Rovnice pedálu - Pedal equation

Pro rovinná křivka C a daný pevný bod Ó, rovnice pedálu křivky je vztah mezi r a str kde r je vzdálenost od Ó do bodu C a str je kolmá vzdálenost od Ó do tečna na C na místě. Bod Ó se nazývá bod pedálu a hodnoty r a str se někdy nazývají souřadnice pedálu bodu vzhledem ke křivce a bodu pedálu. Je také užitečné měřit vzdálenost Ó do normálu ${ displaystyle p_ {c}}$ (dále jen kontrapedální souřadnice), i když se nejedná o nezávislou veličinu a týká se ${ displaystyle (r, p)}$ tak jako ${ displaystyle p_ {c}: = { sqrt {r ^ {2} -p ^ {2}}}}$.

Některé křivky mají obzvláště jednoduché pedálové rovnice a znalost pedálové rovnice křivky může zjednodušit výpočet některých jejích vlastností, jako je zakřivení. Tyto souřadnice jsou také velmi vhodné pro řešení určitých typů silových problémů v klasická mechanika a nebeská mechanika.

Rovnice

Kartézské souřadnice

Pro C uvedeny v obdélníkové souřadnice podle F(X, y) = 0, a s Ó braný jako počátek, souřadnice pedálu bodu (X, y) jsou dány:^[1]

${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

${ displaystyle p = { frac {x { frac { částečné f} { částečné x}} + y { frac { částečné f} { částečné y}}} { sqrt { vlevo ({ frac { částečné f} { částečné x}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné f} { částečné y}} pravé) ^ {2}}}}.}$

Rovnici pedálu lze najít vyloučením X a y z těchto rovnic a rovnice křivky.

Výraz pro str může být zjednodušeno, pokud je rovnice křivky zapsána homogenní souřadnice zavedením proměnné z, takže rovnice křivky je G(X, y, z) = 0. Hodnota str je pak dáno^[2]

${ displaystyle p = { frac { frac { částečné g} { částečné z}} { sqrt { vlevo ({ frac { částečné g} { částečné x}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac { částečné g} { částečné y}} pravé) ^ {2}}}}}$

kde je výsledek vyhodnocen na z=1

Polární souřadnice

Pro C uvedeny v polární souřadnice podle r = F(θ), pak

${ displaystyle p = r sin phi}$

kde ${ displaystyle phi}$ je polární tangenciální úhel dána

${ displaystyle r = { frac {dr} {d theta}} tan phi.}$

Rovnici pedálu lze nalézt vyloučením θ z těchto rovnic.^[3]

Alternativně z výše uvedeného to můžeme najít

${ displaystyle left | { frac {dr} {d theta}} right | = { frac {rp_ {c}} {p}},}$

kde ${ displaystyle p_ {c}: = { sqrt {r ^ {2} -p ^ {2}}}}$ je „kontrapedální“ souřadnice, tj. vzdálenost k normále. To znamená, že pokud křivka splňuje autonomní diferenciální rovnici v polárních souřadnicích tvaru:

${ displaystyle f left (r, left | { frac {dr} {d theta}} right | right) = 0,}$

jeho rovnice pedálu se stane

${ displaystyle f left (r, { frac {rp_ {c}} {p}} right) = 0.}$

Příklad

Jako příklad si vezměte logaritmickou spirálu s úhlem spirály α:

${ displaystyle r = ae ^ {{ frac { cos alpha} { sin alpha}} theta}.}$

Rozlišování s ohledem na ${ displaystyle theta}$ získáváme

${ displaystyle { frac {dr} {d theta}} = { frac { cos alpha} { sin alpha}} ae ^ {{ frac { cos alpha} { sin alfa} } theta} = { frac { cos alpha} { sin alpha}} r,}$

proto

${ displaystyle left | { frac {dr} {d theta}} right | = left | { frac { cos alpha} { sin alpha}} right | r,}$

a tedy v souřadnicích pedálu dostaneme

${ displaystyle { frac {r} {p}} p_ {c} = left | { frac { cos alpha} { sin alpha}} right | r, qquad Rightarrow qquad | sin alpha | p_ {c} = | cos alpha | p,}$

nebo s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle p_ {c} ^ {2} = r ^ {2} -p ^ {2}}$ získáváme

${ displaystyle p = | sin alfa | r.}$

Tento přístup lze zobecnit tak, aby zahrnoval autonomní diferenciální rovnice libovolného řádu následovně:^[4] Křivka C které řešení z n-autonomní diferenciální rovnice řádu (${ displaystyle n geq 1}$) v polárních souřadnicích

${ displaystyle f left (r, | r '_ { theta} |, r' '_ { theta}, | r' '_ { theta} | dots, r _ { theta} ^ {( 2j)}, | r _ { theta} ^ {(2j + 1)} |, dots, r _ { theta} ^ {(n)} right) = 0,}$

je křivka pedálu křivky dané v souřadnicích pedálu pomocí

${ displaystyle f (p, p_ {c}, p_ {c} p_ {c} ', p_ {c} (p_ {c} p_ {c}') ', tečky, (p_ {c} částečné _ {p}) ^ {n} p) = 0,}$

kde se diferenciace provádí s ohledem na ${ displaystyle p}$.

Problémy se silami

Řešení některých silových problémů klasické mechaniky lze překvapivě snadno získat v pedálových souřadnicích.

Zvažte dynamický systém:

${ displaystyle { ddot {x}} = F ^ { prime} (| x | ^ {2}) x + 2G ^ { prime} (| x | ^ {2}) { dot {x}} ^ { perp},}$

popisující vývoj zkušební částice (s polohou) ${ displaystyle x}$ a rychlost ${ displaystyle { dot {x}}}$) v rovině za přítomnosti středu ${ displaystyle F}$ a Lorentz jako ${ displaystyle G}$ potenciál. Množství:

${ displaystyle L = x cdot { dot {x}} ^ { perp} + G (| x | ^ {2}), qquad c = | { dot {x}} | ^ {2} - F (| x | ^ {2}),}$

jsou v tomto systému zachovány.

Potom křivka vystopovala ${ displaystyle x}$ je dáno v souřadnicích pedálu znakem

${ displaystyle { frac { vlevo (L-G (r ^ {2}) vpravo) ^ {2}} {p ^ {2}}} = F (r ^ {2}) + c,}$

s bodem pedálu v počátku. Tuto skutečnost objevil P. Blaschke v roce 2017.^[5]

Příklad

Jako příklad zvažte tzv Keplerův problém, tj. problém centrální síly, kde se síla mění nepřímo jako čtverec vzdálenosti:

${ displaystyle { ddot {x}} = - { frac {M} {| x | ^ {3}}} x,}$

můžeme k řešení dorazit okamžitě v souřadnicích pedálu

${ displaystyle { frac {L ^ {2}} {p ^ {2}}} = { frac {2M} {r}} + c,}$,

kde ${ displaystyle L}$ odpovídá momentu hybnosti částice a ${ displaystyle c}$ na jeho energii. Takto jsme získali rovnici kuželovitého řezu v souřadnicích pedálu.

Naopak pro danou křivku C, můžeme snadno odvodit, jaké síly musíme aplikovat na testovací částice, abychom se pohybovali podél ní.

Rovnice pedálu pro konkrétní křivky

Sinusové spirály

Pro sinusová spirála napsáno ve formě

${ displaystyle r ^ {n} = a ^ {n} sin (n theta)}$

polární tangenciální úhel je

${ displaystyle psi = n theta}$

který vytváří rovnici pedálu

${ displaystyle pa ^ {n} = r ^ {n + 1}.}$

Lze získat nastavení pedálové rovnice pro řadu známých křivek n na konkrétní hodnoty:^[6]

Spirály

Spirálovitá křivka tvaru

${ displaystyle r = c theta ^ { alpha},}$

splňuje rovnici

${ displaystyle { frac {dr} {d theta}} = alpha r ^ { frac { alpha -1} { alpha}},}$

a lze jej tedy snadno převést na souřadnice pedálu jako

${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2}}} = { frac { alpha ^ {2} c ^ { frac {2} { alpha}}} {r ^ {2 + { frac {2} { alpha}}}}} + { frac {1} {r ^ {2}}}.}$

Zvláštní případy zahrnují:

${ displaystyle alpha}$	Křivka	Bod pedálu	Ekv. Pedálu
1	Spirála Archimédova	Původ	${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2}}} + { frac {c ^ {2}} {r ^ {4}} }}$
−1	Hyperbolická spirála	Původ	${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2}}} + { frac {1} {c ^ {2}}}}$
​1⁄2	Fermatova spirála	Původ	${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2}}} + { frac {c ^ {4}} {4r ^ {6}} }}$
−​1⁄2	Lituus	Původ	${ displaystyle { frac {1} {p ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2}}} + { frac {r ^ {2}} {4c ^ {4}} }}$

Epi- a hypocykloidy

Pro epi- nebo hypocykloid daný parametrickými rovnicemi

${ displaystyle x ( theta) = (a + b) cos theta -b cos doleva ({ frac {a + b} {b}} theta doprava)}$

${ displaystyle y ( theta) = (a + b) sin theta -b sin left ({ frac {a + b} {b}} theta right),}$

rovnice pedálu s ohledem na počátek je^[7]

${ displaystyle r ^ {2} = a ^ {2} + { frac {4 (a + b) b} {(a + 2b) ^ {2}}} p ^ {2}}$

nebo^[8]

${ displaystyle p ^ {2} = A (r ^ {2} -a ^ {2})}$

s

${ displaystyle A = { frac {(a + 2b) ^ {2}} {4 (a + b) b}}.}$

Zvláštní případy získané nastavením b=​^A⁄_n pro konkrétní hodnoty n zahrnout:

n	Křivka	Ekv. Pedálu
1, −​1⁄2	Kardioidní	${ displaystyle p ^ {2} = { frac {9} {8}} (r ^ {2} -a ^ {2})}$
2, −​2⁄3	Nefroidní	${ displaystyle p ^ {2} = { frac {4} {3}} (r ^ {2} -a ^ {2})}$
−3, −​3⁄2	Deltoidní	${ displaystyle p ^ {2} = - { frac {1} {8}} (r ^ {2} -a ^ {2})}$
−4, −​4⁄3	Astroid	${ displaystyle p ^ {2} = - { frac {1} {3}} (r ^ {2} -a ^ {2})}$

Jiné křivky

Další rovnice pedálu jsou :,^[9]

Křivka	Rovnice	Bod pedálu	Ekv. Pedálu
Čára	${ displaystyle ax + by + c = 0}$	Původ	${ displaystyle p = { frac {| c |} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$
Směřovat	${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$	Původ	${ displaystyle r = { sqrt {x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2}}}}$
Kruh	${ displaystyle | x-a | = R}$	Původ	${ displaystyle 2pR = r ^ {2} + R ^ {2} - | a | ^ {2}}$
Evoluce kruhu	${ displaystyle r = { frac {a} { cos alpha}}, theta = tan alpha - alpha}$	Původ	${ displaystyle p_ {c} = | a |}$
Elipsa	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	Centrum	${ displaystyle { frac {a ^ {2} b ^ {2}} {p ^ {2}}} + r ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$
Hyperbola	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	Centrum	${ displaystyle - { frac {a ^ {2} b ^ {2}} {p ^ {2}}} + r ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}}$
Elipsa	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	Soustředit se	${ displaystyle { frac {b ^ {2}} {p ^ {2}}} = { frac {2a} {r}} - 1}$
Hyperbola	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	Soustředit se	${ displaystyle { frac {b ^ {2}} {p ^ {2}}} = { frac {2a} {r}} + 1}$
Logaritmická spirála	${ displaystyle r = ae ^ { theta cot alpha}}$	Pól	${ displaystyle p = r sin alfa}$
Kartézský ovál	${ displaystyle | x | + alfa | x-a | = C,}$	Soustředit se	${ displaystyle { frac {(b- (1- alpha ^ {2}) r ^ {2}) ^ {2}} {4p ^ {2}}} = { frac {Cb} {r}} + (1- alpha ^ {2}) Cr - ((1- alpha ^ {2}) C ^ {2} + b), b: = C ^ {2} - alpha ^ {2} | a | ^ {2}}$
Cassini ovál	${ displaystyle | x || x-a | = C,}$	Soustředit se	${ displaystyle { frac {(3C ^ {2} + r ^ {4} - | a | ^ {2} r ^ {2}) ^ {2}} {p ^ {2}}} = 4C ^ { 2} left ({ frac {2C ^ {2}} {r ^ {2}}} + 2r ^ {2} - | a | ^ {2} right).}$
Cassini ovál	${ displaystyle | x-a || x + a | = C,}$	Centrum	${ displaystyle 2Rpr = r ^ {4} + R ^ {2} - | a | ^ {2}.}$

Viz také

• Křivka pedálu

Reference

• R.C. Yates (1952). "Rovnice pedálu". Příručka o křivkách a jejich vlastnostech. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. str. 166 a násl.
• J. Edwards (1892). Diferenciální počet. London: MacMillan and Co. pp.161 ff.

• P. Blaschke (2017). „Souřadnice pedálu, temný Kepler a další problémy se silami“ (PDF). Journal of Mathematical Physics. 58/6. doi:10.1063/1.4984905.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Souřadnice pedálu". MathWorld.