Rovnice Lugiato – Lefever - Lugiato–Lefever equation

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Července 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Model obvykle označen jako Rovnice Lugiato – Lefever (LLE) byl formulován v roce 1987 Luigi Lugiato a Renè Lefever ^[1] jako paradigma pro spontánní tvorba vzoru v nelineárních optických systémech.^[2][3][4] Vzory pocházejí z interakce koherentního pole, které je vstřikováno do rezonanční optické dutiny, s a Kerr médium, které vyplňuje dutinu.

Stejná rovnice řídí dva typy obrazců: stacionární obrazce, které vznikají v rovinách ortogonálních vzhledem ke směru šíření světla (příčné vzory) a vzory, které se tvoří v podélném směru (podélný vzory), cestovat po dutině s rychlostí světla v médiu a vést k posloupnosti pulzů na výstupu z dutiny.

Případ podélných vzorů je neodmyslitelně spjat s fenoménem „Hřebeny frekvence Kerr „V mikrorezonátorech, objevených v roce 2007 Tobiasem Kippenbergem a spolupracovníky,^[5] což vyvolalo velmi živý zájem, zejména kvůli aplikační třídě, kterou otevřela.

Rovnice

Obrázek 1 ukazuje světelný paprsek, který se šíří v ${ displaystyle z}$ směr, zatímco ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou příčné směry. Pokud předpokládáme, že elektrické pole jako ${ displaystyle { cal {E}} (x, y, z, t)}$ , kde ${ displaystyle t}$ označuje čas, je lineárně polarizovaný, a proto jej lze považovat za skalární, můžeme jej vyjádřit pomocí pomalu se měnící normalizované komplexní obálky ${ displaystyle E (x, y, z, t)}$ Takto

Obrázek 1. Světelný paprsek se šíří podél ${ displaystyle z}$ směr. ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou příčné směry

${ displaystyle { cal {E}} (x, y, z, t) propto E (x, y, z, t) e ^ {i ( omega _ {0} / { tilde {c}} ) (z - { tilde {c}} t)} + { text {cc}}}$

kde ${ displaystyle omega _ {0}}$ je frekvence světelného paprsku, který je vstřikován do dutiny a ${ displaystyle { tilde {c}}}$ rychlosti světla v Kerr střední který vyplňuje dutinu. Pro jistotu zvažte prstencovou dutinu (obr. 2) velmi vysoké kvality (dutina High-Q).

Obrázek 2. Pohled shora na dutinu prstence

V původním LLE^[1] jeden předpokládá takové podmínky, že obálka ${ displaystyle E}$ je nezávislý na podélné proměnné ${ displaystyle z}$ (tj. uniformní podél dutiny), takže ${ displaystyle E = E (x, y, t)}$. Rovnice čte

${ displaystyle { frac { částečné E} { částečné { bar {t}}}} = E _ { text {in}} - Ei theta E + i | E | ^ {2} E + i nabla _ { perp} ^ {2} E}$

(1)

${ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2} E = { frac { částečné ^ {2} E} { částečné { bar {x}} ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} E} { částečné { bar {y}} ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle { bar {t}}}$ a ${ displaystyle { bar {x}}}$, ${ displaystyle { bar {y}}}$ jsou normalizované časové a prostorové proměnné, tj. ${ displaystyle { bar {t}} = kappa t}$, ${ displaystyle { bar {x}} = x / ell _ {d}}$, ${ displaystyle { bar {y}} = y / ell _ {d}}$, s ${ displaystyle kappa}$ je rychlost rozpadu dutiny nebo šířka čáry dutiny, ${ displaystyle ell _ {d}}$ difrakční délka v dutině. ${ displaystyle theta = ( omega _ {c} - omega _ {0}) / kappa}$ je parametr detuning dutiny, s ${ displaystyle omega _ {c}}$ je frekvence dutiny nejbližší k ${ displaystyle omega _ {0}}$. V pravé straně rovnice (1), ${ displaystyle E _ { text {in}}}$ je normalizovaná amplituda vstupního pole vstřikovaného do dutiny, druhá je člen rozpadu, třetí je detuning člen, čtvrtý je kubický nelineární člen, který bere v úvahu Kerrovo médium, poslední člen s příčným Laplacian ${ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2}}$ popisuje difrakci v paraxiální aproximaci. Předpokládají se podmínky autofokusu.

Odkazujeme na Rov. (1) jako příčná LLE. O několik let později než^[1] došlo k formulaci podélného LLE, ve kterém je difrakce nahrazena disperzí.^[6][7] V tomto případě se předpokládá, že obálka ${ displaystyle E}$ je nezávislá na příčných proměnných ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, aby ${ displaystyle E = E (z, t)}$. Podélná LLE čte

${ displaystyle { frac { částečné E} { částečné { bar {t}}}} = E _ { text {in}} - Ei theta E + i | E | ^ {2} E + i { frac { částečné ^ {2} E} { částečné { bar {z}} ^ {2}}}}$

(2)

s ${ displaystyle { bar {z}} = z / a}$, kde ${ displaystyle a}$ závisí zejména na parametru rozptylu v druhém pořadí. Předpokládají se podmínky anomální disperze. Důležité je, že jednou ${ displaystyle E ({ bar {z}}, { bar {t}})}$ se získá řešením rovnice (2), je třeba se vrátit k původním proměnným ${ displaystyle z, t}$ a vyměnit ${ displaystyle z}$ podle ${ displaystyle z - { tilde {c}} t}$, takže a ${ displaystyle z}$-závislé stacionární řešení (stacionární vzor) se stává cestujícím vzorem (s rychlostí) ${ displaystyle { tilde {c}}}$).

Z matematického hlediska se LLE rovná poháněnému, tlumenému a rozladěnému nelineární Schroedingerova rovnice.

Příčná LLE (1) je z prostorového hlediska ve 2D. V konfiguraci vlnovodu ${ displaystyle E}$ záleží pouze na jedné prostorové proměnné, řekněme ${ displaystyle x}$a příčný Laplacian je nahrazen ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} E} { částečné { bar {x}} ^ {2}}}}$ a jeden má příčnou LLE v 1D. Podélná LLE (2) je ekvivalentní s příčnou LLE v 1D.

V některých dokumentech zabývajících se podélným případem se uvažuje o rozptylu nad druhým řádem, takže rovnice (2) zahrnuje také výrazy s deriváty řádu vyššího než druhý s ohledem na ${ displaystyle { bar {z}}}$.

Jednotná stacionární řešení. Spojení s optická bistabilita. Čtyřvlnové míchání a tvorba vzoru.

Obrázek 3. Stacionární křivka normalizované výstupní intenzity ${ displaystyle | E | ^ {2}}$ jako funkce normalizované vstupní intenzity ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ pro ${ displaystyle theta = 4}$. Stacionární stavy v segmentu se záporným sklonem jsou nestabilní. Šipky ukazují hysterezní cyklus, který je zakryt, když ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ se zvyšuje a poté snižuje.

Zaměřme se na případ, ve kterém je obálka ${ displaystyle E}$ je konstantní, tj. na stacionárních řešeních, která jsou nezávislá na všech prostorových proměnných. Puštěním všech derivátů do rovnic. (1) a (2), a vezmeme-li druhou mocninu, získáme stacionární rovnici

${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2} = | E | ^ {2} left {1 + ( theta - | E | ^ {2}) ^ {2} right }}$

(3)

Pokud zakreslíme stacionární křivku ${ displaystyle | E | ^ {2}}$ jako funkce ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$, když ${ displaystyle theta> { sqrt {3}}}$ získáme křivku znázorněnou na obr.

Křivka je ${ displaystyle S}$ve tvaru a existuje interval hodnot ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ kde jeden má tři stacionární stavy. Stavy, které leží v segmentu se záporným sklonem, jsou však nestabilní, takže v intervalu existují dva koexistující stabilní stacionární stavy: tento jev se nazývá optická bistabilita.^[8] Pokud je vstupní intenzita ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ je zvýšena a poté snížena, jedna pokryje hysterezní cyklus.

Mluvíme-li o režimech prázdné dutiny, v případě jednotných stacionárních řešení popsaných rovnicí (3) elektrické pole je singlemode, což odpovídá režimu frekvence ${ displaystyle omega _ {c}}$ kvazi-rezonanční se vstupní frekvencí ${ displaystyle omega _ {0}}$.

V příčné konfiguraci rovnice (1), v případě těchto stacionárních řešení E odpovídá singlemódové rovinné vlně ${ displaystyle e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)}}$ s ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$, kde ${ displaystyle k_ {x}}$ a ${ displaystyle k_ {y}}$ jsou příčné složky vlnového vektoru, přesně jako vstupní pole ${ displaystyle E _ { text {in}}}$.

Kubická nelinearita Kerrovy rovnic. (1) a (2) vede k čtyřvlnné míchání (FWM), který může generovat další režimy, takže obálka ${ displaystyle E}$ zobrazí prostorový vzor: v příčné rovině v případě rovnice (1), podél dutiny v případě rovnice. (2).

Příčné vzory a dutinové solitony

V příčném případě rovnice (1) vzor vychází ze souhry FWM a difrakce. FWM může vést například k procesům, ve kterých jsou páry fotonů ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$ jsou absorbovány a současně systém emituje páry fotonů s ${ displaystyle k_ {x} = { bar {k}} _ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y} = 0}$ a ${ displaystyle k_ {x} = - { bar {k}} _ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y} = 0}$ takovým způsobem, aby byla zachována celková energie fotonů a jejich celková hybnost (obr. 4).

Obrázek 4. Čtyřvlnný směšovací proces, ve kterém dva fotony s ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$ jsou absorbovány a dva fotony s ${ displaystyle k_ {x} = { bar {k}} _ {x}, k_ {y} = 0}$ a ${ displaystyle k_ {x} = - { bar {k}} _ {x}, k_ {y} = 0}$ jsou emitovány. ${ displaystyle k_ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y}}$ a ${ displaystyle k_ {z}}$ jsou složky vlnových vektorů.

Ve skutečnosti vstupují do hry další procesy FWM, takže ${ displaystyle E (x, y)}$ předpokládá konfiguraci hexagonálního vzoru ^[9](viz obr. 5).

Obrázek 5. Typickou konfigurací vzoru, která vzniká v příčných rovinách na výstupu, je šestihranný vzor.

Vzor zobrazuje uspořádanou řadu vrcholů intenzity. Je možné generovat také izolované vrcholy intenzity,^[10] které se nazývají soliton dutinys (viz obr.6). Protože dutinové solitony lze „zapisovat“ a „mazat“ jeden po druhém v příčné rovině jako na tabuli, jsou velmi zajímavé pro aplikace v oblasti optického zpracování informací a telekomunikací.

Obrázek 6. Typický solit Kerrovy dutiny v příčné rovině ukazující jasný vrchol na tmavém pozadí s difrakčními kroužky.

Podélné vzory a dutinové solitony

V podélném případě rovnice (2) vzory vyplývají ze souhry mezi FWM a disperzí. FWM může vést například k procesům, ve kterých páry fotonů v podélném režimu kvazi-rezonanční s ${ displaystyle omega _ {0}}$ jsou absorbovány a současně systém emituje fotonové páry odpovídající režimům dutin symetricky sousedícím s kvazi-rezonančním režimem, a to takovým způsobem, aby byla zachována celková energie fotonu i celková podélná hybnost fotonu.

Obrázek 7. Příklad podélného vzoru, který se pohybuje po dutině rychlostí světla v médiu a vede k periodické posloupnosti pulzů na výstupu.

Obrázek 7 ukazuje příklad vzorů, které jsou generovány a cestují po dutině a ven z dutiny. Stejně jako v příčném případě lze také v podélném uspořádání generovat jednotlivé nebo více Kerrových solitonů; Obrázek 8 ilustruje případ solitonu jedné dutiny, který cirkuluje v dutině a produkuje sekvenci úzkých pulzů na výstupu. Takové solitony byly poprvé pozorovány v dutině vláken.^[11]

Postavení 8. Podélné Kerrovy solitony.

Je důležité si uvědomit, že nestabilita, která má za následek podélné vzory a solitony dutin v LLE, je zvláštním případem multimode nestability optické bistability, kterou předpověděli Bonifacio a Lugiato v ^[12] a poprvé experimentálně pozorováno v.^[13]

Mikrorezonátor Kerrovy frekvenční hřebeny a dutinové solitony

Hřebeny optických frekvencí tvoří ekvidistantní sadu laserových frekvencí, které lze použít k počítání světelných cyklů. Tuto techniku ​​zavedl Theodor Haensch ^[14] a John Hall ^[15] použitím laserové režimy, vedlo k nesčetným aplikacím. Práce ^[5] demonstroval realizaci širokopásmových optických frekvenčních hřebenů využívajících šeptající galerijní režimy aktivované CW laserovým polem vstřikovaným do mikrorezonátoru s vysokým Q naplněným médiem Kerr, což vede k FWM. Od té doby byly v široké škále mikrorezonátorů generovány hřebeny frekvence Kerr (KFC), jejichž šířka pásma může překročit oktávu s opakovacími frekvencemi v mikrovlnných frekvencích na THz. recenze na toto téma viz např.^[16][17] Nabízejí značný potenciál pro miniaturizaci a fotonickou integraci v čipovém měřítku i pro snížení výkonu. Generace KFC je dnes vyspělým polem a tato technologie byla použita v několika oblastech, včetně koherentní telekomunikace, spektroskopie, atomových hodin, laserového měření vzdálenosti a kalibrace astrofyzikálního spektrometru.

Klíčovým podnětem k tomuto vývoji byla realizace Kerrových solitonů v mikrorezonátorech,^[18] otevírá se možnost využití Kerrových solitonů ve fotonických integrovaných mikrorezonátorech.

Podélná LLE (2) poskytuje časoprostorový obraz zapojených jevů, ale ze spektrálního hlediska odpovídá jeho řešení KFC. Vazba mezi tématem optického KFC a LLE byla teoreticky vyvinuta v roce.^{[18][19][20][21][22]} Tito autoři ukázali, že LLE (nebo zobecnění zahrnující termíny rozptylu vyššího řádu) je model, který popisuje generování KFC a je schopen předpovídat jejich vlastnosti, když se mění parametry systému. Spontánní tvorba prostorových vzorů a solitonů cestujících po dutině popsané LLE je časoprostorovým ekvivalentem frekvenčních hřebenů a řídí jejich vlastnosti. Poměrně idealizované podmínky předpokládané ve formulaci LLE, zejména podmínky vysokého Q, byly dokonale zhmotněny velkolepým technologickým pokrokem, který mezitím nastal v oblasti fotoniky a vedl zejména k objevu KFC.

Kvantové aspekty

Dva fotony, které, jak je znázorněno na obr. 4, jsou v procesu FWM emitovány symetricky nakloněnými směry, jsou ve stavu Kvantové zapletení: přesně korelují, například v energii a hybnosti. Tato skutečnost je zásadní pro kvantové aspekty optických vzorů. Například je zmenšen rozdíl mezi intenzitami dvou symetrických paprsků, tj. Vykazuje fluktuace pod úrovní hluku výstřelu;^[23] podélný analog tohoto jevu byl experimentálně pozorován v KFC.^[24] Takové kvantové aspekty jsou zase základní pro oblast kvantové zobrazování.^[25][26]

Recenze článků

Recenze k tématu LLE viz také.^[27][28][29]

Viz také

• Čtyřvlnové míchání
• Frekvenční hřeben
• Kerrův frekvenční hřeben
• Nelineární Schroedingerova rovnice
• Optická bistabilita
• Formování vzoru

Reference