Funkce Coulombových vln - Coulomb wave function

v matematika, a Coulombova vlnová funkce je řešením Coulombova vlnová rovnice, pojmenoval podle Charles-Augustin de Coulomb. Používají se k popisu chování nabité částice v Coulombův potenciál a lze je psát ve smyslu konfluentní hypergeometrické funkce nebo Whittakerovy funkce imaginárního argumentu.

Coulombova vlnová rovnice

Coulombova vlnová rovnice pro jednu nabitou částici hmotnosti ${displaystyle m}$ je Schrödingerova rovnice s Coulombův potenciál^[1]

${displaystyle left (-hbar ^ {2} {frac {abla ^ {2}} {2m}} + {frac {Zhbar calpha} {r}} ight) psi _ {vec {k}} ({vec {r} }) = {frac {hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) ,,}$

kde ${displaystyle Z = Z_ {1} Z_ {2}}$ je součinem nábojů částice a zdroje pole (v jednotkách základní náboj, ${displaystyle Z = -1}$ pro atom vodíku), ${displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury, a ${displaystyle hbar ^ {2} k ^ {2} / (2m)}$ je energie částice. Řešení - Coulombova vlnová funkce - lze nalézt řešením této rovnice v parabolických souřadnicích

${displaystyle xi = r + {vec {r}} cdot {hat {k}}, quad zeta = r- {vec {r}} cdot {hat {k}} qquad ({hat {k}} = {vec {k }} / k) ,.}$

V závislosti na zvolených okrajových podmínkách má řešení různé formy. Dvě z řešení jsou^[2][3]

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)} ({vec {r}}) = gama (13:00 ieta) e ^ {- pi eta / 2} e ^ {i {vec {k}} cdot {vec {r}}} M (mp ieta, 1, pm ikr-i {vec {k}} cdot {vec {r}}) ,,}$

kde ${displaystyle M (a, b, z) equiv {} _ {1}! F_ {1} (a; b; z)}$ je konfluentní hypergeometrická funkce, ${displaystyle eta = Zmcalpha / (hbar k)}$ a ${displaystyle Gamma (z)}$ je funkce gama. Zde použité dvě okrajové podmínky jsou

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)} ({vec {r}}) ightarrow e ^ {i {vec {k}} cdot {vec {r}}} qquad ({vec {k} } cdot {vec {r}} ightarrow pm infty) ,,}$

které odpovídají ${displaystyle {vec {k}}}$-orientované rovinné vlny asymptotické stavy před nebo po jeho přístup k polnímu zdroji na počátku, resp. Funkce ${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)}}$ jsou navzájem příbuzné vzorcem

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} = psi _ {- {vec {k}}} ^ {(-) *} ,.}$

Částečné rozšíření vln

Vlnová funkce ${displaystyle psi _ {vec {k}} ({vec {r}})}$ lze rozšířit na dílčí vlny (tj. s ohledem na úhlovou základnu), aby se získaly radiální funkce nezávislé na úhlu ${displaystyle w_ {ell} (eta, ho)}$. Tady ${displaystyle ho = kr}$.

${displaystyle psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) = {frac {4pi} {r}} součet _ {ell = 0} ^ {infty} součet _ {m = -ell} ^ {ell } i ^ {ell} w_ {ell} (eta, ho) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}) Y_ {ell} ^ {mast} ({hat {k}}) ,.}$

Jeden člen expanze může být izolován skalárním součinem se specifickou sférickou harmonickou

${displaystyle psi _ {kell m} ({vec {r}}) = int psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {k}}) d {hat {k}} = R_ {kell} (r) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}), qquad R_ {kell} (r) = 4pi i ^ {ell} w_ {ell } (eta, ho) / r.}$

Rovnice pro jednu dílčí vlnu ${displaystyle w_ {ell} (eta, ho)}$ lze získat přepsáním laplacian ve Coulombově vlnové rovnici do sférických souřadnic a promítnutím rovnice na konkrétní sférická harmonická ${displaystyle Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}})}$

${displaystyle {frac {d ^ {2} w_ {ell}} {dho ^ {2}}} + vlevo (1- {frac {2eta} {ho}} - {frac {ell (ell +1)} {ho ^ {2}}} ight) w_ {ell} = 0 ,.}$

Řešení se také nazývají Coulombovy (částečné) vlnové funkce nebo sférické Coulombovy funkce. Uvedení ${displaystyle z = -2iho}$ mění Coulombovu vlnovou rovnici na Whittakerova rovnice, takže Coulombovy vlnové funkce lze vyjádřit pomocí Whittakerových funkcí pomocí imaginárních argumentů ${displaystyle M _ {- ieta, ell +1/2} (- 2iho)}$ a ${displaystyle W _ {- ieta, ell +1/2} (- 2iho)}$. To lze vyjádřit pomocí konfluentní hypergeometrické funkce ${displaystyle M}$ a ${displaystyle U}$. Jeden definuje speciální řešení ^[4]

${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (eta, ho) = mp 2i (-2) ^ {ell} e ^ {pi eta / 2} e ^ {pm isigma _ {ell}} ho ^ {ell +1} e ^ {pm iho} U (ell + 1pm ieta, 2ell + 2, mp 2iho) ,,}$

kde

${displaystyle sigma _ {ell} = arg gama (l + 1 + ieta)}$

se nazývá Coulombův fázový posun. Jeden také definuje skutečné funkce

${displaystyle F_ {ell} (eta, ho) = {frac {1} {2i}} vlevo (H_ {ell} ^ {(+)} (eta, ho) -H_ {ell} ^ {(-)} ( eta, ho) ight) ,,}$

${displaystyle G_ {ell} (eta, ho) = {frac {1} {2}} vlevo (H_ {ell} ^ {(+)} (eta, ho) + H_ {ell} ^ {(-)} ( eta, ho) ight) ,.}$

Zejména jeden má

${displaystyle F_ {ell} (eta, ho) = {frac {2 ^ {ell} e ^ {- pi eta / 2} | Gamma (ell + 1 + ieta) |} {(2ell +1)!}} ho ^ {ell +1} e ^ {iho} M (ell + 1 + ieta, 2ell + 2, -2iho) ,.}$

Asymptotické chování sférických Coulombových funkcí ${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (eta, ho)}$, ${displaystyle F_ {ell} (eta, ho)}$, a ${displaystyle G_ {ell} (eta, ho)}$ na svobodě ${displaystyle ho}$ je

${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (eta, ho) sim e ^ {pm i heta _ {ell} (ho)} ,,}$

${displaystyle F_ {ell} (eta, ho) sim sin heta _ {ell} (ho) ,,}$

${displaystyle G_ {ell} (eta, ho) sim cos heta _ {ell} (ho) ,,}$

kde

${displaystyle heta _ {ell} (ho) = ho -eta log (2ho) - {frac {1} {2}} ell pi + sigma _ {ell} ,.}$

Řešení ${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (eta, ho)}$ odpovídají příchozím a odchozím sférickým vlnám. Řešení ${displaystyle F_ {ell} (eta, ho)}$ a ${displaystyle G_ {ell} (eta, ho)}$ jsou skutečné a nazývají se pravidelné a nepravidelné Coulombovy vlnové funkce. Jedna má zejména následující částečné vlnové rozšíření vlnové funkce ${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} ({vec {r}})}$ ^[5]

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} ({vec {r}}) = {frac {4pi} {ho}} součet _ {ell = 0} ^ {infty} součet _ {m = -ell} ^ {ell} i ^ {ell} e ^ {isigma _ {ell}} F_ {ell} (eta, ho) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}) Y_ {ell} ^ {mast} ({hat {k}}) ,,}$

Vlastnosti Coulombovy funkce

Radiální části pro daný moment hybnosti jsou ortonormální. Při normalizaci na stupnici počtu vln (k-scale), funkce radiální vlny kontinua uspokojí ^[6][7]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = delta (k-k ')}$

Další běžné normalizace vlnových funkcí kontinua jsou na stupnici se sníženým počtem vln (${displaystyle k / 2pi}$-měřítko),

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = 2pi delta (k-k ') ,,}$

a na energetické stupnici

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {Eell} ^ {ast} (r) R_ {E'ell} (r) r ^ {2} dr = delta (E-E ') ,.}$

Funkce radiálních vln definované v předchozí části jsou normalizovány na

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = {frac {(2pi) ^ {3}} { k ^ {2}}} delta (k-k ')}$

v důsledku normalizace

${displaystyle int psi _ {vec {k}} ^ {ast} ({vec {r}}) psi _ {{vec {k}} '} ({vec {r}}) d ^ {3} r = ( 2pi) ^ {3} delta ({vec {k}} - {vec {k}} ') ,.}$

Kontinuum (nebo rozptyl) Coulombovy vlnové funkce jsou také kolmé ke všem Coulombovy vázané stavy^[8]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {nell} (r) r ^ {2} dr = 0}$

kvůli tomu, že jsou vlastními státy stejného státu poustevnický operátor (dále jen hamiltonián ) s různými vlastními hodnotami.

Další čtení

• Bateman, Harry (1953), Vyšší transcendentální funkce (PDF), 1, McGraw-Hill.
• Jaeger, J. C .; Hulme, H. R. (1935), „Interní přeměna γ-paprsků s produkcí elektronů a pozitronů“, Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy, 148 (865): 708–728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098 / rspa.1935.0043, ISSN  0080-4630, JSTOR  96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Soutokové hypergeometrické funkce, Cambridge University Press, PAN  0107026.

Reference