Trefftzova metoda - Trefftz method

v matematika, Trefftzova metoda je metoda pro numerické řešení z parciální diferenciální rovnice pojmenoval podle Němec matematik Erich Trefftz(de ) (1888–1937). Spadá do třídy metody konečných prvků.

Úvod

Hybridní metoda konečných prvků Trefftz byla od svého zavedení zhruba před 30 lety značně pokročilá.[1][když? ] Konvenční metoda analýzy konečných prvků zahrnuje převod diferenciální rovnice který řídí problém do variační funkční z nichž lze nalézt uzlové vlastnosti prvku - známé jako polní proměnné. To lze vyřešit dosazením v přibližných řešeních diferenciální rovnice a vygenerováním konečného prvku matice tuhosti který je kombinován se všemi prvky v kontinuum získat globální matici tuhosti.[2] Aplikace příslušného okrajové podmínky k této globální matici a následné řešení pole proměnné završují matematický proces, po kterém lze numerické výpočty použít k řešení technických problémů v reálném životě.[1][3]

Důležitý aspekt řešení funkcionality vyžaduje, abychom našli řešení, která splňují dané okrajové podmínky a uspokojují mezilehlé prvky kontinuita protože definujeme nezávisle vlastnosti každého prvku doména.[1]

Hybridní Trefftzova metoda se liší od konvenční metody konečných prvků v předpokladu pole posunutí a formulace variační funkční skupiny. Na rozdíl od konvenční metody (založené na Rayleigh-Ritzově matematické technice) Trefftzova metoda (založená na Trefftzově matematické technice) předpokládá, že pole posunutí je složeno ze dvou nezávislých složek; pole posunutí uvnitř prvku, které splňuje řídící diferenciální rovnici a používá se k aproximaci variace potenciálu v doméně prvku, a pole vyhovujícího rámce, které specificky splňuje podmínku kontinuity mezi prvky, definovanou na hranici prvku. Pole rámce je zde stejné jako pole použité v konvenční metodě konečných prvků, ale je definováno striktně na hranici prvku - proto je v nomenklatuře metody použit termín „hybrid“. Variační funkce tedy musí zahrnovat další termíny, které zohlední okrajové podmínky, protože předpokládané pole řešení splňuje pouze řídící diferenciální rovnici.[1][3]

Výhody oproti konvenční metodě konečných prvků

Hlavní výhody hybridní Trefftzovy metody oproti konvenční metodě jsou:

  1. formulace vyžaduje integrace pouze podél hranic prvků, což umožňuje oboustranný nebo polynomiální tvary, které se mají použít pro hranici prvku,
  2. představuje základny rozšíření pro prvky, které nesplňují mezilehlou kontinuitu prostřednictvím variační funkce, a
  3. tato metoda umožňuje vývoj singulárních nebo perforovaných prvků trhlin pomocí lokalizovaných funkcí řešení jako zkušební funkce.[1][3]

Aplikace

Od svého hlavního proudu před asi 30 lety[když? ], tato metoda upravených konečných prvků je stále populárnější v aplikacích jako pružnost, Kirchhoffovy desky, silné desky, obecná trojrozměrná mechanika těles, antisymetrická mechanika těles, Potenciální problémy, skořápky, elastodynamické problémy, geometricky nelineární ohýbání desek a analýza přechodného vedení tepla mezi jinými.[1][3] V současné době se aplikuje na stabilní, neturbulentní, nestlačitelné, Newtonova tekutina tok aplikací prostřednictvím probíhajícího výzkumu na Fakultě inženýrství a informačních technologií (FEIT) na Vysokém učení technického v Praze Australská národní univerzita (ANU) v australské Canbeře. Hybridní Trefftzova metoda se také používá u některých polí, např. výpočetní modelování hydratovaných měkkých tkání nebo vodou nasycených porézních médií prostřednictvím probíhajícího výzkumného projektu na Technická univerzita v Lisabonu, Instituto Superior Técnico v Portugalsku.

Poznámky

  1. ^ A b C d E F Qin (2000)
  2. ^ Connor a Brebbia (1976)
  3. ^ A b C d Qin (2004)

Reference

  • Qin, Q.H. (2000), Trefftzova metoda konečných a hraničních prvků, Southampton, Anglie: WIT Press, s. 1–55
  • Connor, J.J .; Brebbia, C.A. (1976), Techniky konečných prvků pro proudění tekutin (3. vyd.), Bristol, Anglie: Newnes-Butterworths
  • Qin, Q.H. (2004), „Formulace hybridní Trefftzovy metody konečných prvků pro elastoplasticitu“, Aplikované matematické modelování, 29 (2): 235–252, doi:10.1016 / j.apm.2004.09.004

externí odkazy