Funkce parabolického válce - Parabolic cylinder function - Wikipedia

Souřadné plochy parabolických válcových souřadnic. Funkce parabolického válce nastanou, když oddělení proměnných se používá na Laplaceova rovnice v těchto souřadnicích

v matematika, funkce parabolického válce jsou speciální funkce definována jako řešení diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + left ({ tilde {a}} z ^ {2} + { tilde {b}} z + { tilde {c}} vpravo) f = 0.}$

(1)

Tato rovnice se nalézá, když technika oddělení proměnných se používá na Laplaceova rovnice když je vyjádřeno v parabolické válcové souřadnice.

Výše uvedenou rovnici lze přenést do dvou odlišných forem (A) a (B) pomocí dokončení náměstí a změna měřítka z, volala H. F. Weber rovnice (Weber 1869 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFWeber1869 (Pomoc):

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} - left ({ tfrac {1} {4}} z ^ {2} + a right) f = 0}$ (A)

a

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + left ({ tfrac {1} {4}} z ^ {2} -a right) f = 0. }$ (B)

Li

${ displaystyle f (a, z) ,}$

je řešení, pak také jsou

${ displaystyle f (a, -z), f (-a, iz) { text {a}} f (-a, -iz). ,}$

Li

${ displaystyle f (a, z) ,}$

je tedy řešením rovnice (A)

${ displaystyle f (-ia, ze ^ {(1/4) pi i}) ,}$

je řešení (B), a symetrií,

${ displaystyle f (-ia, -ze ^ {(1/4) pi i}), f (ia, -ze ^ {- (1/4) pi i}) { text {a}} f (ia, ze ^ {- (1/4) pi i}) ,}$

jsou také řešení (B).

Řešení

Existují nezávislá sudá a lichá řešení tvaru (A). Ty jsou dány (v návaznosti na zápis Abramowitz a Stegun (1965)):

${ displaystyle y_ {1} (a; z) = exp (-z ^ {2} / 4) ; _ {1} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}} a + { tfrac {1} {4}}; ; { tfrac {1} {2}} ;; ; { frac {z ^ {2}} {2}} vpravo) , , , , , , ( mathrm {sudý})}$

a

${ displaystyle y_ {2} (a; z) = z exp (-z ^ {2} / 4) ; _ {1} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}} a + { tfrac {3} {4}}; ; { tfrac {3} {2}} ;; ; { frac {z ^ {2}} {2}} vpravo) , , , , , , ( mathrm {odd})}$

kde ${ displaystyle ; _ {1} F_ {1} (a; b; z) = M (a; b; z)}$ je konfluentní hypergeometrická funkce.

Další páry nezávislých řešení mohou být vytvořeny z lineárních kombinací výše uvedených řešení (viz Abramowitz a Stegun). Jeden takový pár je založen na jejich chování v nekonečnu:

${ displaystyle U (a, z) = { frac {1} {2 ^ { xi} { sqrt { pi}}}} vlevo [ cos ( xi pi) gama (1/2 - xi) , y_ {1} (a, z) - { sqrt {2}} sin ( xi pi) Gamma (1- xi) , y_ {2} (a, z) že jo]}$

${ displaystyle V (a, z) = { frac {1} {2 ^ { xi} { sqrt { pi}} gama [1/2-a]}} vlevo [ sin ( xi pi) Gamma (1 / 2- xi) , y_ {1} (a, z) + { sqrt {2}} cos ( xi pi) Gamma (1- xi) , y_ {2} (a, z) vpravo]}$

kde

${ displaystyle xi = { frac {1} {2}} a + { frac {1} {4}}.}$

Funkce U(A, z) se blíží nule pro velké hodnoty z a | arg (z) | <π / 2, zatímco PROTI(A, z) se liší pro velké hodnoty kladného reálného z .

${ displaystyle lim _ {z rightarrow infty} U (a, z) / e ^ {- z ^ {2} / 4} z ^ {- a-1/2} = 1 , , , , ({ text {pro}} , | arg (z) | < pi / 2)}$

a

${ displaystyle lim _ {z rightarrow infty} V (a, z) / { sqrt { frac {2} { pi}}} e ^ {z ^ {2} / 4} z ^ {a -1/2} = 1 , , , , ({ text {pro}} , arg (z) = 0).}$

Pro napůl celé číslo hodnoty A, tyto (tj. U a PROTI) lze znovu vyjádřit pomocí Hermitovy polynomy; alternativně je lze vyjádřit také pomocí Besselovy funkce.

Funkce U a PROTI může také souviset s funkcemi D_p(X) (notace sahající až k Whittakerovi (1902)), které se samy někdy nazývají parabolické funkce válce (viz Abramowitz a Stegun (1965)):

${ displaystyle U (a, x) = D _ {- a - { tfrac {1} {2}}} (x),}$

${ displaystyle V (a, x) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} {2}} + a)} { pi}} [ sin ( pi a) D _ {- a- { tfrac {1} {2}}} (x) + D _ {- a - { tfrac {1} {2}}} (- x)].}$

Funkce D_A(z) byl představen Whittakerem a Watsonem jako řešení ekv. ~ (1) s ${ displaystyle { tilde {a}} = - { frac {1} {4}}, { tilde {b}} = 0, { tilde {c}} = a + { frac {1} {2 }}}$ ohraničený na ${ displaystyle + infty}$. Lze jej vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí jako

${ displaystyle D_ {a} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} {2 ^ {a / 2} e ^ {- { frac {z ^ {2}} {4 }}} left ( cos left ({ frac { pi a} {2}} right) Gamma left ({ frac {a + 1} {2}} right) , _ { 1} F_ {1} left (- { frac {a} {2}}; { frac {1} {2}}; { frac {z ^ {2}} {2}} right) + { sqrt {2}} z sin left ({ frac { pi a} {2}} right) Gamma left ({ frac {a} {2}} + 1 right) , _ {1} F_ {1} left ({ frac {1} {2}} - { frac {a} {2}}; { frac {3} {2}}; { frac {z ^ {2}} {2}} vpravo) vpravo)}.}$

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 19“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 686. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], „Weberova rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Temme, N. M. (2010), "Funkce parabolického válce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Weber, H.F. (1869) „Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ${ displaystyle částečné ^ {2} u / částečné x ^ {2} + částečné ^ {2} u / částečné y ^ {2} + k ^ {2} u = 0}$". Matematika. Ann., 1, 1–36
• Whittaker, E.T. (1902) „O funkcích spojených s parabolickým válcem v harmonické analýze“ Proc. London Math. Soc.35, 417–427.
• Whittaker, E. T. a Watson, G. N. "The Parabolic Cylinder Function." §16.5 v Kurzu moderní analýzy, 4. vydání. Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, str. 347-348, 1990.