Thomaesův vzorec - Thomaes formula - Wikipedia

v matematika, Thomaeův vzorec je vzorec zavedený Carl Johannes Thomae  (1870 ) týkající konstanty theta do odbočné body a hyperelliptická křivka (Mumford 1984, oddíl 8).

Dějiny

V roce 1824 Abel – Ruffiniho věta stanovil, že polynomiální rovnice stupně pět nebo vyšší nemohl mít v radikály. Od té doby bylo matematikům jasné, že je třeba jít za hranice radikálů, abychom mohli vyjádřit řešení rovnic pátého a vyššího stupně. V roce 1858 Charles Hermite, Leopold Kronecker, a Francesco Brioschi nezávisle zjistil, že kvintická rovnice lze vyřešit pomocí eliptické transcendenty. To se ukázalo jako zobecnění radikálu, které lze zapsat jako:

${ displaystyle { sqrt [{n}] {x}} = exp left ({{ frac {1} {n}} ln x} right) = exp left ({ frac {1 } {n}} int _ {1} ^ {x} { frac {dt} {t}} vpravo).}$

S omezením pouze na tento exponenciální, jak ukazuje Galoisova teorie, pouze skladby z Abelian rozšíření lze zkonstruovat, což stačí pouze pro rovnice čtvrtého stupně a níže. Pro rovnice vyššího stupně je zapotřebí něco obecnějšího, takže k vyřešení quintic, Hermite, et al. nahradil exponenciál znakem eliptická modulární funkce a integrál (logaritmus) pomocí an eliptický integrál. Kronecker věřil, že se jedná o speciální případ ještě obecnější metody.^[1] Camille Jordan ukázal^[2] že jakoukoli algebraickou rovnici lze vyřešit pomocí modulárních funkcí. Toho dosáhl Thomae v roce 1870.^[3] Proces zahrnoval nahrazení exponenciálu v n-tom kořenu a eliptické modulární funkce v přístupu Hermite, et al. ještě obecnější Modulární formy Siegel a integrál pomocí a hyperelliptický integrál. Hiroši Umemura^[4] vyjádřil tyto modulární funkce z hlediska vyššího rodu theta funkce.

Vzorec

Pokud máme polynomiální funkce:

${ displaystyle f (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n}}$

s ${ displaystyle a_ {0} neq 0}$ neredukovatelné přes určité podpole komplexních čísel, pak jeho kořeny ${ displaystyle x_ {k}}$ lze vyjádřit následující rovnicí zahrnující theta funkce nulového argumentu (konstanty theta ):

${ displaystyle { begin {aligned} x_ {k} = {} & left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4} left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right ] ^ {4} [6pt] & {} + left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) ( Omega ) right] ^ {4} left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ { 4} [6pt] & {} - { frac { left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & 0 & cdots & 0 1 & 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4} left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 1 & 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4}} {2 left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4} left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4}}} end {zarovnáno }}}$

kde ${ displaystyle Omega}$ je matice období odvozeno od jednoho z následujících hyperelliptických integrálů:

${ displaystyle u (a) = int _ {1} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {x (x-1) f (x)}}}}$

-li ${ displaystyle f (x)}$ je lichého stupně, nebo

${ displaystyle u (a) = int _ {1} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {x (x-1) (x-2) f (x)}}}}$

-li ${ displaystyle f (x)}$ je vyrovnaný.

Tento vzorec platí pro jakoukoli algebraickou rovnici jakéhokoli stupně bez nutnosti a Transformace Tschirnhaus nebo jakoukoli jinou manipulaci, která přinese rovnici do konkrétní normální formy, jako je Přineste – Jerrardovu formu pro quintic. Aplikace tohoto vzorce v praxi je však obtížná, protože relevantní hyperelliptické integrály a funkce vyššího rodu theta jsou velmi složité.

Poznámky