JLO cocycle - JLO cocycle

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v nekomutativní geometrie, JLO cocycle je cocycle (a tedy definuje a třída cohomologie ) jako celek cyklická kohomologie. Je to nekomutativní verze klasiky Chern charakter konvenční diferenciální geometrie. V nekomutativní geometrii je koncept potrubí nahrazen nekomutativní algebrou ${displaystyle {mathcal {A}}}$ „funkcí“ na domnělém nekomutativním prostoru. Cyklická kohomologie algebry ${displaystyle {mathcal {A}}}$ obsahuje informace o topologii tohoto nekomutativního prostoru, stejně jako de Rhamova kohomologie obsahuje informace o topologii konvenčního potrubí.

JLO cyklus je spojen s metrickou strukturou nekomutativní diferenciální geometrie známou jako a ${displaystyle heta}$-summable spektrální trojnásobek (také známý jako ${displaystyle heta}$-summable Fredholm modul).

${displaystyle heta}$- předpokládané trojité spektrum

A ${displaystyle heta}$- sestupná spektrální trojice se skládá z následujících údajů:

(a) A Hilbertův prostor ${displaystyle {mathcal {H}}}$ takhle ${displaystyle {mathcal {A}}}$ působí jako algebra omezených operátorů.

(b) A ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$- hodnocení ${displaystyle gamma}$ na ${displaystyle {mathcal {H}}}$, ${displaystyle {mathcal {H}} = {mathcal {H}} _ {0} oplus {mathcal {H}} _ {1}}$. Předpokládáme, že algebra ${displaystyle {mathcal {A}}}$ je dokonce pod ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$- hodnocení, tj. ${displaystyle agamma = gamma a}$, pro všechny ${displaystyle ain {mathcal {A}}}$.

(c) Samoadjungující (neomezený) operátor ${displaystyle D}$, nazvaný Dirac operátor takhle

(i) ${displaystyle D}$ je pod ${displaystyle gamma}$, tj. ${displaystyle Dgamma = -gamma D}$.

(ii) Každý ${displaystyle ain {mathcal {A}}}$ mapuje doménu ${displaystyle D}$, ${displaystyle mathrm {Dom} vlevo (Dight)}$ do sebe a provozovatele ${displaystyle left [D, aight]: mathrm {Dom} left (Dight) o {mathcal {H}}}$ je omezený.

(iii) ${displaystyle mathrm {tr} left (e ^ {- tD ^ {2}} ight)$, pro všechny ${displaystyle t> 0}$.

Klasický příklad a ${displaystyle heta}$- sestupná spektrální trojice vzniká následovně. Nechat ${displaystyle M}$ být kompaktní roztočit potrubí, ${displaystyle {mathcal {A}} = C ^ {infty} left (Might)}$, algebra hladkých funkcí na ${displaystyle M}$, ${displaystyle {mathcal {H}}}$ Hilbertův prostor čtvercových integrovatelných forem ${displaystyle M}$, a ${displaystyle D}$ standardní operátor Dirac.

Koloběh

JLO cocycle ${displaystyle Phi _ {t} left (Dight)}$ je sekvence

${displaystyle Phi _ {t} left (Dight) = left (Phi _ {t} ^ {0} left (Dight), Phi _ {t} ^ {2} left (Dight), Phi _ {t} ^ {4 } vlevo (Dight), ldots ight)}$

funkcionálů na algebře ${displaystyle {mathcal {A}}}$, kde

${displaystyle Phi _ {t} ^ {0} left (Dight) left (a_ {0} ight) = mathrm {tr} left (gamma a_ {0} e ^ {- tD ^ {2}} ight),}$

${displaystyle Phi _ {t} ^ {n} left (Dight) left (a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n} ight) = int _ {0leq s_ {1} leq ldots s_ {n} leq t} mathrm {tr} vlevo (gama a_ {0} e ^ {- s_ {1} D ^ {2}} vlevo [D, a_ {1} ight] e ^ {- vlevo (s_ {2} -s_ {1} ight) D ^ {2}} ldots left [D, a_ {n} ight] e ^ {- left (t-s_ {n} ight) D ^ {2}} ight) ds_ {1} ldots ds_ {n},}$

pro ${displaystyle n = 2,4, tečky}$. Třída kohomologie definovaná ${displaystyle Phi _ {t} left (Dight)}$ je nezávislá na hodnotě ${displaystyle t}$.

externí odkazy

• [1] - Originální článek představující JLO cocycle.
• [2] - Pěkný soubor přednášek.