Princip výběru - Selection principle

Ukázka principu výběru S1 (A, B)

V matematice, a princip výběru je pravidlo prosazující možnost získání matematicky významných objektů výběrem prvků z daných sekvencí množin. Teorie principy výběrustuduje tyto principy a jejich vztahy k jiným matematickým vlastnostem. Principy výběru popisují hlavně vlastnosti pokrývající, teoretické vlastnosti míry a kategorie a místní vlastnosti v topologických prostorech, zejména funkčních prostorech. Charakterizace matematické vlastnosti pomocí principu výběru je často netriviální úkol, který vede k novým poznatkům o charakterizované vlastnosti.

Hlavní principy výběru

V roce 1924 Karl Menger^[1] představil následující základní vlastnost pro metrické prostory: Každý základ topologie obsahuje posloupnost sad s mizejícími průměry, která pokrývá prostor. Brzy poté, Witold Hurewicz^[2] poznamenal, že Mengerova základní vlastnost je ekvivalentní následující selektivní vlastnosti: pro každou sekvenci otevřených obalů prostoru lze vybrat konečně mnoho otevřených sad z každého krytu v sekvenci, takže vybrané sady pokrývají prostor. krycí majetek Prostory Menger.

Hurewiczova formulace Mengerova majetku byla první důležitou topologickou vlastností popsanou principem výběru. Nechat ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$ být třídami matematických objektů. V roce 1996 Marion Scheepers^[3] představil následující výběrové hypotézy, zachycující velké množství klasických matematických vlastností:

${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ : Pro každou sekvenci ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prvků z třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ , existují prvky ${ displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}, dots}$ takhle ${ displaystyle {U_ {n}: n in mathbb {N} } in mathbf {B}}$ .
${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ : Pro každou sekvenci ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prvků z třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ , existují konečné podmnožiny ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} subseteq { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {F}} _ {2} subseteq { mathcal {U}} _ { 2}, tečky}$ takhle ${ displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} { mathcal {F}} _ {n} in mathbf {B}}$ .

V případě, že třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$ skládají se z krytů nějakého okolního prostoru, Scheepers také představil následující princip výběru.

${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ : Pro každou sekvenci ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prvků z třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ , žádný obsahující konečný dílčí obal, existují konečné podmnožiny ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} subseteq { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {F}} _ {2} subseteq { mathcal {U}} _ { 2}, tečky}$ takhle ${ displaystyle { bigcup { mathcal {F}} _ {1}, bigcup { mathcal {F}} _ {2}, dotsc } in mathbf {B}}$ .

Později, Boaz Tsaban identifikoval prevalenci následujícího souvisejícího principu:

${ displaystyle { binom { mathbf {A}} { mathbf {B}}}}$ : Každý člen třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ obsahuje člena třídy ${ displaystyle mathbf {B}}$ .

Takto definované pojmy jsou principy výběru. Vytvoření instance principu výběru zvážením konkrétních tříd ${ displaystyle mathbf {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$ , dává výběrová (nebo: selektivní) vlastnost. Tyto terminologie se však v literatuře používají zaměnitelně.

Variace

Pro sadu ${ displaystyle A podmnožina X}$ a rodinu ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ podskupin ${ displaystyle X}$ , hvězda ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je sada ${ displaystyle { text {St}} (A, { mathcal {F}}) = bigcup {F in { mathcal {F}}: A cap F neq emptyset }}$ .

V roce 1999 Ljubisa D.R. Kocinac představil následující principy výběru hvězd:^[4]

${ displaystyle { text {S}} _ {1} ^ {*} ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ : Pro každou sekvenci ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prvků z třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ , existují prvky ${ displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}, dots}$ takhle ${ displaystyle {{ text {St}} (U_ {n}, { mathcal {U}} _ {n}): n in mathbb {N} } in mathbf {B}}$ .
${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ^ {*} ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ : Pro každou sekvenci ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prvků z třídy ${ displaystyle mathbf {A}}$ , existují konečné podmnožiny ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} subseteq { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {F}} _ {2} subseteq { mathcal {U}} _ { 2}, tečky}$ takhle ${ displaystyle {{ text {St}} ( bigcup { mathcal {F}} _ {n}, { mathcal {U}} _ {n}): n in mathbb {N} } in mathbf {B}}$ .

Krycí vlastnosti

Krycí vlastnosti tvoří jádro teorie principů výběru. Vlastnosti výběru, které nepokrývají vlastnosti, se často studují pomocí implikací do a ze selektivních krycích vlastností souvisejících prostorů.

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologický prostor. An otevřete kryt z ${ displaystyle X}$ je rodina otevřených souborů, jejichž spojením je celý prostor ${ displaystyle X.}$ Z technických důvodů požadujeme také celý prostor ${ displaystyle X}$ není členem obálky. Třída otevřených krytů prostoru ${ displaystyle X}$ je označen ${ displaystyle mathbf {O}}$ . (Formálně, ${ displaystyle mathbf {O} (X)}$ , ale obvykle prostor ${ displaystyle X}$ je pevně v pozadí.) Výše uvedená vlastnost Menger je tedy ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ . V roce 1942 Fritz Rothberger považoval Borelovu silnou míru nulových setů a zavedl topologickou variantu, která se později nazývala Rothbergerův prostor (také známý jako C ${ displaystyle ''}$ prostor). V zápisu výběrů je Rothbergerova vlastnost vlastností ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ .

Otevřený kryt ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ z ${ displaystyle X}$ je bodový cofinite pokud má nekonečně mnoho prvků a každý bod ${ displaystyle x v X}$ patří ke všem kromě konečně mnoha sad ${ displaystyle U v { mathcal {U}}}$ . (Tento typ obálky zvažovali Gerlits a Nagy ve třetí položce určitého seznamu v jejich příspěvku. Seznam byl vyjmenován řeckými písmeny, a proto se tyto obálky často nazývají ${ displaystyle gamma}$ -obsahuje.) Třída bodově konečných otevřených obalů ${ displaystyle X}$ je označen ${ displaystyle mathbf { Gamma}}$ . Topologický prostor je a Hurewiczův prostor pokud to vyhovuje ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ .

Otevřený kryt ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ z ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle omega}$ -Pokrýt pokud každá konečná podmnožina ${ displaystyle X}$ je obsažen v některých členech ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ . Třída ${ displaystyle omega}$ - kryty ${ displaystyle X}$ je označen ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ . Topologický prostor je a y-prostor pokud to vyhovuje ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}}}$ .

Použitím hypotéz výběru hvězd získá člověk vlastnosti jako např hvězda-Menger ( ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ^ {*} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ ), hvězda-Rothberger ( ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ^ {*} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ ) a hvězda-Hurewicz ( ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ^ {*} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ ).

Scheepersův diagram

K dispozici je 36 vlastností výběru formuláře ${ displaystyle Pi ( mathbf {A}, mathbf {B})}$ , pro ${ displaystyle Pi in {{ text {S}} _ {1}, { text {S}} _ { text {fin}}, { text {U}} _ { text {fin }}, { bigl (} ~~ { bigr)} }}$ a ${ displaystyle mathbf {A}, mathbf {B} in { mathbf {O}, mathbf { Gamma}, mathbf { Omega} }}$ . Některé z nich jsou triviální (podržet pro všechny mezery nebo selhat pro všechny mezery). Omezení pozornosti na Lindelöfovy prostory, diagram níže, známý jako Scheepers diagram,^[3]^[5] představuje netriviální vlastnosti výběru výše uvedeného formuláře a každá netriviální vlastnost výběru je ekvivalentní jedné v diagramu. Šipky označují implikace.

Místní vlastnosti

Principy výběru také zachycují důležité nekrycí vlastnosti.

Nechat ${ displaystyle Y}$ být topologickým prostorem a ${ displaystyle y v Y}$ . Třída sad ${ displaystyle A}$ v prostoru ${ displaystyle Y}$ které mají smysl ${ displaystyle y}$ v jejich uzavření je označeno ${ displaystyle mathbf { Omega _ {y}}}$ . Třída ${ displaystyle mathbf { Omega _ {y} ^ { text {ctbl}}}}$ se skládá z počitatelný prvky třídy ${ displaystyle mathbf { Omega _ {y}}}$ . Třída sekvencí v ${ displaystyle Y}$ které konvergují k ${ displaystyle y}$ je označen ${ displaystyle mathbf { Gamma _ {y}}}$ .

Prostor ${ displaystyle Y}$ je Fréchet – Urysohn jen tehdy, pokud to vyhovuje ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega _ {y}}} { mathbf { Gamma _ {y}}}}}$ pro všechny body ${ displaystyle y v Y}$ .
Prostor ${ displaystyle Y}$ je silně Fréchet – Urysohn jen tehdy, pokud to vyhovuje ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf { Omega _ {y}}, mathbf { Gamma _ {y}})}$ pro všechny body ${ displaystyle y v Y}$ .
Prostor ${ displaystyle Y}$ má spočítatelná těsnost jen tehdy, pokud to vyhovuje ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega _ {y}}} { mathbf { Omega _ {y} ^ { text {ctbl}}}}}}$ pro všechny body ${ displaystyle y v Y}$ .
Prostor ${ displaystyle Y}$ má spočítatelná těsnost ventilátoru jen tehdy, pokud to vyhovuje ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf { Omega _ {y}}, mathbf { Omega _ {y}})}$ pro všechny body ${ displaystyle y v Y}$ .
Prostor ${ displaystyle Y}$ má spočítatelná silná těsnost ventilátoru jen a jen pokud to vyhovuje ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf { Omega _ {y}}, mathbf { Omega _ {y}})}$ pro všechny body ${ displaystyle y v Y}$ .

Topologické hry

Mezi principy výběru a Topologické hry.

Hra Menger

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem. Hra Menger ${ displaystyle { text {G}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál dál ${ displaystyle X}$ je hra pro dva hráče, Alice a Bob. Má směnu za každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$ . Na ${ displaystyle n ^ {th}}$ směna, Alice zvolí otevřený obal ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {n}}$ z ${ displaystyle X}$ a Bob si vybere konečnou podmnožinu ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ z ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ . Pokud rodina ${ displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} { mathcal {F}} _ {n}}$ je kryt prostoru ${ displaystyle X}$ , pak Bob vyhraje hru. Jinak Alice vyhrává.

A strategie pro hráče je funkce určující tah hráče, vzhledem k dřívějším tahům obou hráčů. Strategie hráče je a vítězná strategie pokud každou hru, kde se tento hráč drží této strategie, tento hráč vyhraje.

Topologický prostor je ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ právě tehdy, pokud Alice nemá ve hře žádnou vítěznou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na tomto prostoru.^[2]^[3]
Nechat ${ displaystyle X}$ být metrický prostor. Bob má ve hře vítěznou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na prostoru ${ displaystyle X}$ jen a jen v případě, že prostor ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle sigma}$ -kompaktní.^[6]^[7]

Všimněte si, že mezi Lindelöfovými prostory je metrizovatelný ekvivalent regulárního a druhého počítatelného, takže předchozí výsledek lze alternativně získat zvážením omezené informační strategie.^[8] A Markov Strategie je taková, která využívá pouze poslední tah soupeře a aktuální číslo kola.

Nechat ${ displaystyle X}$ být obyčejný prostor. Bob má ve hře vítěznou markovskou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na prostoru ${ displaystyle X}$ právě tehdy, když je prostor ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle sigma}$ -kompaktní.
Nechat ${ displaystyle X}$ být druhým započítatelným prostorem. Bob má ve hře vítěznou markovskou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na prostoru ${ displaystyle X}$ právě když má vítěznou strategii dokonalých informací.

Podobným způsobem definujeme hry pro další principy výběru z daného Scheepersova diagramu. Ve všech těchto případech má topologický prostor vlastnost ze Scheepersova diagramu právě tehdy, pokud Alice nemá v příslušné hře žádnou výherní strategii.^[9] Ale to obecně neplatí; Francis Jordan předvedl prostor, kde má Alice vítěznou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {K}, mathbf {O})}$ , ale princip výběru ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf {K}, mathbf {O})}$ selže.^[10]

Příklady a vlastnosti

Každý ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ vesmír je a Lindelöfův prostor.
Každý σ-kompaktní prostor (spočetné spojení kompaktních prostorů) je ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ .
${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}} Rightarrow { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma}) Rightarrow { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ .
${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}} Rightarrow { text {S}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O}) Rightarrow { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ .
Za předpokladu, že Hypotéza kontinua existují sady reálných čísel, které svědčí o tom, že výše uvedené důsledky nelze zvrátit.^[5]
Každý Luzinova sada je ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ ale ne ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ .^[11]^[12]
Každý Sierpiński set je Hurewicz.^[13]

Podmnožiny skutečné linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ (s indukovaným topologie podprostoru ) obsahující vlastnosti principu výběru, zejména Mengerův a Hurewiczův prostor, lze charakterizovat jejich spojitými obrazy v Baireův prostor ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ . Pro funkce ${ displaystyle f, g in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ , psát si ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ -li ${ Displaystyle f (n) leq g (n)}$ pro všechny ale konečně mnoho přirozených čísel ${ displaystyle n}$ . Nechat ${ displaystyle A}$ být podmnožinou ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ . Sada ${ displaystyle A}$ je ohraničený pokud existuje funkce ${ displaystyle g in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ takhle ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ pro všechny funkce ${ displaystyle f v A}$ . Sada ${ displaystyle A}$ je dominující pokud pro každou funkci ${ displaystyle f in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ existuje funkce ${ displaystyle g v A}$ takhle ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ .

Podmnožina skutečné linie je ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ právě tehdy, když každý spojitý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire nedominuje.^[14]
Podmnožina skutečné linie je ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ právě tehdy, když je každý souvislý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire ohraničen.^[14]

Propojení s dalšími poli

Obecná topologie

Každý ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ vesmír je a D-prostor.^[15]

Nechat P být vlastností prostorů. Prostor ${ displaystyle X}$ je produktivně P pokud pro každý prostor ${ displaystyle Y}$ s majetkem P, produktový prostor ${ displaystyle X krát Y}$ má majetek P.

Každý oddělitelný produktivně paracompact vesmír je ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ .
Za předpokladu, že Hypotéza kontinua, každý produktivní prostor Lindelöf je produktivní ${ displaystyle { text {U}} _ { text {fin}} ( mathbf {O}, mathbf { Gamma})}$ ^[16]
Nechat ${ displaystyle A}$ být ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}}}$ podmnožina skutečné linie a ${ displaystyle M}$ být hubený podmnožina skutečné linie. Pak sada ${ displaystyle A + M = {a + x: a v A, x v M }}$ je hubený.^[17]

Teorie měření

Každý ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ podmnožina skutečné linie je a nastavena silná míra nula.^[11]

Funkční prostory

Nechat ${ displaystyle X}$ být Tychonoffův prostor, a ${ displaystyle C (X)}$ být prostorem spojitých funkcí ${ displaystyle f dvojtečka X až mathbb {R}}$ s bodová konvergence topologie.

${ displaystyle X}$ splňuje ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle C (X)}$ je Fréchet – Urysohn kdyby a jen kdyby ${ displaystyle C (X)}$ je silný Fréchet – Urysohn.^[18]
${ displaystyle X}$ splňuje ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( mathbf { Omega}, mathbf { Omega})}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle C (X)}$ má spočítatelná silná těsnost ventilátoru.^[19]
${ displaystyle X}$ splňuje ${ displaystyle { text {S}} _ { text {fin}} ( mathbf { Omega}, mathbf { Omega})}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle C (X)}$ má spočítatelná těsnost ventilátoru.^[20]^[5]

Viz také

Reference

^ Menger, Karl (1924). Einige Überdeckungssätze der punktmengenlehre. Sitzungsberichte der Wiener Akademie. 133. str. 421–444. doi:10.1007/978-3-7091-6110-4_14. ISBN 978-3-7091-7282-7.
^ ^A ^b Hurewicz, Witold (1926). „Über eine verallgemeinerung des Borelschen Theorems“. Mathematische Zeitschrift. 24 (1): 401–421. doi:10.1007 / bf01216792.
^ ^A ^b ^C Scheepers, Marion (1996). „Kombinatorika otevřených obalů I: Ramseyova teorie“. Topologie a její aplikace. 69: 31–62. doi:10.1016/0166-8641(95)00067-4.
^ Kocinac, Ljubisa D. R. (2015). „Principy výběru hvězd: průzkum“. Khayyam Journal of Mathematics. 1: 82–106.
^ ^A ^b ^C Jen, Winfried; Miller, Arnold; Scheepers, Marion; Szeptycki, Paul (1996). "Kombinatorika otevřených obalů II". Topologie a její aplikace. 73 (3): 241–266. arXiv:matematika / 9509211. doi:10.1016 / S0166-8641 (96) 00075-2.
^ Scheepers, Marion (01.01.1995). „Přímý důkaz Telgárského věty“. Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (11): 3483–3485. doi:10.1090 / S0002-9939-1995-1273523-1. ISSN 0002-9939.
^ Telgársky, Rastislav (01.06.1984). „On games of Topsoe“. Mathematica Scandinavica. 54: 170–176. doi:10,7146 / math.scand.a-12050. ISSN 1903-1807.
^ Steven, Clontz (31. 7. 2017). „Aplikace omezených informačních strategií ve hře Menger“. Komentáře Mathematicae Universitatis Carolinae. Univerzita Karlova v Praze, Karolinum Press. 58 (2): 225–239. doi:10.14712/1213-7243.2015.201. ISSN 0010-2628.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Pawlikowski, Janusz (1994). „Neurčené sady point-open her“. Fundamenta Mathematicae. 144 (3): 279–285. ISSN 0016-2736.
^ Jordan, Francis (2020). "O nestabilitě topologické hry související s konsonancí". Topologie a její aplikace. Elsevier BV. 271: 106990. doi:10.1016 / j.topol.2019.106990. ISSN 0166-8641.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ ^A ^b Rothberger, Fritz (1938). „Eine Verschärfung der Eigenschaft C“. Fundamenta Mathematicae. 30: 50–55. doi:10,4064 / fm-30-1-50-55.
^ Hurewicz, Witold (1927). „Über Folgen stetiger Funktionen“. Fundamenta Mathematicae. 9: 193–210. doi:10,4064 / fm-9-1-193-210.
^ Fremlin, David; Miller, Arnold (1988). „K některým vlastnostem Hurewicze, Mengera a Rothbergera“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. 129: 17–33. doi:10,4064 / fm-129-1-17-33.
^ ^A ^b Recław, Ireneusz (1994). „Každá Lusinova sada není ve hře point-open určena.“. Fundamenta Mathematicae. 144: 43–54. doi:10,4064 / fm-144-1-43-54.
^ Aurichi, Leandro (2010). „D-Spaces, topologické hry a zásady výběru“ (PDF). Sborník topologie. 36: 107–122.
^ Szewczak, Piotr; Tsaban, Boaz (2016). "Produkt prostorů Menger, II: obecné prostory". arXiv:1607.01687 [matematika. GN ].
^ Galvin, Fred; Miller, Arnold (1984). " ${ displaystyle gamma}$ -sady a další singulární množiny reálných čísel ". Topologie a její aplikace. 17 (2): 145–155. doi:10.1016/0166-8641(84)90038-5.
^ Gerlits, J .; Nagy, Zs. (1982). "Některé vlastnosti ${ displaystyle C (X)}$ „Já“. Topologie a její aplikace. 14 (2): 151–161. doi:10.1016/0166-8641(82)90065-7.
^ Sakai, Masami (1988). "Vlastnictví ${ displaystyle C ''}$ a funkční prostory ". Proceedings of the American Mathematical Society. 104 (9): 917–919. doi:10.1090 / S0002-9939-97-03897-5.
^ Arhangel'skii, Alexander (1986). "Hurewiczovy prostory, analytické množiny a vějířovost prostorů funkcí". Sovětská matematika. Dokl. 2: 396–399.

[Karl_Menger-1] Menger, Karl (1924). Einige Überdeckungssätze der punktmengenlehre. Sitzungsberichte der Wiener Akademie. 133. str. 421–444. doi:10.1007/978-3-7091-6110-4_14. ISBN 978-3-7091-7282-7.

[:0-2] A ^b Hurewicz, Witold (1926). „Über eine verallgemeinerung des Borelschen Theorems“. Mathematische Zeitschrift. 24 (1): 401–421. doi:10.1007 / bf01216792.

[coc1-3] A ^b ^C Scheepers, Marion (1996). „Kombinatorika otevřených obalů I: Ramseyova teorie“. Topologie a její aplikace. 69: 31–62. doi:10.1016/0166-8641(95)00067-4.

[Kssp-4] Kocinac, Ljubisa D. R. (2015). „Principy výběru hvězd: průzkum“. Khayyam Journal of Mathematics. 1: 82–106.

[coc2-5] A ^b ^C Jen, Winfried; Miller, Arnold; Scheepers, Marion; Szeptycki, Paul (1996). "Kombinatorika otevřených obalů II". Topologie a její aplikace. 73 (3): 241–266. arXiv:matematika / 9509211. doi:10.1016 / S0166-8641 (96) 00075-2.

[6] Scheepers, Marion (01.01.1995). „Přímý důkaz Telgárského věty“. Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (11): 3483–3485. doi:10.1090 / S0002-9939-1995-1273523-1. ISSN 0002-9939.

[7] Telgársky, Rastislav (01.06.1984). „On games of Topsoe“. Mathematica Scandinavica. 54: 170–176. doi:10,7146 / math.scand.a-12050. ISSN 1903-1807.

[8] Steven, Clontz (31. 7. 2017). „Aplikace omezených informačních strategií ve hře Menger“. Komentáře Mathematicae Universitatis Carolinae. Univerzita Karlova v Praze, Karolinum Press. 58 (2): 225–239. doi:10.14712/1213-7243.2015.201. ISSN 0010-2628.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[pawlikowski-9] Pawlikowski, Janusz (1994). „Neurčené sady point-open her“. Fundamenta Mathematicae. 144 (3): 279–285. ISSN 0016-2736.

[10] Jordan, Francis (2020). "O nestabilitě topologické hry související s konsonancí". Topologie a její aplikace. Elsevier BV. 271: 106990. doi:10.1016 / j.topol.2019.106990. ISSN 0166-8641.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[:1-11] A ^b Rothberger, Fritz (1938). „Eine Verschärfung der Eigenschaft C“. Fundamenta Mathematicae. 30: 50–55. doi:10,4064 / fm-30-1-50-55.

[12] Hurewicz, Witold (1927). „Über Folgen stetiger Funktionen“. Fundamenta Mathematicae. 9: 193–210. doi:10,4064 / fm-9-1-193-210.

[13] Fremlin, David; Miller, Arnold (1988). „K některým vlastnostem Hurewicze, Mengera a Rothbergera“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. 129: 17–33. doi:10,4064 / fm-129-1-17-33.

[:2-14] A ^b Recław, Ireneusz (1994). „Každá Lusinova sada není ve hře point-open určena.“. Fundamenta Mathematicae. 144: 43–54. doi:10,4064 / fm-144-1-43-54.

[15] Aurichi, Leandro (2010). „D-Spaces, topologické hry a zásady výběru“ (PDF). Sborník topologie. 36: 107–122.

[16] Szewczak, Piotr; Tsaban, Boaz (2016). "Produkt prostorů Menger, II: obecné prostory". arXiv:1607.01687 [matematika. GN ].

[17] Galvin, Fred; Miller, Arnold (1984). " ${ displaystyle gamma}$ -sady a další singulární množiny reálných čísel ". Topologie a její aplikace. 17 (2): 145–155. doi:10.1016/0166-8641(84)90038-5.

[18] Gerlits, J .; Nagy, Zs. (1982). "Některé vlastnosti ${ displaystyle C (X)}$ „Já“. Topologie a její aplikace. 14 (2): 151–161. doi:10.1016/0166-8641(82)90065-7.

[19] Sakai, Masami (1988). "Vlastnictví ${ displaystyle C ''}$ a funkční prostory ". Proceedings of the American Mathematical Society. 104 (9): 917–919. doi:10.1090 / S0002-9939-97-03897-5.

[20] Arhangel'skii, Alexander (1986). "Hurewiczovy prostory, analytické množiny a vějířovost prostorů funkcí". Sovětská matematika. Dokl. 2: 396–399.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Topologie
Pole	Obecné (bodová sada) Algebraický Kombinační Kontinuum Rozdíl Geometrický nízkodimenzionální Homologie kohomologie Set-teoretický
Klíčové koncepty	Otevřená sada / Uzavřená sada Kontinuita Prostor kompaktní Hausdorff metrický jednotný Homotopy homotopická skupina základní skupina Zjednodušený komplex CW komplex Rozdělovač Druhý spočetný prostor
Kategorie Matematický portál Wikibook Wikiverzita Témata Všeobecné algebraický geometrický Publikace