Spektrální sekvence Eilenberg – Moore - Eilenberg–Moore spectral sequence

v matematika, v oblasti algebraická topologie, Spektrální sekvence Eilenberg – Moore řeší výpočet homologické skupiny a zarazit přes fibrace. The spektrální sekvence formuluje výpočet ze znalosti homologie zbývajících prostorů. Samuel Eilenberg a John C. Moore Originální papír to řeší pro singulární homologie.

Motivace

Nechat ${displaystyle k}$ být pole a nechte ${displaystyle H_ {ast} (-) = H_ {ast} (-, k)}$ a ${displaystyle H ^ {ast} (-) = H ^ {ast} (-, k)}$označit singulární homologie a singulární kohomologie s koeficienty v k, resp.

Zvažte následující pullback ${displaystyle E_ {f}}$ spojité mapy p:

${displaystyle {egin {array} {c c c} E_ {f} & ightarrow & E downarrow && downarrow {p} X & ightarrow _ {f} & B end {array}}}$

Častou otázkou je, jak homologie vláknového produktu, ${displaystyle E_ {f}}$, se týká homologie B, X a E. Například pokud B je bod, pak je pullback jen obvyklým produktem ${displaystyle E imes X}$. V tomto případě Künneth vzorec říká

${displaystyle H ^ {*} (E_ {f}) = H ^ {*} (X je E) cong H ^ {*} (X) často _ {k} H ^ {*} (E).}$

Tento vztah však není pravdivý v obecnějších situacích. Spektrální sekvence Eilenberg-Moore je zařízení, které v určitých situacích umožňuje výpočet (ko) homologie vláknového produktu.

Tvrzení

Spektrální sekvence Eilenberg-Moore zobecňují výše uvedený izomorfismus na situaci, kdy p je fibrace topologických prostorů a základny B je jednoduše připojeno. Pak existuje konvergentní spektrální sekvence s

${displaystyle E_ {2} ^ {ast, ast} = {ext {Tor}} _ {H ^ {ast} (B)} ^ {ast, ast} (H ^ {ast} (X), H ^ {ast } (E)) Rightarrow H ^ {ast} (E_ {f}).}$

Jedná se o zobecnění, pokud jde o nulu Tor funktor je pouze tenzorový produkt a ve výše uvedeném zvláštním případě cohomologie bodu B je jen pole koeficientu k (ve stupni 0).

Duálně máme následující spektrální sekvenci homologie:

${displaystyle E_ {ast, ast} ^ {2} = {ext {Cotor}} _ {ast, ast} ^ {H_ {ast} (B)} (H_ {ast} (X), H_ {ast} (E )) Rightarrow H_ {ast} (E_ {f}).}$

Údaje na dokladu

Spektrální sekvence vychází ze studia rozdíl odstupňovaný předměty (řetězové komplexy ), ne mezery. Následující text pojednává o původní homologické konstrukci Eilenberga a Moora. Případ kohomologie je získán podobným způsobem.

Nechat

${displaystyle S_ {ast} (-) = S_ {ast} (-, k)}$

být singulární řetězec funktor s koeficienty v ${displaystyle k}$. Podle Eilenberg – Zilberova věta, ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ má diferencovaný stupeň uhlígebra struktura skončila ${displaystyle k}$ se strukturálními mapami

${displaystyle S_ {ast} (B) {xrightarrow {riangle}} S_ {ast} (B imes B) {xrightarrow {simeq}} S_ {ast} (B) často S_ {ast} (B).}$

Z hlediska země se mapa přiřadí k singulárnímu řetězci s: Δⁿ → B složení s a diagonální inkluze B ⊂ B × B. Podobně mapy ${displaystyle f}$ a ${displaystyle p}$ vyvolat mapy diferenciálně odstupňovaných uhelných uhlí

${displaystyle f_ {ast} dvojtečka S_ {ast} (X) ightarrow S_ {ast} (B)}$, ${displaystyle p_ {ast} dvojtečka S_ {ast} (E) ightarrow S_ {ast} (B)}$.

V jazyce komodule, obdařují ${displaystyle S_ {ast} (E)}$ a ${displaystyle S_ {ast} (X)}$ s diferenciálně odstupňovanými strukturami modulů ${displaystyle S_ {ast} (B)}$, se strukturními mapami

${displaystyle S_ {ast} (X) {xrightarrow {riangle}} S_ {ast} (X) otimes S_ {ast} (X) {xrightarrow {f_ {ast} otimes 1}} S_ {ast} (B) otimes S_ {ast} (X)}$

a podobně pro E namísto X. Nyní je možné postavit tzv rozlišení tyče pro

${displaystyle S_ {ast} (X)}$

jako diferenciál odstupňovaný ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ modul. Rozlišení cobaru je standardní technikou diferenciální homologické algebry:

${displaystyle {mathcal {C}} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) = cdots {xleftarrow {delta _ {2}}} {mathcal {C}} _ ​​{- 2} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) {xleftarrow {delta _ {1}}} {mathcal {C}} _ ​​{- 1} (S_ {ast} (X), S_ {ast} ( B)) {xleftarrow {delta _ {0}}} S_ {ast} (X) často S_ {ast} (B),}$

Kde n-tý termín ${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{- n}}$ je dána

${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{- n} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) = S_ {ast} (X) otimes underbrace {S_ {ast} (B) otimes cdots další S_ {ast} (B)} _ {n} další S_ {ast} (B).}$

Mapy ${displaystyle delta _ {n}}$ jsou dány

${displaystyle lambda _ {f} další cdots další 1 + součet _ {i = 2} ^ {n} 1 krát cdots další časy riangle _ {i} další cdots další časy 1,}$

kde ${displaystyle lambda _ {f}}$ je mapa struktury pro ${displaystyle S_ {ast} (X)}$ jako levice ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ modul.

Rozlišení cobaru je a dvojkomplex, jeden stupeň pocházející z třídění řetězových komplexů S_∗(-), druhým je zjednodušený stupeň n. The celkový komplex je označen dvojkomplex ${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet}}$.

Souvislost výše uvedené algebraické konstrukce s topologickou situací je následující. Za výše uvedených předpokladů existuje mapa

${displaystyle Theta colon mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E) ightarrow S_ {ast} (E_ {f} , k)}$

který vyvolává a kvazi-izomorfismus (tj. vyvolání izomorfismu na homologických skupinách)

${displaystyle Theta _ {ast} dvojtečka operatorname {Cotor} ^ {S_ {ast} (B)} (S_ {ast} (X) S_ {ast} (E)) ightarrow H_ {ast} (E_ {f}), }$

kde ${displaystyle Box _ {S_ {ast} (B)}}$ je kotensorový produkt a Cotor (cotorsion) jeodvozený funktor pro kotensor produkt.

Vypočítat

${displaystyle H_ {ast} (mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E))}$,

Pohled

${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E)}$

jako dvojitý komplex.

Pro každý dvojkomplex existují dva filtrace (viz John McCleary (2001 ) nebo spektrální sekvence filtrovaného komplexu); v tomto případě je spektrální sekvence Eilenberg-Moore výsledkem filtrování zvýšením homologického stupně (podle sloupců na standardním obrázku spektrální sekvence). Tato filtrace poskytuje

${displaystyle E ^ {2} = operatorname {Cotor} ^ {H_ {ast} (B)} (H_ {ast} (X), H_ {ast} (E)).}$

Tyto výsledky byly vylepšeny různými způsoby. Například, William G. Dwyer  (1975 ) zpřesnil výsledky konvergence tak, aby zahrnoval mezery, pro které

${displaystyle pi _ {1} (B)}$

činy nilpotentně na

${displaystyle H_ {i} (E_ {f})}$

pro všechny ${displaystyle igeq 0}$a Brooke Shipley  (1996 ) dále to zobecnilo, aby zahrnovalo libovolné zpětné získávání.

Původní konstrukce se nehodí pro výpočty s jinými teoriemi homologie, protože není důvod očekávat, že by takový proces fungoval pro teorii homologie, která není odvozena z řetězových komplexů. Je však možné axiomatizovat výše uvedený postup a stanovit podmínky, za kterých výše uvedená spektrální sekvence platí pro obecnou (ko) homologickou teorii, viz původní práce Larryho Smitha (Smith 1970 ) nebo úvod do (Hatcher 2002 ).

Reference

• Dwyer, William G. (1975), „Exotická konvergence spektrální sekvence Eilenberg – Moore“, Illinois Journal of Mathematics, 19 (4): 607–617, ISSN  0019-2082, PAN  0383409
• Eilenberg, Samuel; Moore, John C. (1962), "Limity a spektrální sekvence", Topologie. International Journal of Mathematics, 1 (1): 1–23, doi:10.1016/0040-9383(62)90093-9
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-79540-1
• McCleary, John (2001), „Kapitoly 7 a 8: Eilenbergova-Moorova spektrální sekvence I a II“, Uživatelská příručka ke spektrálním sekvencím, Cambridge studia pokročilé matematiky, 58, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-56759-6
• Shipley, Brooke E. (1996), „Konvergence homologické spektrální sekvence kosimplicitního prostoru“, American Journal of Mathematics, 118 (1): 179–207, CiteSeerX  10.1.1.549.661, doi:10.1353 / ajm.1996.0004
• Smith, Larry (1970), Přednášky o spektrálním sledu Eilenberg - MoorePřednášky z matematiky, 134, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0275435

Další čtení

• Allen Hatcher, Spectral Sequences in Algebraic Topology, Ch 3. Eilenberg – MacLane Spaces [1]