Glassersova věta - Glassers master theorem - Wikipedia

v integrální počet, Glasserova hlavní věta vysvětluje, jak může určitá široká třída substitucí zjednodušit určité integrály v celém intervalu od ${ displaystyle - infty}$ na ${ displaystyle + infty.}$ Je použitelná v případech, kdy integrály musí být vykládány jako Cauchyovy hlavní hodnoty, a tím spíše je použitelné, když je integrál absolutně konverguje. Je pojmenována po M. L. Glasserovi, který ji představil v roce 1983.^[1]

Zvláštní případ: Cauchy – Schlömilchova transformace

Zvláštní případ zvaný Cauchy – Schlömilchova substituce nebo Cauchy – Schlömilchova transformace^[2] bylo známo Cauchy na počátku 19. století.^[3] Uvádí se v něm, že pokud

${ displaystyle u = x - { frac {1} {x}} ,}$

pak

${ displaystyle operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} F (u) , dx = operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} F (x ) , dx qquad ({ text {Poznámka:}} F (u) , dx, { text {not}} F (u) , du)}$

kde PV označuje hodnotu Cauchyho jistiny.

Hlavní věta

Li ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle a_ {i}}$, a ${ displaystyle b_ {i}}$ jsou reálná čísla a

${ displaystyle u = x-a- sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {| a_ {n} |} {x-b_ {n}}}}$

pak

${ displaystyle operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} F (u) , dx = operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} F (x ) , dx.}$

Příklady

• ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ^ {2} , dx} {x ^ {4} +1}} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dx} { vlevo (x - { frac {1} {x}} vpravo) ^ {2} +2}} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dx} {x ^ {2} +2}} = { frac { pi} { sqrt {2}}}.}$

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Glasser's Master Theorem“. MathWorld.