Hurewiczův prostor - Hurewicz space

V matematice, a Hurewiczův prostor je topologický prostor který splňuje určité základní princip výběru to zobecňuje σ-kompaktnost. Hurewiczův prostor je prostor, ve kterém pro každou sekvenci otevřených obalů ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prostoru jsou konečné sady ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} subset { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {F}} _ {2} subset { mathcal {U}} _ { 2}, ldots}$ tak, že každý bod prostoru patří všem, ale konečně mnoha množinám ${ displaystyle bigcup { mathcal {F}} _ {1}, bigcup { mathcal {F}} _ {2}, ldots}$ .

Dějiny

V roce 1926 Witold Hurewicz^[1] představil výše uvedenou vlastnost topologických prostorů, která je formálně silnější než Mengerův majetek. Nevěděl, jestli Mengerova domněnka je pravda a zda je jeho vlastnost přísně silnější než vlastnost Menger, ale domníval se, že ve třídě metrických prostorů je jeho vlastnost ekvivalentní ${ displaystyle sigma}$-kompaktnost.

Hurewiczova domněnka

Hurewicz si to domyslel ZFC každý metrický prostor Hurewicz je kompaktní σ. Jen, Millere, Scheepers a Szeptycki^[2] dokázal, že Hurewiczova domněnka je nepravdivá, tím, že ukázal, že v ZFC existuje množina reálných čísel, která je Menger, ale ne σ-kompaktní. Jejich důkaz byl dichotomický a množina svědků selhání domněnky silně závisí na tom, zda určitý (nerozhodnutelný) axiom platí nebo ne.

Bartoszyński a Shelah^[3] (viz také Tsaban řešení založené na jejich práci ^[4] ) dal jednotný příklad ZFC Hurewiczovy podmnožiny reálné linie, která není σ-kompaktní.

Hurewiczův problém

Hurewicz se zeptal, zda v ZFC jeho majetek je přísně silnější než majetek Menger. V roce 2002 Chaber a Pol v nepublikované poznámce pomocí dichotomického důkazu ukázali, že existuje Hurewiczova podmnožina skutečné linie, která není Menger. V roce 2008 Tsaban a Zdomskyy^[5] dal jednotný příklad Hurewiczovy podmnožiny skutečné linie, která je Menger, ale ne Hurewicz.

Charakterizace

Kombinatorická charakterizace

Pro podmnožiny reálné linie lze vlastnost Hurewicz charakterizovat pomocí spojitých funkcí do Baireův prostor ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$. Pro funkce ${ displaystyle f, g in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$, psát si ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ -li ${ Displaystyle f (n) leq g (n)}$ pro všechny ale konečně mnoho přirozených čísel ${ displaystyle n}$. Podmnožina ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ je omezen, pokud existuje funkce ${ displaystyle g in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$takhle ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ pro všechny funkce ${ displaystyle f v A}$. Podmnožina ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ je neomezený, pokud není ohraničený. Hurewicz dokázal, že podmnožinou skutečné linie je Hurewicz, pokud je každý souvislý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire neomezený. Zejména každá podmnožina skutečné linie mohutnosti menší než hraniční číslo ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ je Hurewicz.

Topologická charakterizace hry

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem. Hra Hurewicz se hrála dál ${ displaystyle X}$ je hra se dvěma hráči Alice a Bobem.

1. kolo: Alice zvolí otevřený obal ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob zvolí konečnou množinu ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} podmnožina { mathcal {U}} _ {1}}$.

2. kolo: Alice zvolí otevřený obal ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {2}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob zvolí konečnou množinu ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2} podmnožina { mathcal {U}} _ {2}}$.

atd.

Pokud každý bod prostoru ${ displaystyle X}$ patří ke všem kromě konečně mnoha sad ${ displaystyle bigcup { mathcal {F}} _ {1}, bigcup { mathcal {F}} _ {2}, ldots}$ , pak Bob vyhraje hru Hurewicz. Jinak Alice vyhrává.

Hráč má vítěznou strategii, pokud ví, jak hrát, aby vyhrál hru (formálně je vítězná strategie funkcí).

Topologickým prostorem je Hurewicz, pokud Alice nemá žádnou výherní strategii ve hře Hurewicz hranou na tomto prostoru.^[6]

${ displaystyle G _ { delta}}$- charakterizace sousedství

A Tychonoffův prostor ${ displaystyle X}$ je Hurewicz iff pro každý kompaktní prostor ${ displaystyle C}$ obsahující mezeru ${ displaystyle X}$a ${ displaystyle G _ { delta}}$ podmnožina G z ${ displaystyle C}$ obsahující mezeru ${ displaystyle X}$, tady je ${ displaystyle sigma}$-kompaktní sada ${ displaystyle Y}$ s ${ displaystyle X podmnožina Y podmnožina G}$.^[2]

Vlastnosti

• Každý kompaktní a dokonce i σ-kompaktní prostor je Hurewicz.
• Každý prostor Hurewicz je Mengerův prostor, a tedy je to Lindelöfův prostor
• Kontinuální obraz prostoru Hurewicze je Hurewicz
• Majetek Hurewicz je uzavřen ${ displaystyle F _ { sigma}}$ podmnožiny
• Hurewiczova vlastnost charakterizuje filtry, jejichž Mathias nutí pojem nepřidává neomezené funkce.^[7]

Reference