Mengerův prostor - Menger space

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Mengerův prostor"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, a Mengerův prostor je topologický prostor který uspokojuje určité základní princip výběru to zobecňuje σ-kompaktnost. Mengerův prostor je prostor, ve kterém pro každou sekvenci otevřených krytů ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prostoru jsou konečné sady ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} subset { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {F}} _ {2} subset { mathcal {U}} _ { 2}, ldots}$ taková, že rodina ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {1} cup { mathcal {F}} _ {2} cup cdots}$ pokrývá prostor.

Dějiny

V roce 1924 Karl Menger ^[1] představil následující základní vlastnost pro metrické prostory: Každý základ topologie obsahuje spočítatelnou rodinu sad s mizejícími průměry, která pokrývá prostor. Brzy nato Witold Hurewicz ^[2] zjistil, že Mengerovu základní vlastnost lze přeformulovat do výše uvedené formy pomocí sekvencí otevřených obalů.

Mengerova domněnka

Menger si to domyslel ZFC každý metrický prostor Menger je σ-kompaktní. Fremlin a Miller ^[3] dokázal, že Mengerova domněnka je nepravdivá, tím, že ukázal, že v ZFC existuje sada reálných čísel, která jsou Menger, ale ne σ-kompaktní. Fremlin-Millerův důkaz byl dichotomický a množina svědků selhání domněnky silně závisí na tom, zda určitá (nerozhodnutelná) axiomholds nebo ne.

Bartoszyński a Tsaban^[4] dal jednotný příklad ZFC podmnožiny Menger reálné linie, která není σ-kompaktní.

Kombinatorická charakterizace

Pro podmnožiny reálné linie lze vlastnost Menger charakterizovat pomocí spojitých funkcí do Baireův prostor ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$.Pro funkce ${ displaystyle f, g in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$, psát si ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$ -li ${ Displaystyle f (n) leq g (n)}$ pro všechny ale konečně mnoho přirozených čísel ${ displaystyle n}$. Podmnožina ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ dominuje pokud pro každou funkci ${ displaystyle f in mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ existuje funkce ${ displaystyle g v A}$ takhle ${ displaystyle f leq ^ {*} g}$. Hurewicz dokázal, že podmnožinou reálné linie je Menger, pokud každý spojitý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire nedominuje. Zejména každá podmnožina skutečné linie mohutnosti menší než dominující číslo ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ je Menger.

Mohutnost Bartoszyńského a Tsabanova protikladu k Mengerově domněnce je${ displaystyle { mathfrak {d}}}$.

Vlastnosti

• Každý kompaktní a dokonce i σ-kompaktní prostor je Menger.
• Každý prostor Menger je Lindelöfův prostor
• Kontinuální obraz Mengerova prostoru je Menger
• Majetek Menger je uzavřen ${ displaystyle F _ { sigma}}$ podmnožiny
• Mengerova vlastnost charakterizuje filtry, jejichž Mathias nutí pojem nepřidává dominující funkce.^[5]

Reference