Přineste radikál - Bring radical - Wikipedia

Spiknutí radikálu Bring pro skutečnou hádku

v algebra, Přineste radikál nebo ultraradical a reálné číslo  A je jedinečný skutečný vykořenit z polynomiální

${ displaystyle x ^ {5} + x + a.}$

Přineste radikál komplexního čísla A je kterýkoli z pěti kořenů výše uvedeného polynomu (je tedy vícecenný ), nebo konkrétní kořen, který je obvykle zvolen tak, aby byl radikál Bring skutečně oceněn za skutečný A a je analytická funkce v sousedství skutečné linie. Kvůli existenci čtyř odbočné body „Přinést radikál nelze definovat jako funkci, která je spojitá v celém celku složité letadlo a její doména kontinuity musí vylučovat čtyři řezy větví.

George Jerrard ukázal, že někteří kvintické rovnice může být řešeno v uzavřené formě použitím radikály a Přineste radikály, které byly zavedeny Erland Bring.

V tomto článku přináší radikál z A je označen ${ displaystyle operatorname {BR} (a).}$ Pro skutečný argument je to zvláštní, monotónně klesající a neomezené s asymptotickým chováním ${ displaystyle mathrm {BR} (a) sim -a ^ {1/5}}$ pro velké ${ displaystyle a}$.

Normální formy

Kvintická rovnice je obtížné získat řešení přímo, s pěti nezávislými koeficienty v nejobecnější podobě:

${ displaystyle x ^ {5} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0. ,}$

Různé metody řešení quintic, které byly vyvinuty, se obecně pokoušejí zjednodušit použití quintic Tschirnhausovy transformace snížit počet nezávislých koeficientů.

Hlavní kvintická forma

Obecný quintic lze snížit na to, co je známé jako hlavní kvintická forma, s odstraněnými kvartickými a kubickými výrazy:

${ displaystyle y ^ {5} + c_ {2} y ^ {2} + c_ {1} y + c_ {0} = 0 ,}$

Pokud jsou kořeny obecného kvintiku a hlavního kvintiku spojeny kvadraticky Transformace Tschirnhaus

${ displaystyle y_ {k} = x_ {k} ^ {2} + alpha x_ {k} + beta ,,}$

koeficienty α a β lze určit pomocí výsledný, nebo prostřednictvím výkonové součty kořenů a Newtonovy identity. To vede k systému rovnic v α a β skládající se z kvadratické a lineární rovnice a pro získání odpovídajících tří koeficientů hlavní kvintické formy lze použít kteroukoli ze dvou sad řešení.^[1]

Tento formulář používá Felix Klein Řešení quintic.^[2]

Přineste – Jerrard normální formu

Je možné ještě více zjednodušit kvintiku a eliminovat kvadratický člen, produkující Přineste – Jerrard normální formu:

${ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0. ,}$

Opětovné použití vzorců mocninného součtu s kubickou transformací jako Tschirnhaus Try nefunguje, protože výsledný systém rovnic má za následek rovnici šestého stupně. Ale v roce 1796 Přinést našel způsob, jak toho obejít pomocí kvartické transformace Tschirnhaus, aby se kořeny hlavního kvintiku vztahovaly ke kořenům Bring – Jerrardova kvintiku:

${ displaystyle v_ {k} = y_ {k} ^ {4} + alpha y_ {k} ^ {3} + beta y_ {k} ^ {2} + gamma y_ {k} + delta , .}$

Extra parametr, který tato transformace čtvrtého řádu poskytuje, umožňuje Bringovi snížit stupně ostatních parametrů. To vede k systému pěti rovnic v šesti neznámých, který pak vyžaduje řešení kubické a kvadratické rovnice. Tuto metodu objevil také Jerrard v roce 1852,^[3] ale je pravděpodobné, že nevěděl o Bringově předchozím působení v této oblasti.^[4] Plnou transformaci lze snadno provést pomocí a počítačová algebra balíček jako Mathematica^[5] nebo Javor.^[6] Jak lze očekávat od složitosti těchto transformací, výsledné výrazy mohou být enormní, zvláště ve srovnání s řešeními v radikálech pro rovnice nižšího stupně, přičemž mnoho megabajtů úložiště je pro obecný kvintik se symbolickými koeficienty.^[5]

Považována za algebraickou funkci, řešení

${ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0 ,}$

zahrnovat dvě proměnné, d₁ a d₀; redukce však ve skutečnosti spočívá v algebraické funkci jedné proměnné, velmi podobné řešení v radikálech, protože můžeme dále redukovat Bring – Jerrardovu formu. Pokud bychom například nastavili

${ displaystyle z = {v over { sqrt [{4}] {- { frac {d_ {1}} {5}}}}} ,}$

potom redukujeme rovnici na tvar

${ displaystyle z ^ {5} -5z-4t = 0 ,,}$

což zahrnuje z jako algebraická funkce jedné proměnnét, kde ${ displaystyle t = - (d_ {0} / 4) (- d_ {1} / 5) ^ {- 5/4}}$. Podobná transformace postačuje ke snížení rovnice na

${ displaystyle u ^ {5} -u + a = 0 ,,}$

což je forma vyžadovaná níže popsanou metodou Hermite – Kronecker – Brioschi, Glasserovou metodou a Cockle – Harleyovou metodou diferenciálních rezolventů.

Brioschi normální forma

Existuje další jednoparametrový normální tvar pro kvintickou rovnici, známý jako Brioschi normální forma

${ displaystyle w ^ {5} -10Cw ^ {3} + 45C ^ {2} w-C ^ {2} = 0,}$

které lze odvodit pomocí racionální transformace Tschirnhaus

${ displaystyle w_ {k} = { frac { lambda + mu x_ {k}} {{ frac {x_ {k} ^ {2}} {C}} - 3}}}$

spojit kořeny obecného kvintiku s Brioschiho kvintikem. Hodnoty parametrů ${ displaystyle lambda ,}$ a ${ displaystyle mu ,}$ lze odvodit pomocí polyedrické funkce na Riemannova koule, a souvisí s oddílem objektu objektu ikosahedrální symetrie do pěti objektů čtyřboká symetrie.^[7]

Tato Tschirnhausova transformace je poněkud jednodušší než ta obtížná, která byla použita k transformaci hlavního kvintiku do Bring – Jerrardovy formy. Tuto normální formu používá iterační metoda Doyle – McMullen a Kiepertova metoda.

Sériové zastoupení

A Taylor série pro Přinést radikály, stejně jako reprezentace ve smyslu hypergeometrické funkce lze odvodit následovně. Rovnice ${ displaystyle x ^ {5} + x + a = 0}$ lze přepsat jako ${ displaystyle x ^ {5} + x = -a.}$ Nastavením ${ displaystyle f (x) = x ^ {5} + x,}$ požadované řešení je ${ displaystyle x = f ^ {- 1} (- a).}$

Série pro ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ pak lze získat pomocí reverze z Taylor série pro ${ displaystyle f (x)}$ (což je jednoduše ${ displaystyle x + x ^ {5}}$), dávat

${ displaystyle f ^ {- 1} (a) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { binom {5k} {k}} { frac {(-1) ^ {k} a ^ {4k + 1}} {4k + 1}} = aa ^ {5} + 5a ^ {9} -35a ^ {13} + cdots,}$

kde absolutní hodnoty koeficientů tvoří posloupnost A002294 v OEIS. Série to potvrzuje ${ displaystyle f ^ {- 1} (a)}$ je zvláštní, jako

${ displaystyle operatorname {BR} (-a) = f ^ {- 1} (a) = - a + a ^ {5} -5a ^ {9} + 35a ^ {13} + cdots = -f ^ {-1} (- a).}$

The poloměr konvergence série je ${ displaystyle 4 / (5 cdot { sqrt [{4}] {5}}) přibližně 0,53499.}$

v hypergeometrický formě, lze přinést radikál Bring^[5]

${ displaystyle operatorname {BR} (a) = - a , , _ {4} F_ {3} left ({ frac {1} {5}}, { frac {2} {5}} , { frac {3} {5}}, { frac {4} {5}}; { frac {1} {2}}, { frac {3} {4}}, { frac {5 } {4}}; - 5 vlevo ({ frac {5a} {4}} vpravo) ^ {4} vpravo)}$

Může být zajímavé srovnání s hypergeometrickými funkcemi, které vznikají níže při Glasserově odvození a metodě diferenciálních rozlišení.

Řešení obecného kvintiku

Nyní můžeme vyjádřit kořeny libovolného polynomu

${ displaystyle x ^ {5} + px + q ,}$

pokud jde o Bring radikál as

${ displaystyle { sqrt [{4}] {- { frac {p} {5}}}} , operatorname {BR} left (- { frac {1} {4}} left (- { frac {5} {p}} vpravo) ^ { frac {5} {4}} q vpravo)}$

a jeho čtyři konjugáty.^{[Citace je zapotřebí ]} Máme redukci na Bring – Jerrardovu formu, pokud jde o řešitelné polynomické rovnice, a použili jsme transformace zahrnující polynomiální výrazy v kořenech pouze do čtvrtého stupně, což znamená, že převrácení transformace lze provést nalezením kořenů polynomiálního řešení v radikálech. Tento postup produkuje cizí řešení, ale když jsme našli správná řešení pomocí numerických prostředků, můžeme také zapsat kořeny quintic z hlediska odmocnin, kořenů krychle a radikálu Bring, což je tedy algebraické řešení z hlediska algebraické funkce (definované obecně, aby obsahovaly radikály Bring) jedné proměnné - algebraické řešení obecné kvintiky.

Další charakterizace

Bylo vyvinuto mnoho dalších charakterizací radikálu Bring, z nichž první je ve smyslu eliptické modulární funkce podle Charles Hermite v roce 1858 a další metody později vyvinuté jinými matematiky.

Charakterizace Hermite – Kronecker – Brioschi

V roce 1858 Charles Hermite^[8] zveřejnil první známé řešení obecné kvintické rovnice, pokud jde o eliptické transcendenty, a přibližně ve stejnou dobu Francesco Brioschi^[9] a Leopold Kronecker^[10] přišel na ekvivalentní řešení. Poustevník dospěl k tomuto řešení zevšeobecněním dobře známého řešení kubická rovnice ve smyslu trigonometrické funkce a najde řešení kvintiky ve formě Bring – Jerrard:

${ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 ,}$

do kterého lze redukovat jakoukoli kvintickou rovnici pomocí Tschirnhausových transformací, jak bylo ukázáno. Pozoroval to eliptické funkce měl při řešení Bring – Jerrardova kvintiku analogickou roli, jakou měly trigonometrické funkce pro kubický. Li ${ displaystyle K ,}$ a ${ displaystyle K ',}$ jsou období an eliptický integrál prvního druhu:

${ displaystyle K = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {d varphi} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} varphi }}}}$

${ displaystyle K '= int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {d varphi} { sqrt {1-k' ^ {2} sin ^ {2} varphi}}}}$

the eliptické nome darováno:

${ displaystyle q = e ^ {- { frac { pi K '} {K}}} ,}$

a

${ displaystyle k ^ {2} + k '^ {2} = 1 ,}$

S

${ displaystyle q = e ^ {- { frac { pi K '} {K}}} = e ^ {{ mathrm {i}} pi tau} ,}$

definovat dva eliptické modulární funkce:

${ displaystyle { sqrt [{4}] {k}} = varphi ( tau) = { sqrt { frac { vartheta _ {10} (0; tau)} { vartheta _ {00} (0; tau)}}}}$

${ displaystyle { sqrt [{4}] {k '}} = psi ( tau) = { sqrt { frac { vartheta _ {01} (0; tau)} { vartheta _ {00 } (0; tau)}}}}$

kde ${ displaystyle vartheta _ {00} (0; tau)}$ a podobné jsou Jacobi theta funkce.

Li n je prvočíslo, můžeme definovat dvě hodnoty u a proti jak následuje:

${ displaystyle v = varphi (n tau) ,}$

a

${ displaystyle u = varphi ( tau) ,}$

Parametry ${ displaystyle u ,}$ a ${ displaystyle v ,}$ jsou spojeny rovnicí stupně n + 1 známý jako modulární rovnice, jehož n + 1 kořenů je dáno:

${ displaystyle epsilon varphi (n tau) ,}$

a

${ displaystyle varphi left ({ frac { tau + 16m} {n}} right) ,}$

kde ε je 1 nebo −1 podle toho, zda 2 je a kvadratický zbytek s ohledem na n nebo ne, a m je celé číslo modulon. Pro n = 5, máme modulární rovnici šestého stupně:

${ displaystyle u ^ {6} -v ^ {6} + 5u ^ {2} v ^ {2} (u ^ {2} -v ^ {2}) + 4uv (1-u ^ {4} v ^ {4}) = 0 ,}$

se šesti kořeny, jak je uvedeno výše.

Modulární rovnice šestého stupně může souviset s Bring-Jerrardovým kvintikem pomocí následující funkce šesti kořenů modulární rovnice:

${ displaystyle Phi ( tau) = left [ varphi (5 tau) + varphi left ({ frac { tau} {5}} right) right] left [ varphi left ({ frac { tau +16} {5}} vpravo) - varphi vlevo ({ frac { tau +64} {5}} vpravo) vpravo] doleva [ varphi doleva ( { frac { tau +32} {5}} vpravo) - varphi vlevo ({ frac { tau +48} {5}} vpravo) vpravo] ,}$

Těch pět veličin ${ displaystyle Phi ( tau) ,}$, ${ displaystyle Phi ( tau +16) ,}$, ${ displaystyle Phi ( tau +32) ,}$, ${ displaystyle Phi ( tau +48) ,}$, ${ displaystyle Phi ( tau +64) ,}$ jsou kořeny kvintické rovnice s racionálními koeficienty v ${ displaystyle varphi ( tau) ,}$:

${ displaystyle Phi ^ {5} -2000 varphi ^ {4} ( tau) psi ^ {16} ( tau) Phi +1600 { sqrt {5}} varphi ^ {3} ( tau) psi ^ {16} ( tau) vlevo [1+ varphi ^ {8} ( tau) vpravo] = 0 ,}$

které lze snadno převést do formy Bring – Jerrard nahrazením:

${ displaystyle Phi = 2 { sqrt [{4}] {125}} varphi ( tau) psi ^ {4} ( tau) x ,}$

vedoucí k kvintice Bring – Jerrard:

${ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 ,}$

kde

${ displaystyle a = { frac {2 [1+ varphi ^ {8} ( tau)]} {{ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}} varphi ^ {2} ( tau) psi ^ {4} ( tau)}} ,}$

Metoda Hermite – Kronecker – Brioschi se pak rovná nalezení hodnoty pro τ, která odpovídá hodnotě A, a poté pomocí této hodnoty τ získat kořeny odpovídající modulární rovnice. Chcete-li to udělat, nechte

${ displaystyle A = { frac {a { sqrt [{4}] {5 ^ {5}}}} {2}}}$

a vypočítat požadovaný eliptický modul ${ displaystyle k}$ řešením kvartické rovnice:

${ displaystyle k ^ {4} + A ^ {2} k ^ {3} + 2k ^ {2} -A ^ {2} k + 1 = 0 ,}$

Kořeny této rovnice jsou:

${ displaystyle k = tan { frac { alpha} {4}}, tan { frac { alpha +2 pi} {4}}, tan { frac { pi - alpha} { 4}}, tan { frac {3 pi - alpha} {4}} ,}$

kde ${ displaystyle sin alpha = { frac {4} {A ^ {2}}} ,}$^[11] (všimněte si, že některé důležité odkazy to chybně uvádějí jako ${ displaystyle sin alpha = { frac {1} {4A ^ {2}}} ,}$^[7][8]). Pro účely této metody lze jako eliptický modul použít kterýkoli z těchto kořenů. Hodnota ${ displaystyle tau}$ lze snadno získat z eliptického modulu ${ displaystyle k ,}$ výše uvedenými vztahy. Kořeny kvintiky Bring – Jerrard jsou pak dány:

${ displaystyle x_ {i} = { frac { Phi ( tau + 16i)} {2 { sqrt [{4}] {125}} varphi ( tau) psi ^ {4} ( tau )}}}$

pro ${ displaystyle i = 0, ldots, 4}$.

Je možné vidět, že tento proces používá zobecnění n-tý kořen, které lze vyjádřit jako:

${ displaystyle { sqrt [{n}] {x}} = exp left ({{ frac {1} {n}} ln x} right)}$

nebo více k věci, jako

${ displaystyle { sqrt [{n}] {x}} = exp left ({ frac {1} {n}} int _ {1} ^ {x} { frac {dt} {t} }že jo).}$

Metoda Hermite – Kronecker – Brioschi v podstatě nahrazuje exponenciál eliptickou modulární funkcí a integrál ${ displaystyle int _ {1} ^ {x} { frac {dt} {t}}}$ eliptickým integrálem. Kronecker si myslel, že toto zobecnění je zvláštním případem ještě obecnější věty, která by byla použitelná pro rovnice libovolně vysokého stupně. Tato věta, známá jako Thomaeův vzorec, plně vyjádřil Hiroshi Umemura^[12] v roce 1984, který použil Modulární formy Siegel místo exponenciální / eliptické modulární funkce a integrál pomocí a hyperelliptický integrál.

Glasserova derivace

Tento původ je způsoben M. L. Glasserem^[13] zobecňuje metodu řady představenou dříve v tomto článku, aby našla řešení jakékoli trinomiální rovnice tvaru:

${ displaystyle x ^ {N} -x + t = 0 , !}$

Zejména lze kvintickou rovnici redukovat na tuto formu pomocí Tschirnhausových transformací, jak je uvedeno výše. Nechat ${ displaystyle x = zeta ^ {- { frac {1} {N-1}}} ,}$, obecná forma se stává:

${ displaystyle zeta = e ^ {2 pi i} + t phi ( zeta) , !}$

kde

${ displaystyle phi ( zeta) = zeta ^ { frac {N} {N-1}} , !}$

Vzorec kvůli Lagrange uvádí, že pro všechny analytická funkce ${ displaystyle f ,}$, v sousedství kořene transformované obecné rovnice, pokud jde o ${ displaystyle zeta ,}$, výše lze vyjádřit jako nekonečná řada:

${ displaystyle f ( zeta) = f (e ^ {2 pi { mathrm {i}}}) + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} { frac {d ^ {n-1}} {da ^ {n-1}}} [f '(a) | phi (a) | ^ {n}] _ {a = e ^ {2 pi { mathrm {i}}}}}$

Pokud to necháme ${ displaystyle f ( zeta) = zeta ^ {- { frac {1} {N-1}}} ,}$ v tomto vzorci můžeme přijít s kořenem:

${ displaystyle x_ {k} = e ^ {- { frac {2k pi { rm {i}}} {N-1}}} - { frac {t} {N-1}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(te ^ { frac {2k pi { rm {i}}} {N-1}}) ^ {n}} { Gamma (n + 2)}} cdot { frac { Gamma vlevo ({ frac {Nn} {N-1}} + 1 vpravo)} { Gamma vlevo ({ frac {n} {N-1} } +1 vpravo)}}}$

${ displaystyle k = 1,2,3, tečky, N-1 ,}$

Použitím Gaussova věta o násobení výše uvedená nekonečná řada může být rozdělena na konečnou řadu hypergeometrické funkce:

${ displaystyle psi _ {n} (q) = left ({ frac {e ^ { frac {2n pi { rm {i}}} {N-1}} t} {N-1} } right) ^ {q} N ^ { frac {qN} {N-1}} { frac { prod _ {k = 0} ^ {N-1} Gamma left ({ frac {q } {N-1}} + { frac {1 + k} {N}} vpravo)} { Gamma vlevo ({ frac {q} {N-1}} + 1 vpravo) prod _ {k = 0} ^ {N-2} Gamma left ({ frac {q + k + 2} {N-1}} right)}} = left ({ frac {te ^ { frac {2n pi { rm {i}}} {N-1}}} {N-1}} vpravo) ^ {q} N ^ { frac {qN} {N-1}} prod _ { k = 2} ^ {N} { frac { Gamma vlevo ({ frac {q} {N-1}} + { frac {k-1} {N}} vpravo)} { Gamma vlevo ({ frac {q + k} {N-1}} vpravo)}}}$

${ displaystyle x_ {n} = e ^ {- { frac {2n pi { rm {i}}} {N-1}}} - { frac {t} {(N-1) ^ {2 }}} { sqrt { frac {N} {2 pi (N-1)}}} sum _ {q = 0} ^ {N-2} psi _ {n} (q) _ {( N + 1)} F_ {N} { begin {bmatrix} { frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, ldots, { frac {q + N-1} {N -1}}, 1; [8pt] { frac {q + 2} {N-1}}, ldots, { frac {q + N} {N-1}}, { frac {q + N-1} {N-1}}; [8pt] left ({ frac {te ^ { frac {2n pi { rm {i}}} {N-1}}}} N -1}} vpravo) ^ {N-1} N ^ {N} end {bmatrix}}, quad n = 1,2,3, dots, N-1}$

${ displaystyle x_ {N} = součet _ {m = 1} ^ {N-1} { frac {t} {(N-1) ^ {2}}} { sqrt { frac {N} { 2 pi (N-1)}}} sum _ {q = 0} ^ {N-2} psi _ {m} (q) _ {(N + 1)} F_ {N} { začátek { bmatrix} { frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, ldots, { frac {q + N-1} {N-1}}, 1; [8pt] { frac {q + 2} {N-1}}, ldots, { frac {q + N} {N-1}}, { frac {q + N-1} {N-1}}; [8pt] left ({ frac {te ^ { frac {2m pi { rm {i}}} {N-1}}} {N-1}} right) ^ {N-1} N ^ {N} end {bmatrix}}}$

a trinomial formy má kořeny

${ displaystyle {} _ {ax ^ {N} + bx ^ {2} + c = 0, N ekviv 1 { pmod {2}}} , !}$

${ displaystyle {} _ {x_ {N} = - { frac {a} {2b}} { sqrt { left ({ frac {c} {b}} right) ^ {N-1}} } {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin {bmatrix} { frac {N + 1} {2N}}, { frac {N + 3} {2N}}, cdots, { frac {N-2} {N}}, { frac {N-1} {N}}, { frac {N + 1} {N}}, { frac {N + 2} {N} }, cdots, { frac {3N-3} {2N}}, { frac {3N-1} {2N}}; [8pt] { frac {N + 1} {2N-4}} , { frac {N + 3} {2N-4}}, cdots, { frac {N-4} {N-2}}, { frac {N-3} {N-2}}, { frac {N-1} {N-2}}, { frac {N} {N-2}}, cdots, { frac {3N-5} {2N-4}}, { frac {3 } {2}}; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} vlevo (N-2 vpravo) ^ {N-2} }} end {bmatrix}} + { sqrt { frac {c} {b}}} { rm {i}} {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin {bmatrix} { frac {1} {2N}}, { frac {3} {2N}}, cdots, { frac {N-4} {2N}}, { frac {N-2} {2N}} , { frac {N + 2} {2N}}, { frac {N + 4} {2N}}, cdots, { frac {2N-3} {2N}}, { frac {2N-1 } {2N}}; [8pt] { frac {3} {2N-4}}, { frac {5} {2N-4}}, cdots, { frac {2N-3} {2N -4}}; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} vlevo (N-2 vpravo) ^ {N-2}} } end {bmatrix}}}}$

${ displaystyle {} _ {x_ {N-1} = - { frac {a} {2b}} { sqrt { left ({ frac {c} {b}} right) ^ {N-1 }}} {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin {bmatrix} { frac {N + 1} {2N}}, { frac {N + 3} {2N}}, cdots, { frac {N-2} {N}}, { frac {N-1} {N}}, { frac {N + 1} {N}}, { frac {N + 2} { N}}, cdots, { frac {3N-3} {2N}}, { frac {3N-1} {2N}}; [8pt] { frac {N + 1} {2N-4 }}, { frac {N + 3} {2N-4}}, cdots, { frac {N-4} {N-2}}, { frac {N-3} {N-2}} , { frac {N-1} {N-2}}, { frac {N} {N-2}}, cdots, { frac {3N-5} {2N-4}}, { frac {3} {2}}; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} vlevo (N-2 vpravo) ^ {N- 2}}} end {bmatrix}} - { sqrt { frac {c} {b}}} { rm {i}} {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin { bmatrix} { frac {1} {2N}}, { frac {3} {2N}}, cdots, { frac {N-4} {2N}}, { frac {N-2} {2N }}, { frac {N + 2} {2N}}, { frac {N + 4} {2N}}, cdots, { frac {2N-3} {2N}}, { frac {2N -1} {2N}}; [8pt] { frac {3} {2N-4}}, { frac {5} {2N-4}}, cdots, { frac {2N-3} {2N-4}}; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} doleva (N-2 doprava) ^ {N-2 }}} end {bmatrix}}}}$

${ displaystyle {} _ {x_ {n} = - e ^ { frac {2n pi { rm {i}}} {N-2}} { sqrt [{N-2}] { frac { b} {a}}} {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin {bmatrix} - { frac {1} {N left (N-2 right)}}, - { frac {1} {N levý (N-2 pravý)}} + { frac {1} {N}}, - { frac {1} {N levý (N-2 pravý)}} + { frac {2} {N}}, cdots, - { frac {1} {N left (N-2 right)}} + { frac {1} {N}}, { frac {N-5} {2N}}, - { frac {1} {N levý (N-2 pravý)}} + { frac {N-3} {2N}}, - { frac {1 } {N left (N-2 right)}} + { frac {N + 1} {2N}}, - { frac {1} {N left (N-2 right)}} + { frac {N + 3} {2N}}, cdots, - { frac {1} {N levý (N-2 pravý)}} + { frac {N-1} {N}} ,; [8pt] { frac {1} {N-2}}, { frac {2} {N-2}}, cdots, { frac {2N-5} {2N-4}} ,; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} left (N-2 right) ^ {N-2}}} end {bmatrix }} +}}$

${ displaystyle {} _ {+ { sqrt [{N-2}] { frac {b} {a}}} sum _ {q = 1} ^ {N-3} { frac { Gamma left ({ frac {2q-1} {N-2}} + q right)} { Gamma left ({ frac {2q-1} {N-2}} + 1 right)}} cdot left (- { frac {c} {b}} { sqrt [{N-2}] { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}}} right) ^ {q } cdot { frac {e ^ {{ frac {2n levý (1-2q pravý)} {N-2}} pi { rm {i}}}} {q!}} {} _ {N-1} F_ {N-2} { begin {bmatrix} { frac {Nq-1} {N left (N-2 right)}}, { frac {Nq-1} {N left (N-2 right)}} + { frac {1} {N}}, { frac {Nq-1} {N left (N-2 right)}} + { frac {2} {N}}, cdots, { frac {Nq-1} {N vlevo (N-2 vpravo)}} + { frac {N-3} {2N}}, { frac {Nq-1 } {N left (N-2 right)}} + { frac {N + 1} {2N}}, cdots, { frac {Nq-1} {N left (N-2 right) }} + { frac {N-1} {N}}; [8pt] { frac {q + 1} {N-2}}, { frac {q + 2} {N-2}} , cdots, { frac {N-4} {N-2}}, { frac {N-3} {N-2}}, { frac {N-1} {N-2}}, { frac {N} {N-2}}, cdots, { frac {q + N-2} {N-2}}, { frac {2q + 2N-5} {2N-4}}; [8pt] - { frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} levý (N-2 pravý) ^ {N-2}}} end {bmatrix} }, n = 1,2, cdots, N-2}}$

Kořen rovnice lze tedy vyjádřit jako součet maximálně N - 1 hypergeometrické funkce. Aplikováním této metody na redukovaný kvintik Bring – Jerrard definujte následující funkce:

${ displaystyle { begin {aligned} F_ {1} (t) & = , _ {4} F_ {3} left (- { frac {1} {20}}, { frac {3} { 20}}, { frac {7} {20}}, { frac {11} {20}}; { frac {1} {4}}, { frac {1} {2}}, { frac {3} {4}}; { frac {3125t ^ {4}} {256}} right) [6pt] F_ {2} (t) & = , _ {4} F_ {3} left ({ frac {1} {5}}, { frac {2} {5}}, { frac {3} {5}}, { frac {4} {5}}; { frac {1} {2}}, { frac {3} {4}}, { frac {5} {4}}; { frac {3125t ^ {4}} {256}} vpravo) [ 6pt] F_ {3} (t) & = , _ {4} F_ {3} left ({ frac {9} {20}}, { frac {13} {20}}, { frac { 17} {20}}, { frac {21} {20}}; { frac {3} {4}}, { frac {5} {4}}, { frac {3} {2}} ; { frac {3125t ^ {4}} {256}} vpravo) [6pt] F_ {4} (t) & = , _ {4} F_ {3} vlevo ({ frac {7 } {10}}, { frac {9} {10}}, { frac {11} {10}}, { frac {13} {10}}; { frac {5} {4}}, { frac {3} {2}}, { frac {7} {4}}; { frac {3125t ^ {4}} {256}} right) end {zarovnáno}}}$

což jsou hypergeometrické funkce, které se objevují ve vzorci řady výše. Kořeny quintic jsou tedy:

${ displaystyle { begin {array} {rcrcccccc} x_ {1} & = & {} - tF_ {2} (t) [8pt] x_ {2} & = & {} - F_ {1} (t ) & + & { frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & { frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & { frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) [8pt] x_ {3} & = & F_ {1} (t) & + & { frac {1} {4 }} tF_ {2} (t) & - & { frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & { frac {5} {32}} t ^ { 3} F_ {4} (t) [8pt] x_ {4} & = & {} - iF_ {1} (t) & + & { frac {1} {4}} tF_ {2} (t ) & - & { frac {5} {32}} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & { frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t ) [8pt] x_ {5} & = & iF_ {1} (t) & + & { frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & { frac {5} {32 }} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & { frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) end {pole}}}$

Toto je v podstatě stejný výsledek jako výsledek získaný následující metodou.

Metoda diferenciálních rozlišení

James Cockle^[14] a Robert Harley^[15] vyvinul v roce 1860 metodu řešení kvintiky pomocí diferenciálních rovnic. Považují kořeny za funkce koeficientů a na základě těchto rovnic vypočítají diferenciální rozlišení. Bring – Jerrardova kvintika je vyjádřena jako funkce:

${ displaystyle f (x) = x ^ {5} -x + a ,}$

a funkce ${ displaystyle phi (a) ,}$ je třeba stanovit tak, aby:

${ displaystyle f [ phi (a)] = 0 ,}$

Funkce ${ displaystyle phi ,}$ musí také splňovat následující čtyři diferenciální rovnice:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {df [ phi (a)]} {da}} = 0 [6pt] { frac {d ^ {2} f [ phi (a)] } {da ^ {2}}} = 0 [6pt] { frac {d ^ {3} f [ phi (a)]} {da ^ {3}}} = 0 [6pt] { frac {d ^ {4} f [ phi (a)]} {da ^ {4}}} = 0 end {zarovnáno}}}$

Jejich rozšířením a jejich kombinací se získá rozdílné rozpouštědlo:

${ displaystyle { frac {(256-3125a ^ {4})} {1155}} { frac {d ^ {4} phi} {da ^ {4}}} - { frac {6250a ^ {3 }} {231}} { frac {d ^ {3} phi} {da ^ {3}}} - { frac {4875a ^ {2}} {77}} { frac {d ^ {2} phi} {da ^ {2}}} - { frac {2125a} {77}} { frac {d phi} {da}} + phi = 0}$

Řešení diferenciálního rozpouštědla, které je obyčejnou diferenciální rovnicí čtvrtého řádu, závisí na čtyřech konstanty integrace, které by měly být vybrány tak, aby vyhovovaly původnímu kvintiku. Toto je fuchsiánská obyčejná diferenciální rovnice hypergeometrického typu,^[16] jehož řešení se ukázalo být identické s řadou hypergeometrických funkcí, které vznikly výše uvedenou Glasserovou derivací.^[6]

Tuto metodu lze také zobecnit na rovnice libovolně vysokého stupně s diferenciálním rozlišením, které jsou parciální diferenciální rovnice, jehož řešení zahrnuje hypergeometrické funkce několika proměnných.^[17][18]Obecný vzorec pro diferenciální rozlišení libovolných univariantních polynomů je dán Nahayovým vzorcem mocniny.^[19][20]

Doyle – McMullenova iterace

V roce 1989 Peter Doyle a Curt McMullen odvodili iterační metodu^[21] který řeší kvintiku v Brioschi normální formě:

${ displaystyle x ^ {5} -10Cx ^ {3} + 45C ^ {2} x-C ^ {2} = 0. ,}$

Algoritmus iterace probíhá následovně:

1 set ${ displaystyle Z = 1-1728C ,}$

2. Vypočtěte racionální funkci

${ displaystyle T_ {Z} (w) = w-12 { frac {g (Z, w)} {g '(Z, w)}} ,}$

kde ${ displaystyle g (Z, w) ,}$ je polynomiální funkce uvedená níže a ${ displaystyle g ',}$ je derivát z ${ displaystyle g (Z, w) ,}$ s ohledem na ${ displaystyle w ,}$

3. Iterovat ${ displaystyle T_ {Z} [T_ {Z} (w)] ,}$ na náhodném počátečním odhadu, dokud nedojde ke konvergenci. Zavolej mezní bod ${ displaystyle w_ {1} ,}$ a nechte ${ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) ,}$.

4. Vypočítat

${ displaystyle mu _ {i} = { frac {100Z (Z-1) h (Z, w_ {i})} {g (Z, w_ {i})}} ,}$

kde ${ displaystyle h (Z, w) ,}$ je polynomiální funkce uvedená níže. Udělejte to pro oba ${ displaystyle w_ {1} ,}$ a ${ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) ,}$.

5. Nakonec spočítejte

${ displaystyle x_ {i} = { frac {(9 + { sqrt {15}} { mathrm {i}}) mu _ {i} + (9 - { sqrt {15}} { mathrm {i}}) mu _ {3-i}} {90}}}$

pro i = 1, 2. To jsou dva kořeny Brioschiho kvintiky.

Tyto dvě polynomiální funkce ${ displaystyle g (Z, w) ,}$ a ${ displaystyle h (Z, w) ,}$ jsou následující:

${ displaystyle { begin {aligned} g (Z, w) = {} & 91125Z ^ {6} & {} + (- 133650w ^ {2} + 61560w-193536) Z ^ {5} & { } + (- 66825w ^ {4} + 142560w ^ {3} + 133056w ^ {2} -61140w + 102400) Z ^ {4} & {} + (5940w ^ {6} + 4752w ^ {5} + 63360w ^ {4} -140800w ^ {3}) Z ^ {3} & {} + (- 1485w ^ {8} + 3168w ^ {7} -10560w ^ {6}) Z ^ {2} & {} + (- 66w ^ {10} + 440w ^ {9}) Z & {} + w ^ {12} [8pt] h (Z, w) = {} & (1215w-648) Z ^ {4} & {} + (- 540w ^ {3} -216w ^ {2} -1152w + 640) Z ^ {3} & {} + (378w ^ {5} -504w ^ { 4} + 960w ^ {3}) Z ^ {2} & {} + (36w ^ {7} -168w ^ {6}) Z & {} + w ^ {9} end {zarovnáno} }}$

Tato metoda iterace vytváří dva kořeny quintic. Zbývající tři kořeny lze získat pomocí syntetické dělení rozdělit dva kořeny a vytvořit kubickou rovnici. Kvůli způsobu formulování iterace se zdá, že tato metoda vždy najde dva komplexní konjugát kořeny quintic, i když jsou všechny quintic koeficienty skutečné a počáteční odhad je reálný. Tato iterační metoda je odvozena od symetrií dvacetistěnu a úzce souvisí s metodou, kterou Felix Klein popisuje ve své knize.^[2]

Viz také

• Teorie rovnic

Poznámky