Metoda split-step - Split-step method

v numerická analýza, dělený krok (Fourier) metoda je pseudospektrální numerická metoda použitá k řešení nelineárního parciální diferenciální rovnice jako nelineární Schrödingerova rovnice. Název vzniká ze dvou důvodů. Nejprve se metoda spoléhá na výpočet řešení v malých krocích a zpracování lineárních a nelineárních kroků samostatně (viz níže). Zadruhé, je nutné Fourierova transformace tam a zpět, protože lineární krok je proveden v frekvenční doména zatímco nelineární krok je proveden v časová doména.

Příkladem použití této metody je oblast šíření světelných pulsů v optických vláknech, kde interakce lineárních a nelineárních mechanismů ztěžuje hledání obecných analytických řešení. Metoda děleného kroku však poskytuje numerické řešení problému. Další aplikací metody děleného kroku, která od roku 2010 získává hodně trakce, je simulace Kerrův frekvenční hřeben dynamika v optické mikrorezonátory.^[1][2][3] Relativní snadnost provádění Rovnice Lugiato – Lefever s rozumnými numerickými náklady, spolu s jeho úspěchem při reprodukci experimentálních spekter i při předvídání soliton chování v těchto mikrorezonátorech učinilo tuto metodu velmi populární.

Popis metody

Zvažte například nelineární Schrödingerova rovnice^[4]

${displaystyle {částečné A přes částečné z} = - {i eta _ {2} nad 2} {částečné ^ {2} A přes částečné t ^ {2}} + igamma | A | ^ {2} A = [{hat {D}} + {hat {N}}] A,}$

kde ${displaystyle A (t, z)}$ popisuje impulsní obálku v čase ${displaystyle t}$ v prostorové poloze ${displaystyle z}$. Rovnici lze rozdělit na lineární část,

${displaystyle {částečné A_ {D} nad částečným z} = - {i eta _ {2} nad 2} {částečné ^ {2} A nad částečným t ^ {2}} = {hat {D}} A,}$

a nelineární část,

${displaystyle {částečné A_ {N} nad částečným z} = igamma | A | ^ {2} A = {hat {N}} A.}$

Lineární i nelineární část mají analytická řešení, ale nelineární Schrödingerova rovnice obsahující obě části nemá obecné analytické řešení.

Pokud však jen „malý“ krok ${displaystyle h}$ je s sebou ${displaystyle z}$, pak lze tyto dvě části zpracovat samostatně pouze s „malou“ numerickou chybou. Jeden proto může nejprve udělat malý nelineární krok,

${displaystyle A_ {N} (t, z + h) = exp vlevo [igamma | A (t, z) | ^ {2} výška] A (t, z),}$

pomocí analytického roztoku. Všimněte si, že to odpovídá ${displaystyle | A (z) | ^ {2} = konst.}$ a následně ${displaystyle gamma in mathbb {R}}$.

Disperzní krok má analytické řešení v frekvenční doména, takže je nejprve nutné Fourierovu transformaci ${displaystyle A_ {N}}$ použitím

${displaystyle {ilde {A}} _ {N} (omega, z) = int _ {- infty} ^ {infty} A_ {N} (t, z) exp [i (omega -omega _ {0}) t ] dt}$,

kde ${displaystyle omega _ {0}}$ je střední frekvence pulzu. Lze ukázat, že pomocí výše uvedené definice Fourierova transformace, analytické řešení lineárního kroku, změněné s řešením ve frekvenční oblasti pro nelineární krok, je

${displaystyle {ilde {A}} (omega, z + h) = exp vlevo [{i eta _ {2} nad 2} (omega -omega _ {0}) ^ {2} výška] {ilde {A}} _ {N} (omega, z).}$

Tím, že inverzní Fourierova transformace z ${displaystyle {ilde {A}} (omega, z + h)}$ jeden získá ${displaystyle Aleft (t, z + hight)}$; puls se tak o malý krok rozšířil ${displaystyle h}$. Opakováním výše uvedeného ${displaystyle N}$ krát může být puls šířen po délce ${displaystyle Nh}$.

Výše uvedené ukazuje, jak použít metodu k šíření řešení vpřed ve vesmíru; mnoho aplikací fyziky, jako je studium vývoje vlnového paketu popisujícího částici, však vyžaduje, aby řešení bylo šířeno dopředu spíše v čase než v prostoru. Nelineární Schrödingerova rovnice, když se používá k řízení časového vývoje vlnové funkce, má podobu

${displaystyle ihbar {částečný psi nad částečným t} = - {{hbar} ^ {2} nad {2m}} {částečné ^ {2} psi nad částečným x ^ {2}} + gamma | psi | ^ {2} psi = [{hat {D}} + {hat {N}}] psi,}$

kde ${displaystyle psi (x, t)}$ popisuje vlnovou funkci v poloze ${displaystyle x}$ a čas ${displaystyle t}$. Všimněte si, že

${displaystyle {hat {D}} = - {{hbar} ^ {2} přes {2m}} {částečné ^ {2} přes částečné x ^ {2}}}$ a ${displaystyle {hat {N}} = gamma | psi | ^ {2}}$, a to ${displaystyle m}$ je hmotnost částice a ${displaystyle hbar}$ je Planckova konstanta u konce ${displaystyle 2pi}$.

Formální řešení této rovnice je komplexní exponenciál, takže tu máme

${displaystyle psi (x, t) = e ^ {- it ({hat {D}} + {hat {N}}) / hbar} psi (x, 0)}$.

Od té doby ${displaystyle {hat {D}}}$ a ${displaystyle {hat {N}}}$ jsou operátoři, obecně nedojíždějí. Lze však použít vzorec Baker-Hausdorff, který ukazuje, že chyba v tom, že s nimi bude zacházeno, jako by to bylo, bude v pořádku ${displaystyle dt ^ {2}}$ pokud uděláme malý, ale konečný časový krok ${displaystyle dt}$. Můžeme tedy psát

${displaystyle psi (x, t + dt) přibližně e ^ {- idt {hat {D}} / hbar} e ^ {- idt {hat {N}} / hbar} psi (x, t)}$.

Část této rovnice zahrnuje ${displaystyle {hat {N}}}$ lze vypočítat přímo pomocí vlnové funkce v čase ${displaystyle t}$, ale spočítat exponenciální zapojení ${displaystyle {hat {D}}}$ používáme skutečnost, že ve frekvenčním prostoru lze operátor částečné derivace převést na číslo dosazením ${displaystyle ik}$ pro ${displaystyle částečné přes částečné x}$, kde ${displaystyle k}$ je frekvence (nebo přesněji řečeno číslo vlny), protože máme co do činění s prostorovou proměnnou a transformujeme ji do prostoru prostorových frekvencí - tj. čísel vln) spojenou s Fourierovou transformací všeho, na čem se pracuje. Vezmeme tedy Fourierovu transformaci

${displaystyle e ^ {- idt {hat {N}} / hbar} psi (x, t)}$,

obnovit příslušné číslo vlny, spočítat množství

${displaystyle e ^ {idtk ^ {2}}}$,

a použít jej k nalezení produktu komplexních exponenciálů zahrnujících ${displaystyle {hat {N}}}$ a ${displaystyle {hat {D}}}$ ve frekvenčním prostoru, jak je uvedeno níže:

${displaystyle e ^ {idtk ^ {2}} F [e ^ {- idt {hat {N}}} psi (x, t)]}$,

kde ${displaystyle F}$ označuje Fourierovu transformaci. Poté inverzně Fourierovu transformaci tohoto výrazu najdeme konečný výsledek ve fyzickém prostoru, čímž získáme konečný výraz

${displaystyle psi (x, t + dt) = F ^ {- 1} [e ^ {idtk ^ {2}} F [e ^ {- idt {hat {N}}} psi (x, t)]]}$.

Variací této metody je symetrizovaná Fourierova metoda s děleným krokem, která trvá poloviční časový krok s použitím jednoho operátoru, poté provede celodenní krok pouze s druhým a poté znovu provede druhý poločasový krok pouze s prvním. Tato metoda je vylepšení oproti obecné Fourierově metodě s děleným krokem, protože její chyba je řádová ${displaystyle dt ^ {3}}$ na časový krok ${displaystyle dt}$.v Fourierovy transformace z toho algoritmus lze vypočítat relativně rychle pomocí rychlá Fourierova transformace (FFT). Fourierova metoda s děleným krokem proto může být mnohem rychlejší než obvykle metody konečných rozdílů.^[5]

Reference

Externí reference

• Thomas E. Murphy, software, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Andrés A. Rieznik, software, http://www.freeopticsproject.org
• Prof. G. Agrawal, software, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• Thomas Schreiber, software, http://www.fiberdesk.com
• Edward J. Grace, software, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016