Sinusová spirála - Sinusoidal spiral
v geometrie, sinusové spirály jsou rodina křivek definovaných rovnicí v polární souřadnice
kde A je nenulová konstanta a n je racionální číslo jiné než 0. S rotací o počátku to lze také zapsat
Termín „spirála“ je nesprávné pojmenování, protože tomu tak ve skutečnosti není spirály, a často mají květinový tvar. Mnoho dobře známých křivek jsou sinusové spirály, včetně:
- Obdélníková hyperbola (n = −2)
- Čára (n = −1)
- Parabola (n = −1/2)
- Tschirnhausen kubický (n = −1/3)
- Cayleyho sextet (n = 1/3)
- Kardioidní (n = 1/2)
- Kruh (n = 1)
- Lemniscate z Bernoulli (n = 2)
Křivky byly nejprve studovány Colin Maclaurin.
Rovnice
Diferenciace
a eliminovat A vytvoří diferenciální rovnici pro r a θ:
- .
Pak
což znamená, že polární tangenciální úhel je
a tangenciální úhel je
- .
(Znamení je zde kladné, pokud r a cos nθ mají stejné znaménko a jinak záporné.)
Jednotkový tangensový vektor,
- ,
má délku jedna, takže porovnání velikosti vektorů na každé straně výše uvedené rovnice dává
- .
Zejména délka jedné smyčky, když je:
The zakřivení darováno
- .
Vlastnosti
The inverzní sinusové spirály vzhledem ke kruhu se středem v počátku je další sinusová spirála, jejíž hodnota n je záporná hodnota hodnoty původní křivky n. Například inverze lemniskátu Bernoulliho je obdélníková hyperbola.
The izoptický, pedál a negativní pedál sinusové spirály jsou různé sinusové spirály.
Jedna dráha částice pohybující se podle a centrální síla úměrný síle r je sinusová spirála.
Když n je celé číslo a n body jsou pravidelně uspořádány na kruhu o poloměru A, pak množinu bodů tak, aby geometrický průměr vzdáleností od bodu k n points je sinusová spirála. V tomto případě je sinusová spirála a polynomiální lemniscate.
Reference
- Yates, R. C .: Příručka o křivkách a jejich vlastnostech, J. W. Edwards (1952), "Spiral", str. 213–214
- „Sinusová spirála“ na www.2dcurves.com
- „Sinusové spirály“ na MacTutor History of Mathematics
- Weisstein, Eric W. "Sinusová spirála". MathWorld.