Majetek Baire - Property of Baire

A podmnožina ${ displaystyle A}$ a topologický prostor ${ displaystyle X}$ má majetek Baire (Vlastnost Baire, pojmenoval podle René-Louis Baire ), nebo se nazývá an téměř otevřené sada, pokud se liší od souboru otevřená sada podle a hubená sada; tj. pokud existuje otevřená sada ${ displaystyle U subseteq X}$ takhle ${ displaystyle A bigtriangleup U}$ je hubený (kde ${ displaystyle bigtriangleup}$ označuje symetrický rozdíl ).^[1] Dále, ${ displaystyle A}$ má Vlastnost Baire v omezeném smyslu pokud pro každou podmnožinu ${ displaystyle E}$ z ${ displaystyle X}$ křižovatka ${ displaystyle A cap E}$ má vlastnost Baire vzhledem k ${ displaystyle E}$ . ^[2]

Rodina sad s majetkem Baire tvoří a σ-algebra. Toto je doplněk téměř otevřené sady je téměř otevřená a jakákoli počitatelný svaz nebo průsečík téměř otevřených sad je opět téměř otevřený.^[1] Protože každá otevřená množina je téměř otevřená (prázdná množina je hubená), vyplývá z toho každá Sada Borel je téměř otevřený.

Pokud podmnožina a Polský prostor má vlastnost Baire, pak její odpovídající Hra Banach – Mazur je odhodlaný. Konverzace nedrží; pokud však každá hra v dané adekvátní bodová třída Γ je určeno, pak každý set in Γ má majetek Baire. Z toho tedy vyplývá z projektivní rozhodnost, což vyplývá z dostatečného velcí kardinálové, že každý projektivní sada (v polském prostoru) má majetek Baire.^[3]

Vyplývá to z axiom volby že existují sady realita bez majetku Baire. Zejména Sada Vitali nemá majetek Baire.^[4] Postačují již slabší verze výběru: Booleova primární věta o ideálu znamená, že existuje nonprincipal ultrafiltr na množině přirozená čísla; každý takový ultrafiltr indukuje prostřednictvím binárních reprezentací realů množinu realů bez vlastnosti Baire.^[5]

Viz také

Věta o kategorii Baire

Reference

^ ^A ^b Oxtoby, John C. (1980), „4. Majetek Baire“, Měření a kategorie, Postgraduální texty z matematiky, 2 (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
^ Kuratowski, Kazimierz (1966), Topologie. Sv. 1, Academic Press a polští vědečtí vydavatelé.
^ Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), Popisná teorie množin akcí polských skupin, Série přednášek London Mathematical Society, 232, Cambridge University Press, Cambridge, str. 69, doi:10.1017 / CBO9780511735264, ISBN 0-521-57605-9, PAN 1425877.
^ Oxtoby (1980), str. 22.
^ Blass, Andreasi (2010), „Ultrafiltry a teorie množin“, Ultrafiltry napříč matematikou, Současná matematika, 530„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 49–71, doi:10.1090 / conm / 530/10440, PAN 2757533. Viz zejména str. 64.

externí odkazy

Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property

[oxtoby-1] A ^b Oxtoby, John C. (1980), „4. Majetek Baire“, Měření a kategorie, Postgraduální texty z matematiky, 2 (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.

[2] Kuratowski, Kazimierz (1966), Topologie. Sv. 1, Academic Press a polští vědečtí vydavatelé.

[3] Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), Popisná teorie množin akcí polských skupin, Série přednášek London Mathematical Society, 232, Cambridge University Press, Cambridge, str. 69, doi:10.1017 / CBO9780511735264, ISBN 0-521-57605-9, PAN 1425877.

[4] Oxtoby (1980), str. 22.

[5] Blass, Andreasi (2010), „Ultrafiltry a teorie množin“, Ultrafiltry napříč matematikou, Současná matematika, 530„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 49–71, doi:10.1090 / conm / 530/10440, PAN 2757533. Viz zejména str. 64.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]