Fréchet – Urysohnův prostor - Fréchet–Urysohn space - Wikipedia

V oblasti topologie, a Fréchet – Urysohnův prostor je topologický prostor $X$ s vlastností, že pro každou podmnožinu $S \subseteq X$ the uzavření z $S$ v $X$ je totožný s sekvenční uzavření $S$ v $X$ . Fréchet – Urysohnovy prostory jsou zvláštním typem sekvenční prostor.

Fréchet – Urysohnovy prostory jsou nejobecnější třída prostorů, pro které sekvence stačí určit všechny topologické vlastnosti podmnožin prostoru. To znamená, že Fréchet – Urysohnovy prostory jsou přesně ty prostory, pro které k úplnému určení topologie prostoru stačí znalost toho, které sekvence konvergují ke kterým limitům (a které sekvence nikoli). Každý prostor Fréchet – Urysohn je prostorem sekvenčním, ale ne naopak.

Prostor je pojmenován po Maurice Fréchet a Pavel Urysohn.

Definice

Nechat $(X, τ)$ být topologický prostor.

The postupné uzavírání sady $S$ v $X$ je sada:

SeqCl S := [S] násl := {X \in X : existuje sekvence s • = (s i) \infty i =1 v S takhle s • \to X v (X, τ)}

kde $SeqCl X S$ nebo $SeqCl (X, τ) S$ může být napsáno, pokud je potřeba jasnost.

Prostor $(X, τ)$ se říká, že je Fréchet – Urysohn mezera, pokud pro každou podmnožinu podmnožinu $S$ z $X$ , $Cl X S = SeqCl X S$ , kde označuje uzavření z $S$ v $X$ .

Postupně otevřené / uzavřené sady

Definice: Pokud $S$ je libovolná podmnožina $X$ pak:

sekvence $X 1, X 2, ...$ je nakonec v $S$ pokud existuje kladné celé číslo $N$ takhle $X n \in S$ pro všechna celá čísla $n \geq N$ .
S je postupně otevřené pokud každá sekvence (X_n) v X konvergující k bodu S je nakonec v S;
- Typicky, pokud $X$ se rozumí $SeqCl S$ je napsán místo $SeqCl X S$ .
S je postupně uzavřeno -li S = SeqCl_X Snebo ekvivalentně, kdykoli X_• = (X_i)_{i ∈ Já} je sekvence v S konvergující k X, pak X musí být také v S.
- The doplněk sekvenčně otevřené množiny je sekvenčně uzavřená množina a naopak.

Nechat $SeqOpen (X, τ)$ označuje množinu všech postupně otevřených podmnožin topologického prostoru $(X, τ)$ . Sada $SeqOpen (X, τ)$ je topologie na $X$ který obsahuje původní topologii $τ$ (tj. $τ \subseteq SeqOpen (X, τ)$ ).

Silný Fréchet – Urysohnův prostor

Topologický prostor $X$ je silný Fréchet – Urysohnův prostor pokud pro každý bod $X \in X$ a každá sekvence $A 1, A 2, ...$ podmnožin prostoru $X$ takhle ${ displaystyle x in bigcap _ {n} { overline {A_ {n}}}}$ existují body $A 1 \in A 1, A 2 \in A 2, ...$ takhle $(A i) \infty i =1 \to X$ v $(X, τ)$ .

Výše uvedené vlastnosti lze vyjádřit jako principy výběru.

Kontrast k sekvenčním prostorům

Každá otevřená podmnožina $X$ je postupně otevřená a každá uzavřená sada je postupně uzavřena. Konverze nejsou obecně pravdivé. Volají se prostory, pro které platí obrácení sekvenční prostory; to znamená, že sekvenční prostor je topologický prostor, ve kterém je každá sekvenčně otevřená podmnožina nutně otevřená (nebo ekvivalentně prostor, ve kterém je každá sekvenčně uzavřená podmnožina nutně uzavřena). Každý Fréchet-Urysohn prostor je sekvenční prostor, ale existují i sekvenční prostory, které nejsou Fréchet-Urysohn prostory.

Sekvenční (resp. Fréchet-Urysohn) mezery lze považovat za přesně tyto mezery $X$ kde pro každou jednotlivou danou podmnožinu $S \subseteq X$ , znalost kterých sekvencí v $X$ konvergovat ke kterému bodu (bodům) $X$ (a které ne) stačí k určení, zda $S$ je uzavřen $X$ (resp. k určení uzavření $S$ v $X$ ).^{[poznámka 1]} Sekvenční prostory jsou tedy tyto prostory $X$ pro které sekvence v $X$ lze použít jako "test" k určení, zda je daná podmnožina otevřená (nebo ekvivalentně uzavřená) v systému Windows $X$ ; nebo řečeno jinak, sekvenční prostory jsou ty prostory, jejichž topologie lze zcela charakterizovat z hlediska konvergence sekvence. V jakémkoli prostoru, který je ne sekvenční, existuje podmnožina, pro kterou tento „test“ dává „falešně pozitivní."^{[poznámka 2]}

Charakterizace

Nechat $(X, τ)$ být topologickým prostorem. Pak jsou ekvivalentní následující:

$X$ je prostor Fréchet – Urysohn;
Pro každou podmnožinu $S \subseteq X$ , $SeqCl X S = Cl X S$ ;
Každý podprostor $X$ je sekvenční prostor;
Pro jakoukoli podmnožinu S ⊆ X to je ne uzavřeno X a pro každého X ∈ (tř S) ∖ S, existuje sekvence v S který konverguje k X.
- Porovnejte tuto podmínku s následující charakteristikou a sekvenční prostor:
Pro jakoukoli podmnožinu $S \subseteq X$ to je ne uzavřeno $X$ , tady existuje nějaký $X \in (tř S) ∖ S$ pro které existuje sekvence v $S$ který konverguje k $X$ .^[1]
- Díky tomu charakterizace naznačuje, že každý prostor Fréchet – Urysohn je prostorem sekvenčním.

Příklady

Každý první spočetný prostor je prostor Fréchet – Urysohn.

Vlastnosti

Každý prostor Fréchet – Urysohn je prostorem sekvenčním. Opačná implikace obecně není pravdivá.^[2]^[3]

Viz také

Axiomy spočitatelnosti
Nejprve spočítatelné místo - Topologický prostor, kde každý bod má spočetnou základnu sousedství
Sekvenční prostor - A topologický prostor to lze charakterizovat pomocí sekvencí

Poznámky

^ Samozřejmě, pokud byste mohli tyto znalosti použít k určení Všechno sad ${T : S \subset T \subseteq X$ } které jsou uzavřené, pak můžete určit uzavření $S$ . Tato interpretace předpokládá, že učiníte toto rozhodnutí pouze k dané sadě $S$ a ne do jiných sad; řekl jinak, nemůžete současně použít tento "test" na nekonečně mnoho podmnožin (např. nemůžete použít něco podobného jako axiom volby ). Uzavření sady se odehrává ve Fréchet-Urysohnech $S$ lze určit, aniž by bylo nutné uvažovat o jakékoli jiné sadě než $S$ .
^ Přestože by tento „test“ (který se pokouší odpovědět „je tento soubor otevřený (resp. Uzavřený)?“) Mohl potenciálně poskytnout „falešně pozitivní“, nikdy nemůže dát „falešně negativní; "je to proto, že každá otevřená (resp. uzavřená) podmnožina $S$ je nutně postupně otevřeno (resp. postupně uzavřeno), takže tento „test“ nebude u žádné sady nikdy indikovat „false“ $S$ který je skutečně otevřený (resp. uzavřený).

Reference

^ Arkhangel'skii, A.V. a Pontryagin L.S., Obecná topologie I, definice 9 str.12
^ Engelking 1989, příklad 1.6.18
^ Ma, Dan. „Poznámka o prostoru Arens“. Citováno 1. srpna 2013.

Arkhangel'skii, A.V. a Pontryagin, L.S., Obecná topologie I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
Booth, P.I. a Tillotson, A., Monoidní uzavřené, kartézské uzavřené a výhodné kategorie topologických prostorů Pacific J. Math., 88 (1980), str. 35–53.
Engelking, R., Obecná topologie, Heldermann, Berlin (1989). Přepracované a dokončené vydání.
Franklin, S. P., "Prostory, ve kterých sekvenci stačí ", Fond. Matematika. 57 (1965), 107-115.
Franklin, S. P., "Prostory, ve kterých sekvenci stačí II ", Fond. Matematika. 61 (1967), 51-56.
Goreham, Anthony, "Sekvenční konvergence v topologických prostorech "
Steenrod, N.E., Vhodná kategorie topologických prostorů, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.

[1] Samozřejmě, pokud byste mohli tyto znalosti použít k určení Všechno sad ${T : S \subset T \subseteq X$ } které jsou uzavřené, pak můžete určit uzavření $S$ . Tato interpretace předpokládá, že učiníte toto rozhodnutí pouze k dané sadě $S$ a ne do jiných sad; řekl jinak, nemůžete současně použít tento "test" na nekonečně mnoho podmnožin (např. nemůžete použít něco podobného jako axiom volby ). Uzavření sady se odehrává ve Fréchet-Urysohnech $S$ lze určit, aniž by bylo nutné uvažovat o jakékoli jiné sadě než $S$ .

[2] Přestože by tento „test“ (který se pokouší odpovědět „je tento soubor otevřený (resp. Uzavřený)?“) Mohl potenciálně poskytnout „falešně pozitivní“, nikdy nemůže dát „falešně negativní; "je to proto, že každá otevřená (resp. uzavřená) podmnožina $S$ je nutně postupně otevřeno (resp. postupně uzavřeno), takže tento „test“ nebude u žádné sady nikdy indikovat „false“ $S$ který je skutečně otevřený (resp. uzavřený).

[Arkhangel'skii,_A.V._and_Pontryagin_L.S.-3] Arkhangel'skii, A.V. a Pontryagin L.S., Obecná topologie I, definice 9 str.12

[4] Engelking 1989, příklad 1.6.18

[5] Ma, Dan. „Poznámka o prostoru Arens“. Citováno 1. srpna 2013.

[poznámka 1]

[poznámka 2]

[1]

[2]

[3]