Singulární hraniční metoda - Singular boundary method

Obr. 1. Náčrt problému a distribuce uzlů pomocí MFS: (a) vnitřní problémy, (b) vnější problémy (kliknutím zobrazíte velké obrázky)
Obr. Náčrt problému a distribuce uzlů pomocí SBM: (c) vnitřní problémy, (d) vnější problémy (kliknutím zobrazíte velké obrázky)

v numerická analýza, metoda singulární hranice (SBM) patří do rodiny bez síťky hranice kolokační techniky které zahrnují metoda základních řešení (MFS),[1][2][3] metoda hraničního uzlu (BKM),[4] legalizovaná bezsíťová metoda (RMM),[5] metoda hraničních částic (BPM),[6] upravený MFS,[7] a tak dále. Tato rodina silných forem kolokačních metod je navržena tak, aby se zabránilo singulární numerické integraci a generování sítí v tradiční podobě metoda hraničních prvků (BEM) v numerickém řešení okrajových úloh s hraničními uzly, ve kterých je výslovně známé základní řešení řídící rovnice.

Nejvýznamnějším rysem SBM je překonat fiktivní hranici v metodě základního řešení při zachování všech jeho výhod. Metoda nabízí několik výhod oproti klasickým doménovým nebo hraničním diskretizačním metodám, mezi které patří:

  • bez síťky. Metoda nevyžaduje ani doménové ani mezní záběry, ale pouze diskretizační body pouze na hranici;
  • bez integrace. Numerická integrace singulárních nebo téměř singulárních jader by mohla být jinak problematická, nákladná a komplikovaná, jako například v případě metody hraničních prvků;
  • diskretizace pouze na hranici pro homogenní problémy. SBM sdílí všechny výhody BEM oproti metodám diskretizace domény, jako jsou metody konečných prvků nebo metody konečných rozdílů;
  • překonat zmatenou fiktivní hranici v metodě základních řešení (viz obr. 1 a 2), a to díky zavedení konceptu faktoru intenzity původu, který izoluje singularitu základních řešení.

SBM poskytuje významnou a slibnou alternativu k populárním metodám hraničního typu, jako jsou BEM a MFS, zejména pro nekonečné domény, vlny, tenkostěnné struktury a inverzní problémy.

Historie metody singulární hranice

Metodiku SBM poprvé navrhl Chen a jeho spolupracovníci v roce 2009.[8][9] Základní myšlenkou je zavést koncept faktoru intenzity původu, aby se izolovala singularita základních řešení tak, aby zdrojové body mohly být umístěny přímo na skutečnou hranici. Ve srovnání vyžaduje metoda základních řešení fiktivní hranici pro umístění zdrojových bodů, aby se zabránilo singularitě základního řešení. SBM se od té doby úspěšně aplikuje na řadu fyzických problémů, jako jsou potenciální problémy,[10][11] problém s nekonečnou doménou,[12] Helmholtzův problém,[13] a problém s rovinnou pružností.[14]

Existují dvě techniky k hodnocení faktoru intenzity původu. Prvním přístupem je umístit shluk vzorových uzlů do problémové domény a vypočítat algebraické rovnice. Tato strategie vede k dodatečným výpočetním nákladům a ve srovnání s MFS není tato metoda tak efektivní, jak se očekávalo. Druhý přístup[15][16] je použít regularizační techniku ​​k zrušení singularit základního řešení a jeho derivátů. V důsledku toho lze faktory intenzity původu určit přímo bez použití jakýchkoli uzlů vzorku. Díky tomuto schématu je metoda stabilnější, přesnější, efektivnější a rozšiřuje se její použitelnost.

Nedávný vývoj

Problémy s efektem mezní vrstvy

Stejně jako všechny ostatní numerické metody hraničního typu se také pozoruje, že SBM naráží na dramatický pokles přesnosti řešení v oblasti poblíž hranice. Na rozdíl od singularity v počátku zůstává základní řešení v téměř hraničních oblastech konečné. Avšak místo toho, aby byla plochá funkce, interpolační funkce vyvíjí ostrý vrchol, když se bod pole blíží hranici. V důsledku toho se jádra stanou „téměř singulárními“ a nelze je přesně vypočítat. To je podobné takzvanému efektu mezní vrstvy, který se vyskytuje v metodách založených na BEM.

Nelineární transformace založená na sinh funkce, lze použít k odstranění nebo tlumení rychlých variací téměř singulárních jader.[17] Ve výsledku byl úspěšně odstraněn rušivý efekt mezní vrstvy v SBM. Implementace této transformace je přímá a lze ji snadno začlenit do stávajících programů SBM. U studovaných testovacích problémů se dosáhne velmi slibných výsledků, i když je vzdálenost mezi bodem pole a hranicí tak malá jako 1×10−10.

Problémy velkého rozsahu

Stejně jako MFS a BEM bude i SBM vytvářet matice s hustými koeficienty, jejichž počet operací a požadavky na paměť pro vytváření maticových rovnic jsou řádově Ó(N2), který je výpočetně příliš nákladný na simulaci rozsáhlých problémů.

The rychlá vícepólová metoda (FMM) může snížit jak čas procesoru, tak požadavek na paměť z Ó(N2) až Ó(N) nebo Ó(NlogN). S pomocí FMM může být SBM plně schopen vyřešit problém několika miliónů neznámých na ploše. Tento rychlý algoritmus dramaticky rozšiřuje použitelné území SBM na mnohem větší problémy, než byly dříve možné.

Viz také

Reference

  1. ^ metoda základních řešení (MFS)
  2. ^ Golberg MA, Chen CS, Ganesh M, „Zvláštní řešení rovnic typu 3D Helmholtz pomocí kompaktně podporovaných radiálních základních funkcí“, Eng Anal Bound Elem 2000;24(7–8): 539–47.
  3. ^ Fairweather G, Karageorghis A, "Metoda základního řešení problémů s eliptickými hraničními hodnotami", Adv Comput Math 1998;9(1): 69–95.
  4. ^ Chen W, Tanaka M, "Technika RBF bez sítí, bez integrace a bez hranic Archivováno 04.03.2016 na Wayback Machine ", Vypočítaná matematická aplikace 2002;43(3–5): 379–91.
  5. ^ D.L. Young, K.H. Chen, C.W. Lee, „Nová metoda bez síťování pro řešení potenciálních problémů s libovolnou doménou“, J Comput Phys 2005;209(1): 290–321.
  6. ^ metoda hraničních částic (BPM)
  7. ^ Sarler B, „Řešení potencionálních problémů s prouděním modifikovanou metodou základních řešení: Formulace s jednovrstvým a dvouvrstvým základním řešením“, Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
  8. ^ Chen W, “Metoda singulárního ohraničení: Nová, jednoduchá, numerická metoda s hraničním sdružením, bez síťování ", Chin J Solid Mech 2009;30(6): 592–9.
  9. ^ Chen W, Wang FZ, "Metoda zásadních řešení bez fiktivních hranic Archivováno 06.06.2015 na Wayback Machine ", Eng Anal Bound Elem 2010;34(5): 530–32.
  10. ^ Wei X, Chen W, Fu ZJ, „Řešení nehomogenních problémů metodou singulární hranice“, J Mar SCI Tech 2012; 20(5).
  11. ^ Chen W, Fu ZJ, Wei X, "Potenciální problémy metodou singular Boundary Satisfying Moment Condition ", Comput Model Eng Sci 2009;54(1): 65–85.
  12. ^ Chen W, Fu Z, "Nová numerická metoda pro potenciální problémy nekonečné domény ", Chin Sci Bull 2010;55(16): 1598–603.
  13. ^ Fu ZJ, Chen W, „Nová metoda bez hraničních mřížek pro problémy záření a rozptylu“, Advances in Boundary Element Techniques XI, Proceedings of the 11th international Conference, 12. – 14. Července 2010, 83–90, publikováno EC Ltd, Spojené království (ISBN  978-0-9547783-7-8)
  14. ^ Gu Y, Chen W, Zhang CZ, "Metoda singulární hranice pro řešení elastostatických problémů rovinného přetvoření ", Int J Solids Struct 2011;48(18): 2549–56.
  15. ^ Chen W, Gu Y, "Nedávné pokroky v metodě singulárních hranic ", Společný mezinárodní workshop o Trefftzově metodě VI a metodě základního řešení II, Tchaj-wan 2011.
  16. ^ Gu Y, Chen, W, "Vylepšená metoda singulární hranice pro problémy trojrozměrného potenciálu ", Čínský žurnál teoretické a aplikované mechaniky2012, 44 (2): 351-360 (v čínštině)
  17. ^ Gu Y, Chen W, Zhang J, "Výzkum řešení blízkých hranic metodou singulárních hranic ", Eng Anal Bound Elem 2012;36(8): 117–82.

externí odkazy