Lemniscate z Bernoulli - Lemniscate of Bernoulli

Lemniscate z Bernoulli a jeho dvě ohniska F₁ a F₂

Lemniscate z Bernoulli je křivka pedálu obdélníkového hyperbola

Sinusové spirály: rovnostranný hyperbola (

n = -2

), řádek (

n = -1

), parabola (

n = - 1 / 2

), kardioidní (

n = 1 / 2

), kruh (

n = 1

) a lemniscate z Bernoulli (

n = 2

), kde

r n = -1 n cos nθ

v polární souřadnice a jejich ekvivalenty v obdélníkové souřadnice.

v geometrie, lemniscate z Bernoulli je rovinná křivka definováno ze dvou daných bodů F₁ a F₂, známý jako ohniska, ve vzdálenosti 2C od sebe navzájem jako lokus bodů P aby PF₁·PF₂ = C². Křivka má tvar podobný číslici 8 a ∞ symbol. Jeho jméno je z lemniscatus, který je latinský pro „zdobené visícími stužkami“. Jedná se o speciální případ Cassini ovál a je racionální algebraická křivka stupně 4.

Tento lemniscate byl poprvé popsán v roce 1694 autorem Jakob Bernoulli jako modifikace elipsa, který je místo bodů, pro které je součet vzdálenosti ke každému ze dvou pevných ústřední body je konstantní. A Cassini ovál je naopak místo bodů, pro které produkt těchto vzdáleností je konstantní. V případě, že křivka prochází bodem uprostřed mezi ložisky, je ovál lemniscate z Bernoulli.

Tuto křivku lze získat jako inverzní transformace a hyperbola, s inverzí kruh ve středu hyperboly (půlící čára jeho dvou ložisek). Může být také nakreslen a mechanické spojení ve formě Wattova vazba, přičemž délky tří pruhů vazby a vzdálenost mezi jeho koncovými body byly zvoleny tak, aby tvořily a překřížený rovnoběžník.^[1]

Rovnice

Rovnice lze určit pomocí ohniskové vzdálenosti C nebo poloviční šířka A lemniscate. Tyto parametry souvisí jako ${ displaystyle a = c { sqrt {2}}}$

Své Kartézský rovnice je (až do překladu a rotace):
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2c ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ,}$
Jako parametrická rovnice:
${ displaystyle x = { frac {a cos (t)} {1+ sin ^ {2} (t)}}; qquad y = { frac {a sin (t) cos (t) } {1+ sin ^ {2} (t)}}}$
v polární souřadnice:
${ displaystyle r ^ {2} = a ^ {2} cos 2 theta ,}$
Jeho rovnice v složité letadlo^[2] je:
${ displaystyle | z-a || z-a | = a ^ {2} ,}$
v dvoucentrové bipolární souřadnice:
${ displaystyle rr '= a ^ {2} ,}$
v racionální polární souřadnice:
${ displaystyle Q = 2s-1 ,}$

Délka oblouku a eliptické funkce

Stanovení délka oblouku oblouků lemniscate vede k eliptické integrály, jak bylo objeveno v osmnáctém století. Kolem roku 1800 se eliptické funkce invertování těchto integrálů studovalo C. F. Gauss (v té době z velké části nepublikované, ale narážky v poznámkách k jeho Disquisitiones Arithmeticae ). The dobové mřížky jsou velmi zvláštní formy, jsou úměrné Gaussova celá čísla. Z tohoto důvodu případ eliptických funkcí s komplexní násobení podle √−1 se nazývá lemniscatic případ v některých zdrojích.

Použití eliptického integrálu

{ displaystyle F (x) { stackrel { text {def}} {{} = {}}} int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ { 4}}}}}

vzorec délky oblouku ${ displaystyle L}$ lze uvést jako

{ displaystyle L = 2 { sqrt {2}} c int _ {- 1} ^ {1} { frac {dt} { sqrt {1-t ^ {4}}}} = 4 { sqrt {2}} cF (1) = { frac { Gamma (1/4) ^ {2}} { sqrt { pi}}} c přibližně 7 {.} 416 cdot c}

.

Úhly

vztah mezi úhly u Bernoulliho lemniscate

Následující věta o úhlech vyskytujících se v lemniscate je kvůli německému matematikovi Gerhard Christoph Hermann Vechtmann, který to popsal roku 1843 ve své disertační práci o lemniscates.^[3]

F₁ a F₂ jsou ohniska lemniscate, Ó je střed úsečky F₁F₂ a P je jakýkoli bod na lemniscate mimo spojující linii F₁ a F₂. Normální n lemniscate v P protíná spojující linku F₁ a F₂ v R. Nyní vnitřní úhel trojúhelníku OPR v O je jedna třetina vnějšího úhlu trojúhelníku v R. Navíc vnitřní úhel v P je dvojnásobek vnitřního úhlu v Ó.

Další vlastnosti

Inverze hyperboly poskytuje lemniscate

Lemniscate je symetrický k linii spojující jeho ohniska F₁ a F₂ a také na kolmý půlící úsek úsečky F₁F₂.
Lemniscate je symetrický ke středu úsečky F₁F₂.
Plocha ohraničená lemniscate je 2A².
Lemniscate je kruhová inverze a hyperbola a naopak.
Dvě tečny ve středu O jsou kolmé a každá z nich svírá úhel ${ displaystyle { tfrac { pi} {4}}}$ s připojením linky F₁ a F₂.
Rovinným průřezem standardního torusu tangenta k jeho vnitřnímu rovníku je lemniscate.