Rozkládá se - Wolds decomposition - Wikipedia

v matematika, zejména v teorie operátorů, Wold rozklad nebo Wold – von Neumannův rozklad, pojmenoval podle Herman Wold a John von Neumann, je klasifikační věta pro izometrické lineární operátory na dané Hilbertův prostor. Uvádí, že každá izometrie je přímým součtem kopií jednostranný posun a a nečleněný operátor.

v analýza časových řad, věta znamená, že jakýkoli stacionární diskrétní čas stochastický proces lze rozložit na dvojici nekorelovaných procesů, jeden je deterministický a druhý je a proces klouzavého průměru.

Detaily

Nechat H být Hilbertovým prostorem, L(H) být omezenými operátory na H, a PROTI ∈ L(H) být izometrií. The Wold rozklad uvádí, že každá izometrie PROTI má formu

${ displaystyle V = ( oplus _ { alfa v A} S) oplus U}$

pro nějakou sadu indexů A, kde S je jednostranný posun v Hilbertově prostoru H_α, a U je unitární operátor (možná vakuový). Rodina {H_α} se skládá z izomorfních Hilbertových prostorů.

Důkaz lze načrtnout následovně. Postupné aplikace PROTI dát sestupné sekvence kopií H isomorfně vložené do sebe:

${ displaystyle H = H supset V (H) supset V ^ {2} (H) supset cdots = H_ {0} supset H_ {1} supset H_ {2} supset cdots,}$

kde PROTI(H) označuje rozsah PROTI. Výše definované H_i = PROTIⁱ(H). Pokud jeden definuje

${ displaystyle M_ {i} = H_ {i} ominus H_ {i + 1} = V ^ {i} (H ominus V (H)) quad { text {pro}} quad i geq 0 ;,}$

pak

${ displaystyle H = ( oplus _ {i geq 0} M_ {i}) oplus ( cap _ {i geq 0} H_ {i}) = K_ {1} oplus K_ {2}.}$

Je jasné že K.₁ a K.₂ jsou neměnné podprostory PROTI.

Tak PROTI(K.₂) = K.₂. Jinými slovy, PROTI omezeno na K.₂ je surjektivní izometrie, tj. unitární operátor U.

Navíc každý M_i je isomorfní s jinou, s PROTI být izomorfismem mezi M_i a M_i+1: PROTI "směny" M_i na M_i+1. Předpokládejme rozměr každého z nich M_i je nějaké základní číslo α. Vidíme to K.₁ lze zapsat jako přímý součet Hilbertových prostorů

${ displaystyle K_ {1} = oplus H _ { alpha}}$

kde každý H_α je neměnný podprostor o PROTI a PROTI omezeno na každého H_α je jednostranný posun S. Proto

${ displaystyle V = V vert _ {K_ {1}} oplus V vert _ {K_ {2}} = ( oplus _ { alpha v A} S) oplus U,}$

což je Woldův rozklad PROTI.

Poznámky

Z Woldova rozkladu je to okamžité spektrum jakékoli vlastní, tj. nečleněné, izometrie je jednotkový disk v komplexní rovině.

Izometrie PROTI se říká, že je čistý pokud v zápisu výše uvedeného důkazu ∩_i≥0 H_i = {0}. The multiplicita čisté izometrie PROTI je rozměr jádra PROTI*, tj. mohutnost sady indexů A ve Woldově rozkladu PROTI. Jinými slovy, čistá izometrie mnohosti N má formu

${ displaystyle V = oplus _ {1 leq alpha leq N} S.}$

V této terminologii Woldův rozklad vyjadřuje izometrii jako přímý součet čisté izometrie a jednotného operátoru.

Podprostor M se nazývá a putující podprostor z PROTI -li PROTIⁿ(M) ⊥ PROTI^m(M) pro všechny n ≠ m. Zejména každý M_i výše definovaný je putující podprostor oPROTI.

Posloupnost izometrií

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2008)

Výše uvedený rozklad lze zobecnit na posloupnost izometrií indexovaných celými čísly.

C * -algebra generovaná izometrií

Zvažte izometrii PROTI ∈ L(H). Označit podle C*(PROTI) C * -algebra generováno uživatelem PROTI, tj. C*(PROTI) je normální uzavření polynomů v PROTI a PROTI*. Na charakterizaci lze použít Woldův rozklad C*(PROTI).

Nechat C(T) být spojité funkce na jednotkovém kruhu T. Připomínáme si, že C * -algebra C*(S) generovaný jednostranným posunem S má následující podobu

C*(S) = {T_F + K. | T_F je Operátor Toeplitz se spojitým symbolem F ∈ C(T) a K. je kompaktní operátor }.

V této identifikaci S = T_z kde z je funkce identity v C(T). Algebra C*(S) se nazývá Toeplitzova algebra.

Věta (Coburn) C*(PROTI) je izomorfní s Toeplitzovou algebrou a PROTI je izomorfní obraz T_z.

Důkaz závisí na spojení s C(T), v popisu Toeplitzovy algebry a že spektrum jednotného operátoru je obsaženo v kruhu T.

Budou zapotřebí následující vlastnosti Toeplitzovy algebry:

1. ${ displaystyle T_ {f} + T_ {g} = T_ {f + g}. ,}$
2. ${ displaystyle T_ {f} ^ {*} = T _ { bar {f}}.}$
3. Polokomutátor ${ displaystyle T_ {f} T_ {g} -T_ {fg} ,}$ je kompaktní.

Woldův rozklad to říká PROTI je přímý součet kopií T_z a pak nějaký unitární U:

${ displaystyle V = ( oplus _ { alpha v A} T_ {z}) oplus U.}$

Vyvoláváme tedy spojitý funkční počet F → F(U) a definovat

${ displaystyle Phi: C ^ {*} (S) rightarrow C ^ {*} (V) quad { text {by}} quad Phi (T_ {f} + K) = oplus _ { alpha in A} (T_ {f} + K) oplus f (U).}$

Nyní lze ověřit, že Φ je izomorfismus, který mapuje jednostranný posun k PROTI:

Podle vlastnosti 1 výše je linear lineární. Mapa Φ je injektivní, protože T_F není kompaktní pro nenulovou hodnotu F ∈ C(T) a tudíž T_F + K. = 0 znamená F = 0. Protože rozsah Φ je C * -algebra, Φ je surjektivní o minimu C*(PROTI). Vlastnost 2 a spojitý funkční počet zajišťují, že Φ zachovává operaci *. Vlastnost semicommutator nakonec ukazuje, že Φ je multiplikativní. Věta proto platí.

Reference

• Coburn, L. (1967). „C * -algebra izometrie“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 73 (5): 722–726. doi:10.1090 / S0002-9904-1967-11845-7.
• Constantinescu, T. (1996). Schurovy parametry, faktorizace a dilatační problémy. Teorie operátora, pokroky a aplikace. 82. Birkhäuser. ISBN  3-7643-5285-X.
• Douglas, R. G. (1972). Techniky Banachovy algebry v teorii operátora. Akademický tisk. ISBN  0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Hardyho třídy a teorie operátorů. Oxford University Press. ISBN  0-19-503591-7.