Trigonometrické funkce matic - Trigonometric functions of matrices

The trigonometrické funkce (zvláště sinus a kosinus ) pro skutečné nebo složité čtvercové matice vyskytují se v řešeních systémů druhého řádu z diferenciální rovnice.^[1] Jsou definovány stejným způsobem Taylor série které platí pro trigonometrické funkce reálných a komplexní čísla:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} sin X & = X - { frac {X ^ {3}} {3!}} + { frac {X ^ {5}} {5!}} - { frac {X ^ {7}} {7!}} + Cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)! }} X ^ {2n + 1} cos X & = I - { frac {X ^ {2}} {2!}} + { Frac {X ^ {4}} {4!}} - { frac {X ^ {6}} {6!}} + cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)! }} X ^ {2n} end {zarovnáno}}}$

s Xⁿ být nth Napájení matice X, a Já být matice identity příslušných rozměrů.

Rovnocenně je lze definovat pomocí exponenciální matice spolu s maticovým ekvivalentem Eulerův vzorec, E^iX = cos X + i hřích X, poddajný

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin X & = {e ^ {iX} -e ^ {- iX} nad 2i} cos X & = {e ^ {iX} + e ^ {- iX} nad 2}. end {zarovnáno}}}$

Například brát X být standardem Pauliho matice,

${ displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {x} = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} ~,}$

jeden má

${ displaystyle sin ( theta sigma _ {1}) = sin ( theta) ~ sigma _ {1}, qquad cos ( theta sigma _ {1}) = cos ( theta ) ~ I ~,}$

stejně jako pro kardinální sinusová funkce,

${ displaystyle operatorname {sinc} ( theta sigma _ {1}) = operatorname {sinc} ( theta) ~ I.}$

Vlastnosti

Analog z Pytagorova trigonometrická identita drží:^[2]

${ displaystyle sin ^ {2} X + cos ^ {2} X = I}$

Li X je diagonální matice, hřích X a cos X jsou také diagonální matice s (hřích X)_nn = hřích (X_nn) a (cos X)_nn = cos (X_nn), to znamená, že je lze vypočítat jednoduchým převzetím sinusů nebo kosinů diagonálních komponent matic.

Analogy trigonometrické vzorce pro sčítání jsou pravdivé kdyby a jen kdyby XY = YX:^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin (X pm Y) = sin X cos Y pm cos X sin Y cos (X pm Y) = cos X cos Y mp sin X sin Y end {zarovnáno}}}$

Další funkce

Tečna, stejně jako inverzní trigonometrické funkce, hyperbolický a inverzní hyperbolické funkce byly také definovány pro matice:^[3]

${ displaystyle arcsin X = -i ln vlevo (iX + { sqrt {I-X ^ {2}}} vpravo)}$ (vidět Inverzní trigonometrické funkce # Logaritmické tvary, Maticový logaritmus, Druhá odmocnina matice )

${ displaystyle { begin {aligned} sinh X & = {e ^ {X} -e ^ {- X} nad 2} cosh X & = {e ^ {X} + e ^ {- X} přes 2} end {zarovnáno}}}$

a tak dále.

Reference