Modulární forma Siegel - Siegel modular form

v matematika, Modulární formy Siegel jsou hlavním typem automorfní forma. Tyto zobecňují konvenční eliptický modulární formy které úzce souvisí s eliptické křivky. Složité potrubí vyrobené v teorii Siegelových modulárních forem jsou Modulární odrůdy Siegel, což jsou základní modely toho, co a moduli prostor pro abelianské odrůdy (s některými extra struktura úrovně ) by měly být a jsou konstruovány jako kvocienty Siegel horní poloviční prostor spíše než horní polorovina podle diskrétní skupiny.

Modulární formy Siegel jsou holomorfní funkce na množině symetrický n × n matice s pozitivní určitý imaginární část; formy musí splňovat podmínku automorphy. Modulární formy Siegel lze považovat za modulární formy s více proměnnými, tj. Jako speciální funkce z několik složitých proměnných.

Modulární formy Siegel byly nejprve zkoumány Carl Ludwig Siegel  (1939 ) za účelem studia kvadratické formy analyticky. Ty vznikají především v různých odvětvích teorie čísel, jako aritmetická geometrie a eliptická kohomologie. Modulární formy Siegel byly také použity v některých oblastech fyzika, jako teorie konformního pole a termodynamika černé díry v teorie strun.

Definice

Předkola

Nechat ${displaystyle g, Nin mathbb {N}}$ a definovat

${displaystyle {mathcal {H}} _ {g} = vlevo {au in M_ {g imes g} (mathbb {C}) {ig |} au ^ {mathrm {T}} = au, {extrm {Im}} (au) {ext {positive definite}} ight},}$

the Siegel horní poloviční prostor. Definujte symplektická skupina úrovně ${displaystyle N}$, označeno ${displaystyle Gamma _ {g} (N),}$ tak jako

${displaystyle Gamma _ {g} (N) = left {gamma in GL_ {2g} (mathbb {Z}) {ig |} gamma ^ {mathrm {T}} {egin {pmatrix} 0 & I_ {g} - I_ { g} & 0end {pmatrix}} gamma = {egin {pmatrix} 0 & I_ {g} - I_ {g} & 0end {pmatrix}}, gamma equiv I_ {2g} mod Night},}$

kde ${displaystyle I_ {g}}$ je ${displaystyle g imes g}$ matice identity. Nakonec nechte

${displaystyle ho: {extrm {GL}} _ {g} (mathbb {C}) ightarrow {extrm {GL}} (V)}$

být racionální reprezentace, kde ${displaystyle V}$ je konečně-dimenzionální komplex vektorový prostor.

Modulární forma Siegel

Dáno

${displaystyle gamma = {egin {pmatrix} A&B C & Dend {pmatrix}}}$

a

${displaystyle gamma in Gamma _ {g} (N),}$

definovat notaci

${displaystyle (f {ig |} gama) (au) = (ho (C au + D)) ^ {- 1} f (gama au).}$

Pak holomorfní funkce

${displaystyle f: {mathcal {H}} _ {g} ightarrow V}$

je Modulární forma Siegel stupně ${displaystyle g}$ (někdy nazývaný rod), váha ${displaystyle ho}$a úroveň ${displaystyle N}$ -li

${displaystyle (f {ig |} gama) = f}$

pro všechny ${displaystyle gamma in Gamma _ {g} (N)}$.V případě, že ${displaystyle g = 1}$, dále to požadujeme ${displaystyle f}$ být holomorfní „v nekonečnu“. Tento předpoklad není pro ${displaystyle g> 1}$ kvůli principu Koecher, vysvětleno níže. Označte hmotnostní prostor ${displaystyle ho}$, stupeň ${displaystyle g}$a úroveň ${displaystyle N}$ Modulární formy Siegel od

${displaystyle M_ {ho} (gama _ {g} (N)).}$

Příklady

Některé způsoby konstrukce modulárních forem Siegel zahrnují:

• Eisensteinova řada
• Theta funkce mřížek (případně s pluri-harmonickým polynomem)
• Výtah Saito – Kurokawa pro stupeň 2
• Ikeda výtah
• Miyawaki výtah
• Výrobky modulárních forem Siegel.

Úroveň 1, malý stupeň

Pro stupeň 1 jsou modulární formy úrovně 1 Siegel stejné jako modulární formy úrovně 1. Kruh takových forem je polynomický kruh C[E₄,E₆] v (stupeň 1) Eisensteinově sérii E₄ a E₆.

Pro stupeň 2 (Igusa1962, 1967 ) ukázal, že kruh modulárních forem Siegel úrovně 1 je generován (stupeň 2) Eisensteinovou řadou E₄ a E₆ a 3 další formy vah 10, 12 a 35. Ideál vztahů mezi nimi je generován druhou mocninou váhy 35, která je mínus určitý polynom v ostatních.

Pro stupeň 3, Tsuyumine (1986) popsal prstenec modulárních forem Siegel úrovně 1 a dal sadu 34 generátorů.

Pro stupeň 4 byly nalezeny modulární formy malých vah Siegel úrovně 1. Neexistují žádné hrotové formy závaží 2, 4 nebo 6. Prostor hrotových forem váhy 8 je 1-rozměrný, překlenutý Schottkyho forma. Prostor hrotových forem hmotnosti 10 má rozměr 1, prostor hrotových forem hmotnosti 12 má rozměr 2, prostor hrotových forem hmotnosti 14 má rozměr 3 a prostor hrotových forem hmotnosti 16 má rozměr 7 (Chudák a Yuen 2007 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFPoorYuen2007 (Pomoc).

Pro stupeň 5 má prostor hrotových forem rozměr 0 pro váhu 10, rozměr 2 pro váhu 12. Prostor forem váh 12 má rozměr 5.

Pro stupeň 6 neexistují žádné vrcholové formy závaží 0, 2, 4, 6, 8. Prostor modulárních forem váhy Siegel o hmotnosti 2 má rozměr 0 a prostor závaží 4 nebo 6 má rozměr 1.

Úroveň 1, malá hmotnost

Pro malé váhy a úroveň 1, Duke & Imamoḡlu (1998) uveďte následující výsledky (pro jakýkoli kladný stupeň):

• Váha 0: Prostor formulářů je 1-rozměrný, překlenutý o 1.
• Hmotnost 1: Jediná modulární forma Siegel je 0.
• Hmotnost 2: Jediná modulární forma Siegel je 0.
• Hmotnost 3: Jediná modulární forma Siegel je 0.
• Váha 4: Pro jakýkoli stupeň je prostor forem váhy 4 jednorozměrný, rozložený theta funkcí E₈ mříž (příslušného stupně). Jediný hrotový tvar je 0.
• Hmotnost 5: Jediná modulární forma Siegel je 0.
• Váha 6: Prostor forem váhy 6 má dimenzi 1, pokud je stupeň nejvýše 8, a dimenzi 0, pokud je stupeň alespoň 9. Jediný hrot je 0.
• Váha 7: Prostor hrotových forem zmizí, pokud je stupeň 4 nebo 7.
• Váha 8: V rodu 4 je prostor forem hrotů jednorozměrný, překlenutý Schottkyho forma a prostor forem je dvourozměrný. Pokud je rod 8, neexistují žádné hrotové formy.
• Neexistují žádné hrotové formy, pokud je rod větší než dvojnásobek hmotnosti.

Tabulka rozměrů prostorů modulárních forem Siegel úrovně 1

Následující tabulka kombinuje výše uvedené výsledky s informacemi z Chudák a Yuen (2006) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFPoorYuen2006 (Pomoc) a Chenevier & Lannes (2014) a Taïbi (2014).

Koecherův princip

Věta známá jako Koecherův princip uvádí, že pokud ${displaystyle f}$ je modulární forma hmotnosti Siegel ${displaystyle ho}$, úroveň 1 a stupeň ${displaystyle g> 1}$, pak ${displaystyle f}$ je omezen na podmnožiny ${displaystyle {mathcal {H}} _ {g}}$ formuláře

${displaystyle left {au in {mathcal {H}} _ {g} | {extrm {Im}} (au)> epsilon I_ {g} ight},}$

kde ${displaystyle epsilon> 0}$. Důsledkem této věty je skutečnost, že Siegel modulární formy stupně ${displaystyle g> 1}$ mít Fourierovy expanze a jsou tak holomorfní v nekonečnu.^[1]

Aplikace ve fyzice

V systému D1D5P z supersymetrické černé díry v teorii strun je funkce, která přirozeně zachycuje mikrostavy entropie černé díry, modulární forma Siegel.^[2] Obecně bylo popsáno, že modulární formy Siegel mají potenciál popsat černé díry nebo jiné gravitační systémy.^[2]

Modulární formy Siegel mají také využití jako generující funkce pro rodiny CFT2 se zvyšujícím se centrálním nabíjením teorie konformního pole, zejména hypotetické Korespondence AdS / CFT.^[3]

Reference

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Vytváří automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier, arXiv:1409.7616, Bibcode:2014arXiv1409.7616C
• Duke, W .; Imamoḡlu, Ö. (1998), „Siegel modulární formy malé hmotnosti“, Matematika. Ann., 310 (1): 73–82, doi:10,1007 / s002080050137, PAN  1600030
• Freitag, E. (1983), Siegelsche ModulfunktionenGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 254. Springer-Verlag, Berlín, doi:10.1007/978-3-642-68649-8, ISBN  978-3-540-11661-5, PAN  0871067
• van der Geer, Gerard (2008), „Siegel modulární formy a jejich aplikace“, 1-2-3 modulárních forem, 181–245, Universitext, Berlín: Springer, s. 181–245, arXiv:matematika / 0605346, doi:10.1007/978-3-540-74119-0_3, ISBN  978-3-540-74117-6, PAN  2409679
• Igusa, Jun-ichi (1962), „On Siegel modulární formy rodu dva“, Amer. J. Math., 84 (1): 175–200, doi:10.2307/2372812, JSTOR  2372812, PAN  0141643
• Klingen, Helmut (2003), Úvodní přednášky o modulárních formulářích Siegel, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-35052-5
• Siegel, Carl Ludwig (1939), „Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades“, Matematika. Ann., 116: 617–657, doi:10.1007 / bf01597381, PAN  0001251
• Taïbi, Olivier (2014), Rozměry prostorů první úrovně automorfních forem pro rozdělení klasických skupin pomocí trasovacího vzorce, arXiv:1406.4247, Bibcode:2014arXiv1406.4247T
• Tsuyumine, Shigeaki (1986), „On Siegel modular forms of degree three“, Amer. J. Math., 108 (4): 755–862, doi:10.2307/2374517, JSTOR  2374517, PAN  0853217