Fuzzy koule - Fuzzy sphere - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, fuzzy koule je jedním z nejjednodušších a nejkánoničtějších příkladů nekomutativní geometrie. Funkce definované v a koule tvoří dojíždějící algebru. Fuzzy koule se liší od běžné koule, protože algebra funkcí na ní není komutativní. Je generován sférické harmonické jehož rotace l se nanejvýš rovná některým j. Výrazy v produktu dvou sférických harmonických, které zahrnují sférické harmonické s překročením spinu j jsou v produktu jednoduše vynechány. Toto zkrácení nahradí nekonečně-dimenzionální komutativní algebru znakem a ${ displaystyle j ^ {2}}$-dimenzionální nekomutativní algebra.

Nejjednodušší způsob, jak tuto sféru vidět, je realizovat tuto zkrácenou algebru funkcí jako maticová algebra v nějakém konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru. j-dimenzionální matice ${ displaystyle J_ {a}, ~ a = 1,2,3}$ které tvoří základ pro j dimenzionální neredukovatelné znázornění Lieovy algebry su (2). Uspokojují vztahy ${ displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = i epsilon _ {abc} J_ {c}}$, kde ${ displaystyle epsilon _ {abc}}$ je zcela antisymetrický symbol s ${ displaystyle epsilon _ {123} = 1}$a pomocí maticového produktu vygenerujte algebru ${ displaystyle M_ {j}}$ z j rozměrové matice. Hodnota su (2) Provozovatel kasimíru v tomto znázornění je

${ displaystyle J_ {1} ^ {2} + J_ {2} ^ {2} + J_ {3} ^ {2} = { frac {1} {4}} (j ^ {2} -1) I }$

kde jsem j-dimenzionální matice identity. Pokud tedy definujeme 'souřadnice' ${ displaystyle x_ {a} = kr ^ {- 1} J_ {a}}$kde r je poloměr koule a k je parametr související s r a j podle ${ displaystyle 4r ^ {4} = k ^ {2} (j ^ {2} -1)}$, pak lze výše uvedenou rovnici týkající se Casimirova operátoru přepsat na

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = r ^ {2}}$,

což je obvyklý vztah pro souřadnice na kouli o poloměru r vložený do trojrozměrného prostoru.

Lze definovat integrál v tomto prostoru pomocí

${ displaystyle int _ {S ^ {2}} fd Omega: = 2 pi k , { text {Tr}} (F)}$

kde F je matice odpovídající funkci FNapříklad integrál jednoty, který dává povrch koule v komutativním případě, je zde roven

${ displaystyle 2 pi k , { text {Tr}} (I) = 2 pi kj = 4 pi r ^ {2} { frac {j} { sqrt {j ^ {2} -1 }}}}$

který konverguje k hodnotě povrchu koule, pokud se vezme j do nekonečna.

Viz také

• Fuzzy torus

Poznámky

• Jens Hoppe, „Membrány a maticové modely“, přednášky prezentované během letní školy na téma „Teorie kvantového pole - z Hamiltonovského pohledu“, 2. – 9. Srpna 2000, arXiv:hep-th / 0206192
• John Madore, Úvod do nekomutativní diferenciální geometrie a jejích fyzikálních aplikací, London Mathematical Society Lecture Note Series. 257, Cambridge University Press 2002

Reference

J. Hoppe, Kvantová teorie bezhmotného relativistického povrchu a problém dvojrozměrného vázaného stavu. Disertační práce, Massachusetts Institute of Technology, 1982.