Borweinův integrál - Borwein integral

v matematika, a Borweinův integrál je integrální jehož neobvyklé vlastnosti poprvé představili matematici David Borwein a Jonathan Borwein v roce 2001.^[1] Integrály Borwein zahrnují produkty ${ displaystyle mathrm {sinc} (sekera)}$, Kde funkce sinc darováno ${ displaystyle mathrm {sinc} (x) = sin (x) / x}$ pro ${ displaystyle x}$ nerovná se 0 a ${ displaystyle mathrm {sinc} (0) = 1}$.^[1][2]

Tyto integrály jsou pozoruhodné tím, že vykazují zjevné vzorce, které se nakonec rozpadnou. Následuje příklad.

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = { frac { pi} {2}} [10pt] & int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3}} , dx = { frac { pi} {2}} [10 bodů] & int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3}} { frac { sin (x / 5)} {x / 5}} , dx = { frac { pi} {2}} end {zarovnáno }}}$

Tento vzor pokračuje až

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3}} cdots { frac { sin (x / 13)} {x / 13}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

V dalším kroku zjevný vzorec selže,

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3 }} cdots { frac { sin (x / 15)} {x / 15}} , dx & = { frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} ~ pi [5pt] & = { frac { pi} {2}} - { frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} ~ pi [5pt] & cca { frac { pi} {2}} - 2,31 krát 10 ^ {- 11} . end {zarovnáno}}}$

Obecně platí, že podobné integrály mají hodnotu π/2 kdykoli čísla 3, 5, 7… jsou nahrazena kladnými reálnými čísly tak, že součet jejich vzájemných je menší než 1.

Ve výše uvedeném příkladu 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, ale 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.

Se zahrnutím dalšího faktoru ${ displaystyle 2 cos (x)}$, vzor drží na delší sérii,^[3]

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} 2 cos (x) { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3 }} cdots { frac { sin (x / 111)} {x / 111}} , dx = { frac { pi} {2}},}$

ale

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} 2 cos (x) { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3 }} cdots { frac { sin (x / 111)} {x / 111}} { frac { sin (x / 113)} {x / 113}} , dx <{ frac { pi } {2}}.}$

V tomto případě, 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, ale 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.

Důvod rozpadu původní a rozšířené řady byl prokázán intuitivním matematickým vysvětlením.^[4][5] Zejména a náhodná procházka přeformulování s argumentem kauzality vrhá světlo na zlomení vzoru a otevírá cestu pro řadu zobecnění.^[6]

Obecný vzorec

Vzhledem k posloupnosti nenulových reálných čísel ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ldots}$, obecný vzorec pro integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} prod _ {k = 0} ^ {n} { frac { sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} , dx}$

lze dát.^[1] Chcete-li uvést vzorec, je třeba vzít v úvahu částky zahrnující ${ displaystyle a_ {k}}$. Zejména pokud ${ displaystyle gamma = ( gamma _ {1}, gamma _ {2}, ldots, gamma _ {n}) in { pm 1 } ^ {n}}$ je ${ displaystyle n}$-tuple, kde je každá položka ${ displaystyle pm 1}$, pak píšeme ${ displaystyle b _ { gamma} = a_ {0} + gamma _ {1} a_ {1} + gamma _ {2} a_ {2} + cdots + gamma _ {n} a_ {n}}$, což je druh střídavého součtu prvních několika ${ displaystyle a_ {k}}$a nastavili jsme ${ displaystyle varepsilon _ { gamma} = gamma _ {1} gamma _ {2} cdots gamma _ {n}}$, což je buď ${ displaystyle pm 1}$. S tímto zápisem je hodnota pro výše uvedený integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} prod _ {k = 0} ^ {n} { frac { sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} , dx = { frac { pi} {2a_ {0}}} C_ {n}}$

kde

${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {2 ^ {n} n! prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} sum _ { gamma in { pm 1 } ^ {n}} varepsilon _ { gamma} b _ { gamma} ^ {n} operatorname {sgn} (b _ { gamma})}$

V případě, kdy ${ displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + cdots + | a_ {n} |}$, my máme ${ displaystyle C_ {n} = 1}$.

Dále, pokud existuje ${ displaystyle n}$ takové, že pro každého ${ displaystyle k = 0, ldots, n-1}$ my máme ${ displaystyle 0$ a ${ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n-1}$, což znamená, že ${ displaystyle n}$ je první hodnota, když je částečný součet první ${ displaystyle n}$ prvky sekvence přesahují ${ displaystyle a_ {0}}$, pak ${ displaystyle C_ {k} = 1}$ pro každého ${ displaystyle k = 0, ldots, n-1}$ ale

${ displaystyle C_ {n} = 1 - { frac {(a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n} -a_ {0}) ^ {n}} {2 ^ {n-1 } n! prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}}$

Prvním příkladem je případ, kdy ${ displaystyle a_ {k} = { frac {1} {2k + 1}}}$.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle n = 7}$ pak ${ displaystyle a_ {7} = { frac {1} {15}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {9}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} přibližně 0,955}$ ale ${ displaystyle { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {9}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} + { frac {1} {15}} přibližně 1,02}$, protože ${ displaystyle a_ {0} = 1}$, máme to

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3}} cdots { frac { sin (x / 13)} {x / 13}} , dx = { frac { pi} {2}}}$

což zůstává pravda, pokud odstraníme některý z produktů, ale to

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} { frac { sin (x / 3)} {x / 3}} cdots { frac { sin (x / 15)} {x / 15}} , dx [5pt] = {} & { frac { pi} {2}} vlevo (1 - { frac {(3 ^ {- 1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} + 15 ^ {-1} -1) ^ {7}} {2 ^ {6} cdot 7! Cdot (1/3 cdot 1/5 cdot 1/7 cdot 1/9 cdot 1/11 cdot 1/13 cdot 1/15)}} right) end {zarovnáno}}}$

což se rovná hodnotě uvedené dříve.

Reference

externí odkazy

• Vzory, které nakonec selžou, 20. září 2018
• Zhroutit se, 2. února 2012
• Iluzivní vzorce v matematice vysvětlené myšlenkami ve fyzice, 19. července 2019
• (video) Když náhodní chodci pomáhají řešit zajímavé integrály 19. července 2019
• (video) Konvoluce, Fourierovy transformace a Sincův integrál 16. září 2020