Hyperplán v nekonečnu - Hyperplane at infinity
v geometrie, jakýkoli nadrovina H a projektivní prostor P lze brát jako a nadrovina v nekonečnu. Pak sada doplňků P ∖ H se nazývá afinní prostor. Například pokud (X1, ..., Xn, Xn+1) jsou homogenní souřadnice pro n-dimenzionální projektivní prostor, pak rovnice Xn+1 = 0 definuje hyperplán v nekonečnu pro n-rozměrný afinní prostor se souřadnicemi (X1, ..., Xn). H se také nazývá ideální nadrovina.
Podobně počínaje afinním prostorem A, každá třída paralelní řádky mohou být spojeny s a bod v nekonečnu. The svaz přes všechny třídy rovnoběžek tvoří body nadroviny v nekonečnu. Sousedící s body této nadroviny (tzv ideální body) až A převede jej na n-dimenzionální projektivní prostor, například skutečný projektivní prostor RPn.
Přidáním těchto ideálních bodů získáte celý afinní prostor A je dokončena do projektivního prostoru P, které lze nazvat projektivní dokončení z A. Každý afinní podprostor S z A je dokončen do a projektivní podprostor z P přidáním do S všechny ideální body odpovídající směrům přímek obsažených v S. Výsledné projektivní podprostory se často nazývají afinní podprostory projektivního prostoru P, na rozdíl od nekonečný nebo ideál podprostory, které jsou podprostory nadroviny v nekonečnu (jsou to však projektivní prostory, nikoli afinní prostory).
V projektivním prostoru každý projektivní podprostor dimenze k protíná ideální nadrovinu v projektivním podprostoru „v nekonečnu“, jehož rozměr je k − 1.
Dvojice ne-paralelní afinní hyperplány se protínají v afinním podprostoru dimenze n − 2, ale paralelní dvojice afinních hyperplánů se protíná v projektivním podprostoru ideální nadroviny (průsečík leží na ideální nadrovina). Paralelní hyperplány, které se nesetkaly v afinním prostoru, se tedy protínají v projektivním dokončení v důsledku přidání nadroviny v nekonečnu.
Viz také
Reference
- Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projektivní geometrie: Od základů po aplikace, str. 27, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1 .