Princip dirichletů - Dirichlets principle - Wikipedia

v matematika, a to zejména v teorie potenciálu, Dirichletův princip je předpoklad, že minimalizátor určitého energie funkční je řešením Poissonova rovnice.

Formální prohlášení

Dirichletův princip uvádí, že pokud je funkce ${ displaystyle u (x)}$ je řešením Poissonova rovnice

{ displaystyle Delta u + f = 0}

na doména ${ displaystyle Omega}$ z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ s okrajová podmínka

{ displaystyle u = g { text {on}} částečné Omega,}

pak u lze získat jako minimalizátor Dirichletova energie

{ displaystyle E [v (x)] = int _ { Omega} vlevo ({ frac {1} {2}} | nabla v | ^ {2} -vf right) , mathrm { d} x}

mezi všemi dvakrát rozlišitelnými funkcemi ${ displaystyle v}$ takhle ${ displaystyle v = g}$ na ${ displaystyle částečné Omega}$ (za předpokladu, že existuje alespoň jedna funkce, která dělá Dirichletův integrál konečný). Tento koncept je pojmenován po německém matematikovi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Dějiny

Vzhledem k tomu, že Dirichletův integrál je ohraničen zdola, existuje existence infimum je zaručeno. To, že je dosaženo tohoto infimu, bylo považováno za samozřejmost Riemann (kdo vytvořil tento termín Dirichletův princip) a další do Weierstrass uvedl příklad funkce, která nedosahuje svého minima. Hilbert později odůvodnil Riemannovo použití Dirichletova principu přímá metoda v variačním počtu.

Viz také

Reference

Courant, R. (1950), Dirichletův princip, konformní mapování a minimální povrchy. Dodatek M. Schiffera, Mezivědní
Lawrence C. Evans (1998), Parciální diferenciální rovniceAmerická matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0772-9
Weisstein, Eric W. „Dirichletův princip“. MathWorld.