Tangenciální a normální součásti - Tangential and normal components

Ilustrace tangenciálních a normálních složek vektoru k povrchu.

v matematika, vzhledem k tomu, vektor v bodě na a křivka, tento vektor lze jednoznačně rozložit jako součet dvou vektorů, jednoho tečna na křivku, která se nazývá tangenciální složka vektoru a další kolmý na křivku, která se nazývá normální součást vektoru. Podobně vektor v bodě na a povrch lze rozdělit stejným způsobem.

Obecněji řečeno, vzhledem k podmanifold N a potrubí Ma vektor v tečný prostor na M v bodě N, lze jej rozložit na tangenciální komponentu N a komponenta normální N.

Formální definice

Povrch

Více formálně, pojďme ${displaystyle S}$ být povrch, a ${displaystyle x}$ být bodem na povrchu. Nechat ${displaystyle mathbf {v}}$ být vektorem v ${displaystyle x.}$ Pak lze psát jedinečným způsobem ${displaystyle mathbf {v}}$ jako součet

${displaystyle mathbf {v} = mathbf {v} _ {parallel} + mathbf {v} _ {perp}}$

kde první vektor v součtu je tangenciální složka a druhý je normální složka. Z toho okamžitě vyplývá, že tyto dva vektory jsou na sebe kolmé.

Chcete-li vypočítat tangenciální a normální součásti, zvažte a jednotka normální na povrch, tj. a jednotkový vektor ${displaystyle {hat {n}}}$ kolmo na ${displaystyle S}$ na ${displaystyle x.}$ Pak,

${displaystyle mathbf {v} _ {perp} = (mathbf {v} cdot {hat {n}}) {hat {n}}}$

a tudíž

${displaystyle mathbf {v} _ {parallel} = mathbf {v} -mathbf {v} _ {perp}}$

kde "${displaystyle cdot}$"označuje Tečkovaný produkt. Další vzorec pro tangenciální složku je

${displaystyle mathbf {v} _ {parallel} = - {hat {n}} imes ({hat {n}} imes mathbf {v}),}$

kde "${displaystyle imes}$"označuje křížový produkt.

Všimněte si, že tyto vzorce nezávisí na konkrétní jednotce normální ${displaystyle {hat {n}}}$ použitý (existují dva jednotkové normály k jakémukoli povrchu v daném bodě, směřující v opačných směrech, takže jeden z normálů jednotek je záporný druhého).

Submanifold

Obecněji řečeno, vzhledem k podmanifold N a potrubí M a bod ${displaystyle pin N}$, dostaneme krátká přesná sekvence zahrnující tečné mezery:

${displaystyle T_ {p} N o T_ {p} M o T_ {p} M / T_ {p} N}$

The Quotianifold, výše uvedená sekvence se rozdělí a tečný prostor M na p rozkládá se jako přímý součet součásti tangenta k N a komponenta normální N:

${displaystyle T_ {p} M = T_ {p} Noplus N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {perp}}$

Tedy každý tečný vektor ${displaystyle vin T_ {p} M}$ rozdělí se jako${displaystyle v = v_ {paralelní} + v_ {perp}}$,kde ${displaystyle v_ {parallel} v T_ {p} N}$ a ${displaystyle v_ {perp} v N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {perp}}$.

Výpočty

Předpokládat N je dáno nedegenerovanými rovnicemi.

Li N je uveden výslovně, prostřednictvím parametrické rovnice (například a parametrická křivka ), pak derivace udává rozpětí množiny pro tangenciální svazek (je to základ právě tehdy, když je parametrizace ponoření ).

Li N je dáno implicitně (jako ve výše uvedeném popisu povrchu, nebo obecněji jako nadpovrch ) jako nastavena úroveň nebo průsečík rovných povrchů pro ${displaystyle g_ {i}}$, pak přechody ${displaystyle g_ {i}}$ překlenout normální prostor.

V obou případech můžeme znovu vypočítat pomocí tečkového produktu; křížový produkt je však speciální ve 3 rozměrech.

Aplikace

• Lagrangeovy multiplikátory : omezený kritické body jsou kde tangenciální složka celková derivace zmizet.
• Normální povrch

Reference

• Rojansky, Vladimir (1979). Elektromagnetické pole a vlny. New York: Dover Publications. ISBN  0-486-63834-0.

• Benjamin Crowell (2003) Světlo a hmota. (online verze ).