Luzinův prostor - Luzin space

v matematika, a Luzinův prostor (nebo Lusinův prostor), pojmenovaný pro N. N. Luzin, je nespočet topologické T₁ prostor bez izolované body ve kterém každý nikde hustá podmnožina je počitatelný. Existuje mnoho menších variací této definice v použití: T₁ stav lze nahradit T₂ nebo T₃ a někteří autoři umožňují spočítatelný nebo dokonce libovolný počet izolovaných bodů.

Existence Luzinova prostoru je nezávislá na axiomech ZFC. Luzin (1914) ukázal, že hypotéza kontinua znamená, že existuje Luzinův prostor. Kunen (1977) ukázal, že za předpokladu Martinův Axiom a negace hypotéza kontinua, nejsou k dispozici žádné Hausdorff Luzinovy prostory.

Ve skutečné analýze

v skutečná analýza a deskriptivní teorie množin, a Luzinova sada (nebo Lusinova sada), je definována jako nespočetná podmnožina $A$ z realita tak, že každá nespočetná podmnožina $A$ je nekomunikující; to je druhé Kategorie Baire. Ekvivalentně $A$ je nespočetná sada realit, která splňuje každou první kategorii nastavenou jen v nespočetně mnoha bodech. Luzin dokázal, že pokud platí hypotéza kontinua, pak má každá neoslabující množina Luzina podmnožina. Zřejmé vlastnosti sady Luzin jsou, že musí být nenápadný (jinak je sada sama o sobě nepočítatelná skromná podmnožina ) a změřit nulu, protože každá sada kladných měr obsahuje skromnou množinu, která má také kladnou míru, a proto je nespočetná. A slabě Luzin set je nespočetná podmnožina skutečného vektorového prostoru tak, že pro jakoukoli nespočetnou podmnožinu je sada směrů mezi různými prvky podmnožiny hustá ve sféře směrů.

The dualita kategorie opatření poskytuje a opatření analog Luzinových množin - množiny kladných vnějších měr, z nichž každá nespočetná podmnožina má kladnou vnější měrnou jednotku. Tyto sady se nazývají Sierpiński sady, po Wacław Sierpiński. Sierpiński sety jsou slabě Luzinovy sety, ale nejsou to Luzinovy sety.

Příklad sady Luzin

Vyberte si kolekci 2^ℵ₀ hubené podmnožiny R takže každá skromná podmnožina je obsažena v jedné z nich. Hypotézou kontinua je možné je vyjmenovat jako S_α pro spočítatelné ordinály α. Pro každé spočítatelné pořadové číslo β vyberte skutečné číslo X_β to není v žádné ze sad S_α pro α <β, což je možné, protože spojení těchto množin je skromné, takže to není celé R. Pak nespočetná sada X všech těchto reálných čísel X_β má v každé sadě pouze spočetný počet prvků S_α, tak je to i Luzinova sada.

Složitější varianty této konstrukce vytvářejí příklady Luzinových množin, které jsou podskupinami, podpolemi nebo skutečně uzavřená podpole reálných čísel.

Reference

Arkhangelskii, A. V. (1978), „STRUKTURA A KLASIFIKACE TOPOLOGICKÝCH PROSTORŮ A KARDINÁLNÍCH INVANTŮ“, Ruské matematické průzkumy, 33 (6): 33–96, doi:10.1070 / RM1978v033n06ABEH003884 Článek zmiňující Luzinovy prostory
Efimov, B. A. (2001) [1994], "Luzinův prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Kunen, Kenneth (1977), "Luzinovy prostory", Topology Proceedings, sv. I (Conf., Auburn Univ., Auburn, Ala., 1976), s. 191–199, PAN 0450063
Lusin, N. N. (1914), „Sur un problème de M. Baire“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 158: 1258–1261
Oxtoby, John C. (1980), Míra a kategorie: přehled analogií mezi topologickými a měrnými prostory, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90508-1