište nám ω = dF, tj. ω = ∂F/∂X dX + ∂F/∂y dy, kde ∂ označuje parciální derivace. Pak (dF)∗ = ∂F/∂X dy − ∂F/∂y dX. Nyní d ((dF)∗) není vždy nula d ((dF)∗) = ΔF dX dy, kde ΔF = ∂2F/∂X2 + ∂2F/∂y2.
Cauchy – Riemannovy rovnice
Jak jsme viděli výše: nazýváme jednoformát ω harmonický pokud obojí ω a ω∗ jsou zavřené. Tohle znamená tamto ∂A/∂y = ∂B/∂X (ω je uzavřen) a ∂B/∂y = −∂A/∂X (ω∗ je zavřený). Tito se nazývají Cauchy – Riemannovy rovnice na A − IB. Obvykle jsou vyjádřeny jako u(X, y) + iv(X, y) tak jako ∂u/∂X = ∂proti/∂y a ∂proti/∂X = −∂u/∂y.
Pozoruhodné výsledky
- Harmonický diferenciál (jedna forma) je přesně skutečnou součástí (analytického) komplexního diferenciálu.[1]:172 Dokázat to ukazuje, že u + iv splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice přesně tehdy u + iv je lokálně analytická funkce X + iy. Samozřejmě analytická funkce w(z) = u + iv je místní derivát něčeho (jmenovitě ∫w(z) dz).
- Harmonické diferenciály ω jsou (lokálně) přesně diferenciály dF řešení F na Laplaceova rovnice ΔF = 0.[1]:172
- Li ω je harmonický diferenciál, tak je ω∗.[1]:172