Toeplitzova algebra - Toeplitz algebra

v operátorské algebry, Toeplitzova algebra je C * -algebra generované jednostranný posun na Hilbertův prostor l²(N).^[1] Brát l²(N) být Hardy prostor H², Toeplitzova algebra se skládá z prvků formuláře

${displaystyle T_ {f} + K;}$

kde T_F je Operátor Toeplitz se spojitým symbolem a K. je kompaktní operátor.

Operátoři Toeplitz se spojitými symboly dojíždějí modulováním kompaktních operátorů. Takže Toeplitzovu algebru lze kompaktními operátory považovat za rozšíření C * -algebry spojitých funkcí v kruhu. Tato přípona se nazývá Toeplitz rozšíření.

Podle Atkinsonova věta, prvek Toeplitzovy algebry T_F + K. je Operátor Fredholm právě tehdy, když symbol F z T_F je invertibilní. V takovém případě je Fredholmův index T_F + K. je přesně to číslo vinutí z F, třída ekvivalence F v základní skupina kruhu. Toto je zvláštní případ Atiyah-Singerova věta o indexu.

Wold rozklad charakterizuje správné izometrie působící na Hilbertově prostoru. Z toho, společně s vlastnostmi Toeplitzových operátorů, lze usoudit, že Toeplitzova algebra je univerzální C * -algebra generované vlastní izometrií; tohle je Coburnova věta.

Reference