Stirlingovy polynomy - Stirling polynomials - Wikipedia

v matematika, Stirlingovy polynomy jsou rodina polynomy které zobecňují důležité posloupnosti čísel objevujících se v kombinatorika a analýza, které úzce souvisí s Stirlingova čísla, Bernoulliho čísla a zobecněný Bernoulliho polynomy. Existuje několik variant Stirlingův polynom posloupnost uvažovaná níže, zejména včetně Shefferova sekvence forma sekvence, ${ displaystyle S_ {k} (x)}$ , definovaný charakteristicky prostřednictvím speciální formy své exponenciální generující funkce, a Stirlingovy (konvoluční) polynomy, ${ displaystyle sigma _ {n} (x)}$ , které také splňují charakteristiku obyčejný generující funkce a které se používají při zobecňování Stirlingova čísla (obou druhů) na libovolné komplex -hodnotené vstupy. Považujeme „konvoluční polynom"varianta této sekvence a její vlastnosti na druhém místě v poslední podsekci článku. Ještě další varianty Stirlingových polynomů jsou studovány v doplňkových odkazech na články uvedené v odkazech.

Definice a příklady

Pro nezáporné celá čísla kStirlingovy polynomy, S_k(X), plocha Shefferova sekvence pro ${ displaystyle (g (t), { bar {f}} (t)): = left (e ^ {- t}, log left ({ frac {t} {1-e ^ {- t}}} doprava) doprava)}$ ^[1] definovaný exponenciální generující funkcí

{ displaystyle left ({t over {1-e ^ {- t}}} right) ^ {x + 1} = sum _ {k = 0} ^ { infty} S_ {k} (x ) {t ^ {k} nad k!}.}

Stirlingovy polynomy jsou zvláštním případem Nørlundovy polynomy (nebo zobecněné Bernoulliho polynomy ) ^[2] každý s funkcí exponenciálního generování

{ displaystyle left ({t over {e ^ {t} -1}} right) ^ {a} e ^ {zt} = sum _ {k = 0} ^ { infty} B_ {k} ^ {(a)} (z) {t ^ {k} nad k!},}

dané vztahem ${ displaystyle S_ {k} (x) = B_ {k} ^ {(x + 1)} (x + 1)}$ .

Prvních 10 Stirlingových polynomů je uvedeno v následující tabulce:

{ displaystyle { begin {array} {r | l} k & S_ {k} (x) hline 0 & 1 1 & { scriptstyle { frac {1} {2}}} (x + 1) 2 & { scriptstyle { frac {1} {12}}} (3x ^ {2} + 5x + 2) 3 & { scriptstyle { frac {1} {8}}} (x ^ {3} + 2x ^ {2} + x) 4 & { scriptstyle { frac {1} {240}}} (15x ^ {4} + 30x ^ {3} + 5x ^ {2} -18x-8) 5 & ​​{ scriptstyle { frac {1} {96}}} (3x ^ {5} + 5x ^ {4} -5x ^ {3} -13x ^ {2} -6x) 6 & { scriptstyle { frac {1} {4032}}} (63x ^ {6} + 63x ^ {5} -315x ^ {4} -539x ^ {3} -84x ^ {2} + 236x + 96) 7 & { scriptstyle { frac {1} {1152}}} (9x ^ {7} -84x ^ {5} -98x ^ {4} + 91x ^ {3} + 194x ^ {2} + 80x) 8 & { scriptstyle { frac {1} {34560}}} (135x ^ {8} -180x ^ {7} -1890x ^ {6} -840x ^ {5} + 6055x ^ {4} + 8140x ^ {3} + 884x ^ {2} -3088x-1152) 9 & { scriptstyle { frac {1} {7680}}} (15x ^ {9} -45x ^ {8} -270x ^ {7} + 182x ^ {6} + 1687x ^ {5} + 1395x ^ {4} -1576x ^ {3} -2684x ^ {2} -1008x) end {pole}}}

Ještě další varianta Stirlingových polynomů je uvažována v ^[3] (viz také pododdíl o Stirlingovy konvoluční polynomy níže). Článek I. Gessela a R. P. Stanleye zejména definuje modifikované Stirlingovy polynomické sekvence, ${ displaystyle f_ {k} (n): = S (n + k, n)}$ a ${ displaystyle g_ {k} (n): = c (n, n-k)}$ kde ${ displaystyle c (n, k): = (- 1) ^ {n-k} s (n, k)}$ jsou nepodepsaný Stirlingova čísla prvního druhu, pokud jde o tyto dva Stirlingovo číslo trojúhelníky pro nezáporná celá čísla ${ displaystyle n geq 1, k geq 0}$ . Pro pevné ${ displaystyle k geq 0}$ , oba ${ displaystyle f_ {k} (n)}$ a ${ displaystyle g_ {k} (n)}$ jsou polynomy vstupu ${ displaystyle n in mathbb {Z} ^ {+}}$ každý stupeň ${ displaystyle 2k}$ as předstihovým koeficientem daným dvojitý faktoriál období ${ displaystyle (1 cdot 3 cdot 5 cdots (2k-1)) / (2k)!}$ .

Vlastnosti

Níže ${ displaystyle B_ {k} (x)}$ označit Bernoulliho polynomy a ${ displaystyle B_ {k} = B_ {k} (0)}$ the Bernoulliho čísla podle úmluvy ${ displaystyle B_ {1} = B_ {1} (0) = - { tfrac {1} {2}};}$ ${ displaystyle s_ {m, n}}$ označuje a Stirlingovo číslo prvního druhu; a ${ displaystyle S_ {m, n}}$ označuje Stirlingova čísla druhého druhu.

Speciální hodnoty:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} S_ {k} (- m) & = { frac {(-1) ^ {k}} {k + m-1 zvolit k}} S_ {k + m-1 , m-1} && 0

Li ${ displaystyle m in mathbb {Z}}$ a ${ displaystyle m geq n}$ pak:^[4]

{ displaystyle S_ {n} (m) = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {(m + 1)} (0),}

a:

{ displaystyle S_ {n} (m) = {(- 1) ^ {n} nad {m zvolit n}} s_ {m + 1, m + 1-n}.}

Sekvence ${ displaystyle S_ {k} (x-1)}$ je z binomický typ, od té doby

{ displaystyle S_ {k} (x + y-1) = součet _ {i = 0} ^ {k} {k zvolit i} S_ {i} (x-1) S_ {ki} (y-1 ).}

Navíc tato základní rekurze platí:

{ displaystyle S_ {k} (x) = (x-k) {S_ {k} (x-1) nad x} + kS_ {k-1} (x + 1).}

Explicitní reprezentace zahrnující Stirlingova čísla lze odvodit pomocí Lagrangeův interpolační vzorec:

{ displaystyle { begin {aligned} S_ {k} (x) & = sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kn} S_ {k + n, n} {{x + n zvolit n} {x + k + 1 zvolit kn} nad {k + n zvolit n}} [6 bodů] & = součet _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} s_ {k + n + 1, n + 1} {{xk zvolit n} {xkn-1 zvolit kn} přes {k + n zvolit k}} [6pt] & = k! sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} sum _ {m = j} ^ {k} {x + m zvolit m} {m zvolit j} L_ {k + m} ^ {(- kj)} (- j) [6pt] end {zarovnáno}}}

Tady,

{ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}

jsou Laguerrovy polynomy.

Platí také následující vztahy:

{ displaystyle {k + m zvolit k} S_ {k} (xm) = součet _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {ki} {k + m zvolit i} S_ {k -i + m, m} cdot S_ {i} (x),}

{ displaystyle {km zvolit k} S_ {k} (x + m) = součet _ {i = 0} ^ {k} {km zvolit i} s_ {m, m-k + i} cdot S_ {i} (x).}

Rozlišením generující funkce to snadno následuje

{ displaystyle S_ {k} ^ { prime} (x) = - součet _ {j = 0} ^ {k-1} {k zvolit j} S_ {j} (x) { frac {B_ { kj}} {kj}}.}

Stirlingovy konvoluční polynomy

Definice a příklady

Další varianta Stirlingovy polynomické sekvence odpovídá speciálnímu případu konvoluční polynomy studoval Knuthův článek ^[5] a v Konkrétní matematika odkaz. Nejprve definujeme tyto polynomy pomocí Stirlingova čísla prvního druhu tak jako

{ displaystyle sigma _ {n} (x) = left [{ begin {matrix} x xn end {matrix}} right] cdot { frac {1} {x (x-1) cdots (xn)}}.}

Z toho vyplývá, že tyto polynomy splňují další relaci opakování danou

{ Displaystyle (x + 1) sigma _ {n} (x + 1) = (xn) sigma _ {n} (x) + x sigma _ {n-1} (x), n geq 1.}

Tyto Stirling "konvoluce"polynomy mohou být použity k definování Stirlingových čísel, ${ displaystyle scriptstyle { left [{ begin {matrix} x x-n end {matrix}} right]}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { left {{ begin {matrix} x x-n end {matrix}} right }}}$ , pro celá čísla ${ displaystyle n geq 0}$ a libovolný komplexní hodnoty ${ displaystyle x}$ Následující tabulka poskytuje několik zvláštních případů těchto Stirlingových polynomů pro prvních pár ${ displaystyle n geq 0}$ .

{ displaystyle { begin {array} {r | c} n & sigma _ {n} (x) hline 0 & { frac {1} {x}} 1 & { frac {1} {2 }} 2 & { frac {3x-1} {24}} 3 & { frac {x ^ {2} -x} {48}} 4 & { frac {15x ^ {3} -30x ^ {2} + 5x + 2} {5760}} end {pole}}}

Generování funkcí

Tato varianta Stirlingovy polynomické sekvence má obzvlášť pěknou obyčejnost generující funkce z následujících forem:

{ displaystyle { begin {aligned} left ({ frac {ze ^ {z}} {e ^ {z} -1}} right) ^ {x} & = sum _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x) z ^ {n} vlevo ({ frac {1} {z}} ln { frac {1} {1-z}} vpravo) ^ {x } & = sum _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x + n) z ^ {n}. end {zarovnáno}}}

Obecněji, pokud ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {t} (z)}$ je výkonová řada, která uspokojí ${ displaystyle ln left (1-z { mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {t-1} right) = - z { mathcal {S}} _ {t} (z ) ^ {t}}$ , máme to

{ displaystyle { mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {x} = součet _ {n geq 0} x sigma _ {n} (x + tn) z ^ {n}.}

Máme také související identitu série ^[6]

{ displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n-1} sigma _ {n} (n-1) z ^ {n} = { frac {z} { ln (1 + z)}} = 1 + { frac {z} {2}} - { frac {z ^ {2}} {12}} + cdots,}

a Stirlingovy (Shefferovy) generační funkce související s polynomy dané

{ displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m cdot sigma _ {n} (nm) z ^ {n} = left ({ frac {z} { ln (1 + z)}} vpravo) ^ {m}}

{ displaystyle sum _ {n geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m cdot sigma _ {n} (m) z ^ {n} = left ({ frac {z} { 1-e ^ {- z}}} vpravo) ^ {m}.}

Vlastnosti a vztahy

Pro celá čísla ${ displaystyle 0 leq k leq n}$ a ${ displaystyle r, s in mathbb {C}}$ , tyto polynomy splňují dva Stirlingovy konvoluční vzorce dané

{ displaystyle (r + s) sigma _ {n} (r + s + tn) = rs součet _ {k = 0} ^ {n} sigma _ {k} (r + tk) sigma _ { nk} (s + t (nk))}

a

{ displaystyle n sigma _ {n} (r + s + tn) = s součet _ {k = 0} ^ {n} k sigma _ {k} (r + tk) sigma _ {nk} ( s + t (nk)).}

Když ${ displaystyle n, m in mathbb {N}}$ , máme také, že polynomy, ${ displaystyle sigma _ {n} (m)}$ , jsou definovány prostřednictvím jejich vztahů k Stirlingova čísla

{ displaystyle { begin {seřazeno} left {{ begin {matrix} n m end {matrix}} right } & = (- 1) ^ {n-m + 1} { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (- m) ({ text {when}} m <0) left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] & = { frac {n!} {(m-1)!}} sigma _ {nm} (n) ({ text {when}} m> n) , end {zarovnáno}}}

a jejich vztahy k Bernoulliho čísla dána

{ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma _ {n} (m) & = { frac {(-1) ^ {m + n-1}} {m! (nm)!}} součet _ { 0 leq k 0 sigma _ {n} (m) & = - { frac {B_ {n}} {n cdot n!}}, m = 0. end {zarovnáno}}}

Viz také

Reference

^ Viz část 4.8.8 Pupeční kalkul (1984), odkaz níže.
^ Vidět Norlundovy polynomy na MathWorld.
^ Gessel a Stanley (1978). "Stirlingovy polynomy". J. Combin. Theory Ser. A. 53: 24–33. doi:10.1016/0097-3165(78)90042-0.
^ Oddíl 4.4.8 Pupeční kalkul.
^ Knuth, D. E. (1992). "Konvoluční polynomy". Mathematica J. 2: 67–78. arXiv:matematika / 9207221. Bibcode:1992math ...... 7221K.Článek obsahuje definice a vlastnosti speciálu konvoluční polynom rodiny definované speciálními generujícími funkcemi formuláře ${ displaystyle F (z) ^ {x}}$ pro ${ displaystyle F (0) = 1}$ . Speciální případy těchto konvolučních polynomiálních sekvencí zahrnují binomické výkonové řady, ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {t} (z) = 1 + z { mathcal {B}} _ {t} (z) ^ {t}}$ , tzv stromové polynomy, Čísla zvonků, ${ displaystyle B (n)}$ a Laguerrovy polynomy. Pro ${ displaystyle F_ {n} (x): = [z ^ {n}] F (z) ^ {x}}$ , polynomy ${ displaystyle n! cdot F_ {n} (x)}$ se říká, že jsou z binomický typ, a navíc uspokojit vztah generující funkce ${ displaystyle { frac {zF_ {n} (x + tn)} {(x + tn)}} = [z ^ {n}] { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {x }}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {C}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} (z)}$ je implicitně definován a funkční rovnice formuláře ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} (z) = F vlevo (x { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {t} vpravo)}$ . Článek také pojednává o asymptotických aproximacích a metodách aplikovaných na polynomiální sekvence tohoto typu.
^ Oddíl 7.4 Konkrétní matematika.

Erdeli, A .; Magnus, W .; Oberhettinger, F. & Tricomi, F. G. Vyšší transcendentní funkce. Svazek III. New York.
Graham; Knuth a Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science.
S. Roman (1984). Pupeční kalkul.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Stirlingův polynom". MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Nørlund Polynomial“. MathWorld.
Tento článek včlení materiál od Stirlingova polynomu dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Viz část 4.8.8 Pupeční kalkul (1984), odkaz níže.

[2] Vidět Norlundovy polynomy na MathWorld.

[3] Gessel a Stanley (1978). "Stirlingovy polynomy". J. Combin. Theory Ser. A. 53: 24–33. doi:10.1016/0097-3165(78)90042-0.

[4] Oddíl 4.4.8 Pupeční kalkul.

[5] Knuth, D. E. (1992). "Konvoluční polynomy". Mathematica J. 2: 67–78. arXiv:matematika / 9207221. Bibcode:1992math ...... 7221K.Článek obsahuje definice a vlastnosti speciálu konvoluční polynom rodiny definované speciálními generujícími funkcemi formuláře ${ displaystyle F (z) ^ {x}}$ pro ${ displaystyle F (0) = 1}$ . Speciální případy těchto konvolučních polynomiálních sekvencí zahrnují binomické výkonové řady, ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {t} (z) = 1 + z { mathcal {B}} _ {t} (z) ^ {t}}$ , tzv stromové polynomy, Čísla zvonků, ${ displaystyle B (n)}$ a Laguerrovy polynomy. Pro ${ displaystyle F_ {n} (x): = [z ^ {n}] F (z) ^ {x}}$ , polynomy ${ displaystyle n! cdot F_ {n} (x)}$ se říká, že jsou z binomický typ, a navíc uspokojit vztah generující funkce ${ displaystyle { frac {zF_ {n} (x + tn)} {(x + tn)}} = [z ^ {n}] { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {x }}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {C}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} (z)}$ je implicitně definován a funkční rovnice formuláře ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} (z) = F vlevo (x { mathcal {F}} _ {t} (z) ^ {t} vpravo)}$ . Článek také pojednává o asymptotických aproximacích a metodách aplikovaných na polynomiální sekvence tohoto typu.

[6] Oddíl 7.4 Konkrétní matematika.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]