Pravděpodobnosti mostu kontraktu - Contract bridge probabilities

Ve hře most matematické pravděpodobnosti hrají významnou roli. Různé strategie deklarování hry vedou k úspěchu v závislosti na distribuci karet soupeře. Aby se rozhodovatel mohl rozhodnout, která strategie má nejvyšší pravděpodobnost úspěchu, musí mít alespoň základní znalost pravděpodobností.

Níže uvedené tabulky specifikují různé předchozí pravděpodobnosti pravděpodobnosti při absenci dalších informací. Během dražení a hry je k dispozici více informací o kombinacích, což hráčům umožňuje vylepšit jejich odhady pravděpodobnosti.

Pravděpodobnost rozdělení obleků ve dvou skrytých rukou

Tato tabulka^[1] představuje různé způsoby, jak mohou být distribuovány dvě až osm konkrétních karet lhát nebo rozdělit, mezi dvěma neznámými kombinacemi 13 karet (před dražení a hrát si nebo a priori).

Tabulka také ukazuje počet kombinací konkrétních karet, které odpovídají libovolnému číselnému rozdělení, a pravděpodobnosti pro každou kombinaci.

Tyto pravděpodobnosti vyplývají přímo ze zákona Volná místa.

Číslo karet	Rozdělení	Pravděpodobnost	Kombinace	Individuální Pravděpodobnost
2	1 - 1	0.52	2	0.26
2	2 - 0	0.48	2	0.24
3	2 - 1	0.78	6	0.13
3	3 - 0	0.22	2	0.11
4	2 - 2	0.41	6	0.0678~
	3 - 1	0.50	8	0.0622~
	4 - 0	0.10	2	0.0478~
5	3 - 2	0.68	20	0.0339~
	4 - 1	0.28	10	0.02826~
	5 - 0	0.04	2	0.01956~
6	3 - 3	0.36	20	0.01776~
	4 - 2	0.48	30	0.01615~
	5 - 1	0.15	12	0.01211~
	6 - 0	0.01	2	0.00745~
7	4 - 3	0.62	70	0.00888~
	5 - 2	0.31	42	0.00727~
	6 - 1	0.07	14	0.00484~
	7 - 0	0.01	2	0.00261~
8	4 - 4	0.33	70	0.00467~
	5 - 3	0.47	112	0.00421~
	6 - 2	0.17	56	0.00306~
	7 - 1	0.03	16	0.00178~
	8 - 0	0.00	2	0.00082~

Výpočet pravděpodobností

Nechat ${displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w})}$ být pravděpodobností východního hráče s ${displaystyle n_ {e}}$ neznámé karty drží ${displaystyle a}$ karty v dané barvě a hráč Západu s ${displaystyle n_ {w}}$ neznámé karty drží ${displaystyle b}$ karty v dané barvě. Celkový počet opatření ${displaystyle (a + b)}$ karty v obleku v ${displaystyle (n_ {e} + n_ {w})}$ mezery je ${displaystyle T = {frac {(n_ {e} + n_ {w})!} {(n_ {e} + n_ {w} -a-b)! (a + b)!}}}$ tj. počet obměny z ${displaystyle (n_ {e} + n_ {w})}$ předměty, jejichž karty v obleku jsou k nerozeznání a karty, které nejsou v obleku, jsou k nerozeznání. Počet opatření, která odpovídají East ${displaystyle a}$ karty v obleku a západ ${displaystyle b}$ karty v obleku jsou dány ${displaystyle S = {frac {n_ {e}!} {a! (n_ {e} -a)!}} imes {frac {n_ {w}!} {b! (n_ {w} -b)!} }}$ . Proto,

{displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w}) = {frac {S} {T}} = {frac {(a + b)!} {a! b!}} imes {frac {n_ {e}! n_ {w}! (n_ {e} + n_ {w} -ab)!} {(n_ {e} + n_ {w})! (n_ {e} -a)! (n_ {w} -b)!}} = {jiné {a + b} {a}} {frac {n_ {e}! n_ {w}! (n_ {e} + n_ {w} -ab)!} { (n_ {e} + n_ {w})! (n_ {e} -a)! (n_ {w} -b)!}} = {frac {{jiné {a + b} {a}} {jiné { n_ {e} + n_ {w} -ab} {n_ {e} -a}}} {jiné {n_ {e} + n_ {w}} {n_ {e}}}}}

Pokud je směr rozdělení nedůležitý (je nutné pouze, aby rozdělení bylo

{displaystyle a}

-

{displaystyle b}

, ne to, že východ je výslovně požadován

{displaystyle a}

karet), pak je celková pravděpodobnost dána

{displaystyle P (a, b, n_ {e}, n_ {w}) = P '(a, b, n_ {e}, n_ {w}) + (1-delta _ {a, b}) P' (b, a, n_ {e}, n_ {w})}

Kde Kroneckerova delta zajišťuje, že situace, kdy východ a západ mají stejný počet karet v obleku, se nezapočítává dvakrát.

Výše uvedené pravděpodobnosti předpokládají ${displaystyle n_ {e} = n_ {w} = 13}$ a že směr rozdělení je nedůležitý, a tak jsou dány

{displaystyle P (a, b) = P (a, b, 13,13) = {jiné {a + b} {a}} {frac {13! 13! (26-ab)!} {26! (13 -a)! (13-b)!}} (2-delta _ {a, b})}

Obecnější vzorec lze použít k výpočtu pravděpodobnosti rozbití barvy, pokud je známo, že má hráč karty v jiné barvě, např. nabízení. Předpokládejme, že na východ je známo, že má 7 piků z dražení a poté, co jste viděli figurínu, vydedukujete Západ, aby držel 2 piky; pak pokud vaše dvě herní linie doufají buď v diamanty 5-3 nebo kluby 4-2, pak a priori pravděpodobnosti jsou 47%, respektive 48%

{displaystyle P (5,3,13-7,13-2) hrubý přibližně 42 \%}

a

{displaystyle P (4,2,13-7,13-2) hrubý přibližně 47 \%}

takže klubová linie je nyní výrazně lepší než linie diamantová.

Pravděpodobnost distribuce HCP

Vysoké body za kartu (HCP) se obvykle počítají pomocí stupnice Milton Work 4/3/2/1 bodů pro každé eso / krále / královnu / jacka. The apriorní pravděpodobnosti že daná ruka neobsahuje více než stanovený počet HCP, je uveden v tabulce níže.^[1] Chcete-li zjistit pravděpodobnost určitého bodového rozsahu, jednoduše odečtěte dvě relevantní kumulativní pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že vám bude rozdána ruka 12-19 HCP (rozsahy včetně), je tedy pravděpodobnost, že budete mít maximálně 19 HCP minus pravděpodobnost, že budete mít maximálně 11 HCP, nebo: 0,9855 - 0,6518 = 0,3337.^[2]

HCP	Pravděpodobnost	HCP	Pravděpodobnost	HCP	Pravděpodobnost	HCP	Pravděpodobnost	HCP	Pravděpodobnost
0	0.003639	8	0.374768	16	0.935520	24	0.999542	32	1.000000
1	0.011523	9	0.468331	17	0.959137	25	0.999806	33	1.000000
2	0.025085	10	0.562382	18	0.975187	26	0.999923	34	1.000000
3	0.049708	11	0.651828	19	0.985549	27	0.999972	35	1.000000
4	0.088163	12	0.732097	20	0.991985	28	0.999990	36	1.000000
5	0.140025	13	0.801240	21	0.995763	29	0.999997	37	1.000000
6	0.205565	14	0.858174	22	0.997864	30	0.999999
7	0.285846	15	0.902410	23	0.998983	31	1.000000

Pravděpodobnosti vzoru ruky

A ruční vzor označuje rozdělení třinácti karet v ruce přes čtyři barvy. Celkem je možných 39 vzorů rukou, ale pouze 13 z nich má apriorní pravděpodobnost přesahující 1%. Nejpravděpodobnějším vzorem je vzor 4-4-3-2 skládající se ze dvou obleků se čtyřmi kartami, obleku se třemi kartami a a doubleton.

Všimněte si, že vzor ruky ponechává nespecifikované, které konkrétní obleky obsahují uvedené délky. U vzoru 4-4-3-2 je třeba určit, který oblek obsahuje tři karty a který oblek obsahuje doubleton, aby bylo možné určit délku v každé ze čtyř barev. Existují čtyři možnosti pro první identifikaci obleku se třemi kartami a tři možnosti pro další identifikaci doubletonu. Proto je počet permutace obleku vzoru 4-4-3-2 je dvanáct. Nebo řečeno jinak, celkem existuje dvanáct způsobů, jak lze vzor 4-4-3-2 mapovat na čtyři barvy.

Níže uvedená tabulka uvádí všech 39 možných vzorů rukou, jejich pravděpodobnost výskytu a počet permutací obleků pro každý vzor. Seznam je seřazen podle pravděpodobnosti výskytu vzorů rukou.^[3]

Vzor	Pravděpodobnost	#
4-4-3-2	0.21551	12
5-3-3-2	0.15517	12
5-4-3-1	0.12931	24
5-4-2-2	0.10580	12
4-3-3-3	0.10536	4
6-3-2-2	0.05642	12
6-4-2-1	0.04702	24
6-3-3-1	0.03448	12
5-5-2-1	0.03174	12
4-4-4-1	0.02993	4
7-3-2-1	0.01881	24
6-4-3-0	0.01326	24
5-4-4-0	0.01243	12

Vzor	Pravděpodobnost	#
5-5-3-0	0.00895	12
6-5-1-1	0.00705	12
6-5-2-0	0.00651	24
7-2-2-2	0.00513	4
7-4-1-1	0.00392	12
7-4-2-0	0.00362	24
7-3-3-0	0.00265	12
8-2-2-1	0.00192	12
8-3-1-1	0.00118	12
7-5-1-0	0.00109	24
8-3-2-0	0.00109	24
6-6-1-0	0.00072	12
8-4-1-0	0.00045	24

Vzor	Pravděpodobnost	#
9-2-1-1	0.00018	12
9-3-1-0	0.00010	24
9-2-2-0	0.000082	12
7-6-0-0	0.000056	12
8-5-0-0	0.000031	12
10-2-1-0	0.000011	24
9-4-0-0	0.0000097	12
10-1-1-1	0.0000040	4
10-3-0-0	0.0000015	12
11-1-1-0	0.00000025	12
11-2-0-0	0.00000011	12
12-1-0-0	0.0000000032	12
13-0-0-0	0.0000000000063	4

39 vzorů rukou lze rozdělit do čtyř typy rukou: vyvážené ruce, tři obleky, dva obviňovače a svobodné obleky. Níže uvedená tabulka uvádí a priori pravděpodobnost, že vám bude rozdán určitý typ ruky.

Ruční typ	Vzory	Pravděpodobnost
Vyrovnaný	4-3-3-3, 4-4-3-2, 5-3-3-2	0.4761
Dva nápadníci	5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-5-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-6-0-0	0.2902
Single-suiter	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.1915
Tři náčelníci	4-4-4-1, 5-4-4-0	0.0423

Alternativní seskupení 39 ručních vzorů lze provést buď nejdelším oblekem, nebo nejkratším oblekem. Níže uvedené tabulky udávají a priori šance, že vám bude rozdána ruka s nejdelším nebo nejkratším oblekem dané délky.

Nejdelší oblek	Vzory	Pravděpodobnost
4 karty	4-3-3-3, 4-4-3-2, 4-4-4-1	0.3508
5 karet	5-3-3-2, 5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-4-4-0, 5-5-3-0	0.4434
6 karet	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0	0.1655
7 karet	7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0	0.0353
8 karet	8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0	0.0047
9 karet	9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0	0.00037
10 karet	10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0	0.000017
11 karet	11-1-1-0, 11-2-0-0	0.0000003
12 karet	12-1-0-0	0.000000003
13 karet	13-0-0-0	0.000000000006

Nejkratší oblek	Vzory	Pravděpodobnost
Tři karty	4-3-3-3	0.1054
Doubleton	4-4-3-2, 5-3-3-2, 5-4-2-2, 6-3-2-2, 7-2-2-2	0.5380
jedináček	4-4-4-1, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-5-1-1, 7-3-2-1, 7-4-1-1, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 9-2-1-1, 10-1-1-1	0.3055
Neplatné	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.0512

Počet možných hand a obchodů

Existuje 635 013 559 600 ( ${displaystyle 52! / (13!)}$ ) různé ruce, které může mít jeden hráč.^[4] Když je navíc zahrnuto zbývajících 39 karet se všemi jejich kombinacemi, existuje 53 644 737 765 488 792 839 237 440 40 000 (5,36 x 10²⁸) možné různé dohody ( ${displaystyle 52! / (13!) ^ {4}}$ ) ^[5] Nezměrnost tohoto čísla lze pochopit odpovědí na otázku „Jak velkou plochu byste potřebovali k rozložení všech možných překlenovacích obchodů, pokud by každý obchod zabíral pouze jeden čtvereční milimetr?". Odpověď je: oblast více než stokrát miliónkrát větší povrchová plocha Země.

Je zřejmé, že obchody, které jsou identické, s výjimkou výměny - řekněme - ♥2 a ♥Je nepravděpodobné, že by 3 dal jiný výsledek. Aby byla irelevance malých karet explicitní (což však není vždy pravda), jsou v mostě takové malé karty obecně označeny znakem „x“. „Počet možných dohod“ v tomto smyslu tedy závisí na tom, kolik karet bez cti (2, 3, .. 9) je považováno za „nerozeznatelné“. Například pokud se na všechny karty menší než deset použije notace „x“, pak by distribuce barvy A987-K106-Q54-J32 a A432-K105-Q76-J98 byly považovány za identické.

Tabulka níže ^[6] udává počet obchodů, když jsou různé počty malých karet považovány za nerozeznatelné.

Složení obleku	Počet dohod
AKQJT9876543x	53,644,737,765,488,792,839,237,440,000
AKQJT987654xx	7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
AKQJT98765xxx	445,905,120,201,773,774,566,940,160
AKQJT9876xxxx	14,369,217,850,047,151,709,620,800
AKQJT987xxxxx	314,174,475,847,313,213,527,680
AKQJT98xxxxxx	5,197,480,921,767,366,548,160
AKQJT9xxxxxxx	69,848,690,581,204,198,656
AKQJTxxxxxxxx	800,827,437,699,287,808
AKQJxxxxxxxxx	8,110,864,720,503,360
AKQxxxxxxxxxx	74,424,657,938,928
AKxxxxxxxxxxx	630,343,600,320
Axxxxxxxxxxxx	4,997,094,488
xxxxxxxxxxxxx	37,478,624

Všimněte si, že poslední položka v tabulce (37 478 624) odpovídá počtu různých distribucí balíčku (počet obchodů, když jsou karty rozlišeny pouze podle jejich barvy).

Pravděpodobnost ztráty počtu triků

The Počet prohrávajících triků je alternativou k počtu HCP jako metodě hodnocení ruky.

LTC	Počet rukou	Pravděpodobnost
0	4,245,032	0.000668%
1	90,206,044	0.0142%
2	872,361,936	0.137%
3	5,080,948,428	0.8%
4	19,749,204,780	3.11%
5	53,704,810,560	8.46%
6	104,416,332,340	16.4%
7	145,971,648,360	23.0%
8	145,394,132,760	22.9%
9	100,454,895,360	15.8%
10	45,618,822,000	7.18%
11	12,204,432,000	1.92%
12	1,451,520,000	0.229%
13	0	0%

Reference

^ ^A ^b „Matematické tabulky“ (tabulka 4). Francis, Henry G .; Truscott, Alan F.; Francis, Dorthy A., eds. (1994). Oficiální encyklopedie Bridge (5. vydání). Memphis, TN: American Contract Bridge League. p. 278. ISBN 0-943855-48-9. LCCN 96188639.
^ Richard Pavlíček. „Vysoká očekávání karty.“ odkaz
^ Richard Pavlíček. "Navzdory všem očekáváním." odkaz
^ Durango Bill's Bridge Pravděpodobnosti a kombinatorika 1
^ Durango Bill's Bridge Pravděpodobnosti a kombinatorika 2
^ Počítání mostních nabídek Jeroen Warmerdam

Další čtení

Émile, Borel; André, Chéron (1940). Théorie Mathématique du Bridge. Gauthier-Villars. Druhé francouzské vydání autorů v roce 1954. Přeložil a upravil do angličtiny Alec Traub jako Matematická teorie mostu; vytištěno v roce 1974 na Tchaj-wanu za pomoci C.C. Wei.
Kelsey, Hugh; Glauert, Michael (1980). Bridge Odds pro praktické hráče. Řada Master Bridge. Londýn: Victor Gollancz Ltd ve spolupráci s Peterem Crawleyem. ISBN 0-575-02799-1.
Reese, Terence; Trézel, Rogere (1986). Zvládněte kurzy v Bridge. Řada Master Bridge. Londýn: Victor Gollancz Ltd ve spolupráci s Peterem Crawleyem. ISBN 0-575-02597-2.

[OEB-1] A ^b „Matematické tabulky“ (tabulka 4). Francis, Henry G .; Truscott, Alan F.; Francis, Dorthy A., eds. (1994). Oficiální encyklopedie Bridge (5. vydání). Memphis, TN: American Contract Bridge League. p. 278. ISBN 0-943855-48-9. LCCN 96188639.

[2] Richard Pavlíček. „Vysoká očekávání karty.“ odkaz

[Pavlicek1-3] Richard Pavlíček. "Navzdory všem očekáváním." odkaz

[4] Durango Bill's Bridge Pravděpodobnosti a kombinatorika 1

[5] Durango Bill's Bridge Pravděpodobnosti a kombinatorika 2

[6] Počítání mostních nabídek Jeroen Warmerdam

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]