v matematika, Třída Segre je charakteristická třída používané při studiu šišky, zobecnění vektorové svazky. U vektorových svazků je celková třída Segre inverzní k součtu Třída Chern, a poskytuje tak rovnocenné informace; výhodou třídy Segre je, že se zobecňuje na obecnější kužely, zatímco třída Chern nikoli. Třída Segre byla zavedena v jiném než singulárním případě Beniamino Segre (1953 ) .V moderním zacházení s teorie průniku v algebraické geometrii, jak bylo vyvinuto např. v definitivní knize Fultona[1]Kurzy Segre hrají zásadní roli.
Definice
Předpokládat
je kužel přes
,
je projekce z projektivní dokončení
z
na
, a
je anti-tautologický svazek linek na
. Prohlížení Třída Chern
jako skupinový endomorfismus Chow skupina z
, celková třída Segre
darováno:
![{displaystyle s (C) = q _ {*} vlevo (součet _ {igeq 0} c_ {1} ({mathcal {O}} (1)) ^ {i} [mathbb {P} (Coplus 1)] včas) .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0159c8a7048a6883134166de6088b7cb3545ee1d)
The
třída Segre
je prostě
th tříděný kus
. Li
je čisté dimenze
přes
pak je to dáno:
![{displaystyle s_ {i} (C) = q _ {*} vlevo (c_ {1} ({mathcal {O}} (1)) ^ {r + i} [mathbb {P} (Coplus 1)] včas). }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4360819b6b08c5b2cb2811e0215a17c97d486f3)
Důvod použití
spíše než
je to, že to dělá celkovou třídu Segre stabilní po přidání triviálního balíčku
.
Li Z je uzavřený podsystém algebraického schématu X, pak
označují třídu Segre normální kužel na
.
Vztah k třídám Chern pro vektorové svazky
Pro holomorfní vektorový svazek
přes komplexní potrubí
celková třída Segre
je inverzní k součtu Třída Chern
, viz např.[2]
Výslovně pro celkovou třídu Chern
![c (E) = 1 + c_ {1} (E) + c_ {2} (E) + cdots,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0312809051c9601eafc0ee4f923d29ec668f3c24)
jeden dostane celkovou třídu Segre
![s (E) = 1 + s_ {1} (E) + s_ {2} (E) + cdots,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be1f1fc5c632f4036134ba217edc003063e5dc)
kde
![c_ {1} (E) = - s_ {1} (E), quad c_ {2} (E) = s_ {1} (E) ^ {2} -s_ {2} (E), quad dots, quad c_ {n} (E) = - s_ {1} (E) c _ {{n-1}} (E) -s_ {2} (E) c _ {{n-2}} (E) -cdots -s_ {n} (E)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76983f6667f30781682b18854ea02bcffdbe6c9f)
Nechat
být kořeny Chern, tj. formální vlastní čísla
kde
je zakřivení a spojení na
.
Zatímco třída Chern c (E) je psána jako
![c (E) = prod _ {{i = 1}} ^ {{k}} (1 + x_ {i}) = c_ {0} + c_ {1} + cdots + c_ {k},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53592d67953bb5e75c7029673d0bc17ec9f010e7)
kde
je elementární symetrický polynom stupně
v proměnných ![x_ {1}, tečky, x_ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49099bbc969b384b05477fd616862198234d9d5c)
Segre pro duální svazek
který má kořeny Chern
je psán jako
![{displaystyle s (E ^ {vee}) = prod _ {i = 1} ^ {k} {frac {1} {1-x_ {i}}} = s_ {0} + s_ {1} + cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4725e97e472b0784318b8d1d1149c3c21606fd)
Rozšíření výše uvedeného výrazu v pravomocích
to je vidět
je reprezentován kompletní homogenní symetrický polynom z ![x_ {1}, tečky x_ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883e94e5e399e77692d60bafd04ee676eb629d7d)
Vlastnosti
Zde jsou některé základní vlastnosti.
- Pro jakýkoli kužel C (např. vektorový balíček),
.[3] - Pro kužel C a vektorový svazek E,
[4]
- Li E je tedy vektorový svazek[5]
pro
.
je operátor identity.
pro další vektorový svazek F.
- Li L je tedy svazek řádků
, minus první třída Chern L.[5] - Li E je vektorový svazek hodností
pak pro svazek řádků L,
[6]
Klíčovou vlastností třídy Segre je birational invariance: toto je obsaženo v následujícím. Nechat
být správný morfismus mezi algebraická schémata takhle
je neredukovatelná a každá neredukovatelná složka
mapy na
. Poté pro každý uzavřený podsystém
,
a
omezení
,
[7]
Podobně, pokud
je plochý morfismus konstantní relativní dimenze mezi čistě dimenzionálními algebraickými schématy, tedy pro každý uzavřený podsystém
,
a
omezení
,
[8]
Základní příklad binacní invariance poskytuje výbuch. Nechat
být nafouknutým kolem nějakého uzavřeného podsystému Z. Protože výjimečný dělitel
je efektivní dělitel Cartier a normální kužel (nebo normální svazek) k němu je
,
![{displaystyle {egin {aligned} s (E, {widetilde {X}}) & = c ({mathcal {O}} _ {E} (E)) ^ {- 1} [E] & = [E] -Ecdot [E] + Ecdot (Ecdot [E]) + cdots, konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f3cde80f79481933ebe592e8dedbe2d7488924)
kde jsme použili notaci
.[9] Tím pádem,
![{displaystyle s (Z, X) = g _ {*} vlevo (součet _ {k = 1} ^ {infty} (- 1) ^ {k-1} E ^ {k} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09080560b3d46d0eaf045925c95090d6b6169431)
kde
darováno
.
Příklady
Příklad 1
Nechat Z být hladkou křivkou, která je úplným průsečíkem efektivních dělitelů Cartier
na odrůdě X. Předpokládejme rozměr X je n + 1. Potom třída Segre z normální kužel
na
je:[10]
![{displaystyle s (C_ {Z / X}) = [Z] -sum _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} cdot [Z].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6290d290c2721dc763a811e062b790df7311dc2c)
Opravdu, například pokud Z je pravidelně vložen do Xpoté
je normální svazek a
(vidět Normální kužel # Vlastnosti ), my máme:
![{displaystyle s (C_ {Z / X}) = c (N_ {Z / X}) ^ {- 1} [Z] = prod _ {i = 1} ^ {d} (1-c_ {1} ({ mathcal {O}} _ {X} (D_ {i}))) [Z] = [Z] -sum _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} cdot [Z].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e67a25171334dfb958fbda7776599229a74546e)
Příklad 2
Následuje příklad 3.2.22. z (Fulton 1998 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFFulton1998 (Pomoc). Obnovuje některé klasické výsledky ze Schubertovy knihy enumerativní geometrie.
Prohlížení duálního projektivního prostoru
jako Grassmann svazek
parametrizace 2-rovin v
, zvažte tautologickou přesnou sekvenci
![{displaystyle 0 o S o p ^ {*} mathbb {C} ^ {3} o Q o 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1388d7209d3066e2f88db4655abef8eda77619c)
kde
jsou tautologické dílčí a kvocientové svazky. S
, projektivní svazek
je rozmanitost kuželoseček v
. S
, my máme
a tak pomocí Chernova třída # Výpočtové vzorce,
![{displaystyle c (E) = 1 + 8 eta +30 eta ^ {2} +60 eta ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee432a869d162bca7cf94f16f1c76d9f4958e28)
a tudíž
![{displaystyle s (E) = 1 + 8h + 34h ^ {2} + 92h ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76f65559df6cae163c6de8d677517d4a8def603)
kde
Koeficienty v
mít výčet geometrických významů; například 92 je počet kuželoseček, které splňují 8 obecných řádků.
Viz také: Zbytkový průnik # Příklad: kuželosečky tečné k daným pěti kuželoseček.
Příklad 3
Nechat X být povrch a
efektivní dělitele Cartier. Nechat
být schéma-teoretický průnik z
a
(prohlížení těchto dělitelů jako uzavřených podsystémů). Pro jednoduchost předpokládejme
setkat se pouze v jednom bodě P se stejnou multiplicitou m a to P je hladký bod X. Pak[11]
![{displaystyle s (Z, X) = [D] + (m ^ {2} [P] -Dcdot [D]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79b21037d2b25890db7fa1152a9d35a63586834)
Chcete-li to vidět, zvažte vybuchnutí
z X podél P a nechte
, přísná transformace Z. Podle vzorce na # Vlastnosti,
![{displaystyle s (Z, X) = g _ {*} ([{widetilde {Z}}]) - g _ {*} ({widetilde {Z}} cdot [{widetilde {Z}}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8051e5ac44c3da04313181630d9424401868a5aa)
Od té doby
kde
, výsledkem je výše uvedený vzorec.
Mnohonásobnost v rámci subvariety
Nechat
být místním kruhem odrůdy X v uzavřené podrodině PROTI kodimenzionální n (například, PROTI může být uzavřený bod). Pak
je polynom stupně n v t pro velké t; tj. lze jej zapsat jako
termíny nižšího stupně a celé číslo
se nazývá multiplicita z A.
Třída Segre
z
kóduje tuto multiplicitu: koeficient
v
je
.[12]
Reference
- ^ Fulton W. (1998). Teorie křižovatky, str.50. Springer, 1998.
- ^ Fulton, str.50. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 4.1.1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 4.1.5. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ A b Fulton, Návrh 3.1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 3.1.1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Návrh 4.2. (A) chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Návrh 4.2. b) chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, § 2.5. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 9.1.1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 4.2.2. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- ^ Fulton, Příklad 4.3.1. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFFulton (Pomoc)
- Segre, Beniamino (1953), „Nuovi metodi e resultati nella geometria sulle varietà algebriche“, Ann. Rohož. Pura Appl. (v italštině), 35 (4): 1–127, PAN 0061420