Γ-prostor - Γ-space

V matematice, a ${ displaystyle gamma}$-prostor je topologický prostor který uspokojuje určité základní princip výběru. Nekonečným krytem topologického prostoru je ${ displaystyle omega}$-obal, pokud je každá konečná podmnožina tohoto prostoru obsažena v nějakém členu obálky a celý prostor není členem obálky. Kryt topologického prostoru je a ${ displaystyle gamma}$- kryt, pokud každý bod tohoto prostoru patří všem, ale konečně mnoha členům tohoto krytu ${ displaystyle gamma}$-prostor je prostor, ve kterém pro každý otevřený ${ displaystyle omega}$-obal obsahuje a ${ displaystyle gamma}$-Pokrýt.

Dějiny

Gerlits a Nagy představili pojem γ-prostorů.^[1] Uvedli některé topologické vlastnosti a vyjmenovali je řeckými písmeny. Výše uvedená vlastnost byla třetí v tomto seznamu, a proto se jí říká γ-vlastnost.

Charakterizace

Kombinatorická charakterizace

Nechat ${ displaystyle [ mathbb {N}] ^ { infty}}$ být množinou všech nekonečných podmnožin množiny přirozených čísel. Sada ${ displaystyle A podmnožina [ mathbb {N}] ^ { infty}}$je vystředěn, je-li průnik konečně mnoha prvků ${ displaystyle A}$ je nekonečný. Každá sada ${ displaystyle a in [ mathbb {N}] ^ { infty}}$ztotožňujeme se s jeho rostoucím výčtem, a tedy množinou ${ displaystyle a}$ můžeme zacházet jako člen Baireův prostor ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$. Proto, ${ displaystyle [ mathbb {N}] ^ { infty}}$je topologický prostor jako podprostor prostoru Baire ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$. A nulový rozměr oddělitelný metrický prostor je γ-prostor právě tehdy, když každý souvislý obraz tohoto prostoru do prostoru ${ displaystyle [ mathbb {N}] ^ { infty}}$který je na střed má pseudointersekce.^[2]

Topologická charakterizace hry

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem. The ${ displaystyle gamma}$- má pseudo křižovatku, pokud se hraje setová hra ${ displaystyle X}$ je hra se dvěma hráči Alice a Bobem.

1. kolo: Alice zvolí otevřené ${ displaystyle omega}$-Pokrýt ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob si vybere sadu ${ displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}}$.

2. kolo: Alice zvolí otevřené ${ displaystyle omega}$-Pokrýt ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {2}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob si vybere sadu ${ displaystyle U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}}$.

atd.

Li ${ displaystyle {U_ {n}: n v mathbb {N} }}$ je ${ displaystyle gamma}$-kryt vesmíru ${ displaystyle X}$, pak Bob vyhraje hru. Jinak Alice vyhrává.

Hráč má vítěznou strategii, pokud ví, jak hrát, aby vyhrál hru (formálně je vítězná strategie funkcí).

Topologický prostor je a ${ displaystyle gamma}$-prostor, pokud Alice nemá vítězné strategie ${ displaystyle gamma}$- hra hraná na tomto prostoru.^[1]

Vlastnosti

• A topologický prostor je γ-prostor právě tehdy, když splňuje ${ displaystyle { text {S}} _ {1} ( Omega, Gamma)}$ princip výběru.^[1]
• Každý Lindelöf prostor mohutnosti menší než pseudointersekce číslo ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je ${ displaystyle gamma}$-prostor.
• Každý ${ displaystyle gamma}$-prostor je Rothbergerův prostor,^[3] a tak to má silná míra nula.

• Nechat ${ displaystyle X}$ být Tychonoffův prostor, a ${ displaystyle C (X)}$ být prostorem spojitých funkcí ${ displaystyle f dvojtečka X až mathbb {R}}$ s bodová konvergence topologie. Prostor ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle gamma}$-prostor právě tehdy ${ displaystyle C (X)}$ je Fréchet – Urysohn kdyby a jen kdyby ${ displaystyle C (X)}$ je silný Fréchet – Urysohn.^[1]
• Nechat ${ displaystyle A}$ být ${ displaystyle { binom { mathbf { Omega}} { mathbf { Gamma}}}}$ podmnožina skutečné linie a ${ displaystyle M}$ být hubený podmnožina skutečné linie. Pak sada ${ displaystyle A + M = {a + x: a v A, x v M }}$ je hubený.^[4]

Reference