Hurewiczův prostor - Hurewicz space
V matematice, a Hurewiczův prostor je topologický prostor který splňuje určité základní princip výběru to zobecňuje σ-kompaktnost. Hurewiczův prostor je prostor, ve kterém pro každou sekvenci otevřených obalů prostoru jsou konečné sady tak, že každý bod prostoru patří všem, ale konečně mnoha množinám .
Dějiny
V roce 1926 Witold Hurewicz[1] představil výše uvedenou vlastnost topologických prostorů, která je formálně silnější než Mengerův majetek. Nevěděl, jestli Mengerova domněnka je pravda a zda je jeho vlastnost přísně silnější než vlastnost Menger, ale domníval se, že ve třídě metrických prostorů je jeho vlastnost ekvivalentní -kompaktnost.
Hurewiczova domněnka
Hurewicz si to domyslel ZFC každý metrický prostor Hurewicz je kompaktní σ. Jen, Millere, Scheepers a Szeptycki[2] dokázal, že Hurewiczova domněnka je nepravdivá, tím, že ukázal, že v ZFC existuje množina reálných čísel, která je Menger, ale ne σ-kompaktní. Jejich důkaz byl dichotomický a množina svědků selhání domněnky silně závisí na tom, zda určitý (nerozhodnutelný) axiom platí nebo ne.
Bartoszyński a Shelah[3] (viz také Tsaban řešení založené na jejich práci [4] ) dal jednotný příklad ZFC Hurewiczovy podmnožiny reálné linie, která není σ-kompaktní.
Hurewiczův problém
Hurewicz se zeptal, zda v ZFC jeho majetek je přísně silnější než majetek Menger. V roce 2002 Chaber a Pol v nepublikované poznámce pomocí dichotomického důkazu ukázali, že existuje Hurewiczova podmnožina skutečné linie, která není Menger. V roce 2008 Tsaban a Zdomskyy[5] dal jednotný příklad Hurewiczovy podmnožiny skutečné linie, která je Menger, ale ne Hurewicz.
Charakterizace
Kombinatorická charakterizace
Pro podmnožiny reálné linie lze vlastnost Hurewicz charakterizovat pomocí spojitých funkcí do Baireův prostor . Pro funkce , psát si -li pro všechny ale konečně mnoho přirozených čísel . Podmnožina z je omezen, pokud existuje funkce takhle pro všechny funkce . Podmnožina je neomezený, pokud není ohraničený. Hurewicz dokázal, že podmnožinou skutečné linie je Hurewicz, pokud je každý souvislý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire neomezený. Zejména každá podmnožina skutečné linie mohutnosti menší než hraniční číslo je Hurewicz.
Topologická charakterizace hry
Nechat být topologickým prostorem. Hra Hurewicz se hrála dál je hra se dvěma hráči Alice a Bobem.
1. kolo: Alice zvolí otevřený obal z . Bob zvolí konečnou množinu .
2. kolo: Alice zvolí otevřený obal z . Bob zvolí konečnou množinu .
atd.
Pokud každý bod prostoru patří ke všem kromě konečně mnoha sad , pak Bob vyhraje hru Hurewicz. Jinak Alice vyhrává.
Hráč má vítěznou strategii, pokud ví, jak hrát, aby vyhrál hru (formálně je vítězná strategie funkcí).
Topologickým prostorem je Hurewicz, pokud Alice nemá žádnou výherní strategii ve hře Hurewicz hranou na tomto prostoru.[6]
- charakterizace sousedství
A Tychonoffův prostor je Hurewicz iff pro každý kompaktní prostor obsahující mezeru a podmnožina G z obsahující mezeru , tady je -kompaktní sada s .[2]
Vlastnosti
- Každý kompaktní a dokonce i σ-kompaktní prostor je Hurewicz.
- Každý prostor Hurewicz je Mengerův prostor, a tedy je to Lindelöfův prostor
- Kontinuální obraz prostoru Hurewicze je Hurewicz
- Majetek Hurewicz je uzavřen podmnožiny
- Hurewiczova vlastnost charakterizuje filtry, jejichž Mathias nutí pojem nepřidává neomezené funkce.[7]
Reference
- ^ Hurewicz, Witold (1926). „Über eine Verallgemeinerung des Borelschen Theorems“. Mathematische Zeitschrift (v němčině). 24 (1): 401–421. doi:10.1007 / BF01216792. ISSN 0025-5874. S2CID 119867793.
- ^ A b Jen, Winfried; Miller, Arnold W .; Scheepers, Marion; Szeptycki, Paul J. (11. 11. 1996). "Kombinatorika otevřených obalů II". Topologie a její aplikace. 73 (3): 241–266. arXiv:matematika / 9509211. doi:10.1016 / S0166-8641 (96) 00075-2. S2CID 14946860.
- ^ Bartoszynski, Tomek; Shelah, Saharon (2001-11-15). Msgstr "Souvislé obrazy sad skutečností". Topologie a její aplikace. 116 (2): 243–253. arXiv:matematika / 0001051. doi:10.1016 / S0166-8641 (00) 00079-1. S2CID 14343145.
- ^ Boaz Tsaban (2011), „Menger's and Hurewicz's Problems: Solutions from" The Book "and refinements", in "The Set Theory and its Applications" Contemporary Mathematics 533, 211–226. https://arxiv.org/abs/0909.5645
- ^ Tsaban, Boaz; Zdomskyy, Lyubomyr (01.01.2008). "Váhy, pole a problém Hurewicze". Věstník Evropské matematické společnosti. 10 (3): 837–866. arXiv:matematika / 0507043. doi:10,4171 / jems / 132. ISSN 1435-9855. S2CID 13902742.
- ^ Scheepers, Marion (1996). „Kombinatorika otevřených obalů I: Ramseyova teorie“. Topologie a její aplikace. 69: 31–62. doi:10.1016/0166-8641(95)00067-4.
- ^ Chodounský, David; Repovš, Dušan; Zdomskyy, Lyubomyr (01.12.2015). "Mathiasovy vynucení a kombinatorické krycí vlastnosti filtrů". The Journal of Symbolic Logic. 80 (4): 1398–1410. arXiv:1401.2283. doi:10.1017 / jsl.2014.73. ISSN 0022-4812. S2CID 15867466.