Rothbergerův prostor - Rothberger space - Wikipedia

V matematice, a Rothbergerův prostor je topologický prostor který uspokojuje určité základní princip výběru. Rothbergerův prostor je prostor, ve kterém pro každou sekvenci otevřených obalů ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ prostoru jsou sady ${ displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ taková, že rodina ${ displaystyle {U_ {n}: n v mathbb {N} }}$ pokrývá prostor.

Dějiny

V roce 1938 představil Fritz Rothberger svůj majetek známý jako ${ displaystyle C ''}$.^[1]

Charakterizace

Kombinatorická charakterizace

Pro podmnožiny reálné linie lze vlastnost Rothberger charakterizovat pomocí spojitých funkcí do Baireův prostor ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$. Podmnožina ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ je hádat, pokud existuje funkce ${ displaystyle g v A}$ takové, že sady ${ displaystyle {n: f (n) = g (n) }}$ jsou nekonečné pro všechny funkce ${ displaystyle f v A}$. Podmnožinou skutečné linie je Rothberger, pokud je každý spojitý obraz tohoto prostoru do prostoru Baire hádatelný. Zejména každá podmnožina skutečné linie mohutnosti menší než ${ displaystyle mathrm {cov} ({ mathcal {M}})}$^[2] je Rothberger.

Topologická charakterizace hry

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem. Hra Rothberger ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál dál ${ displaystyle X}$ je hra se dvěma hráči Alice a Bobem.

1. kolo: Alice zvolí otevřený obal ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob si vybere sadu ${ displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}}$.

2. kolo: Alice zvolí otevřený obal ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {2}}$ z ${ displaystyle X}$. Bob zvolí konečnou množinu ${ displaystyle U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}}$.

atd.

Pokud rodina ${ displaystyle {U_ {n}: n v mathbb {N} }}$ je kryt prostoru ${ displaystyle X}$, pak Bob vyhraje hru ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$. Jinak Alice vyhrává.

Hráč má vítěznou strategii, pokud ví, jak hrát, aby vyhrál hru ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ (formálně je vítězná strategie funkcí).

• Topologickým prostorem je Rothberger, pokud Alice nemá ve hře žádnou vítěznou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na tomto prostoru.^[3]
• Nechat ${ displaystyle X}$ být metrický prostor. Bob má ve hře vítěznou strategii ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ hrál na prostoru ${ displaystyle X}$ pokud prostor ${ displaystyle X}$ je spočítatelné.^[3][4][5]

Vlastnosti

• Každý spočetný topologický prostor je Rothberger
• Každý Luzinova sada je Rothberger^[1]
• Každá Rothbergerova podmnožina skutečné linie má silná míra nula.^[1]
• V Laver model pro konzistenci Borel dohad každá Rothbergerova podmnožina skutečné linie je spočetná

Reference