Mohr – Coulombova teorie - Mohr–Coulomb theory

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Mohr – Coulombova teorie“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Mohr – Coulombova teorie je matematický model (vidět povrch výnosu ) popisující reakci křehkých materiálů, jako je beton nebo hromady suti na smykové napětí stejně jako normální stres. Většina klasických inženýrských materiálů nějakým způsobem dodržuje toto pravidlo alespoň v části své obálky smykové poruchy. Obecně se teorie vztahuje na materiály, pro které pevnost v tlaku daleko přesahuje pevnost v tahu.^[1]

v geotechnické inženýrství používá se k definování smyková pevnost zemin a jiné kameny efektivní napětí.

v pozemní stavitelství slouží k určení zatížení při poruše i úhlu zlomenina lomu posunutí v betonu a podobných materiálech. Coulomb je tření hypotéza se používá k určení kombinace smyku a normální stres které způsobí zlomeninu materiálu. Mohrův kruh se používá k určení, která hlavní napětí vytvoří tuto kombinaci smykového a normálního napětí, a úhel roviny, ve které k tomu dojde. Podle princip normality napětí zavedené při porušení bude kolmé na přímku popisující lomový stav.

Lze ukázat, že materiál, který selhal podle Coulombovy třecí hypotézy, ukáže posunutí zavedené při selhání, které tvoří úhel k linii lomu rovný úhel tření. Díky tomu je pevnost materiálu zjistitelná porovnáním vnějšího mechanické práce zavedené posunutím a vnějším zatížením s vnitřní mechanickou prací zavedenou kmen a stres v linii selhání. Podle uchování energie jejich součet musí být nula, což umožní vypočítat poruchové zatížení konstrukce.

Společným zdokonalením tohoto modelu je kombinace Coulombovy třecí hypotézy s Rankine hypotéza hlavního stresu k popisu separační zlomeniny.

Historie vývoje

Mohr – Coulombova teorie je pojmenována na počest Charles-Augustin de Coulomb a Christian Otto Mohr. Coulombovým příspěvkem byla esej z roku 1773 s názvem „Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture".^[2]Mohr vyvinul zobecněnou formu teorie kolem konce 19. století.^[3]Jelikož zobecněná forma ovlivnila výklad kritéria, ale nikoli jeho podstatu, některé texty na toto kritérium nadále odkazují pouze jako na „Coulombovo kritérium '.^[4]

Mohr – Coulombovo kritérium selhání

Obrázek 1: Pohled na Mohr – Coulombovu poruchovou plochu v 3D prostoru hlavních napětí pro ${ displaystyle c = 2, phi = -20 ^ { circ}}$

Mohr – Coulomb^[5] kritérium selhání představuje lineární obálku, která se získá z grafu smykové pevnosti materiálu proti aplikovanému normálovému napětí. Tento vztah je vyjádřen jako

${ displaystyle tau = sigma ~ tan ( phi) + c}$

kde ${ displaystyle tau}$ je pevnost ve smyku, ${ displaystyle sigma}$ je normální stres, ${ displaystyle c}$ je průsečík obálky selhání s ${ displaystyle tau}$ osa a ${ displaystyle tan ( phi)}$ je sklon obálky poruchy. Množství ${ displaystyle c}$ se často nazývá soudržnost a úhel ${ displaystyle phi}$ se nazývá úhel vnitřního tření . V následující diskusi se předpokládá, že komprese je pozitivní. Pokud se předpokládá záporná komprese ${ displaystyle sigma}$ by měl být nahrazen ${ displaystyle - sigma}$.

Li ${ displaystyle phi = 0}$, kritérium Mohr – Coulomb se snižuje na Kritérium Tresca. Na druhou stranu, pokud ${ displaystyle phi = 90 ^ { circ}}$ Mohr – Coulombův model je ekvivalentní s Rankinovým modelem. Vyšší hodnoty ${ displaystyle phi}$ nejsou povoleny.

Z Mohrův kruh my máme

${ displaystyle sigma = sigma _ {m} - tau _ {m} sin phi ~; ~~ tau = tau _ {m} cos phi}$

kde

${ displaystyle tau _ {m} = { cfrac { sigma _ {1} - sigma _ {3}} {2}} ~; ~~ sigma _ {m} = { cfrac { sigma _ {1} + sigma _ {3}} {2}}}$

a ${ displaystyle sigma _ {1}}$ je maximální hlavní napětí a ${ displaystyle sigma _ {3}}$ je minimální hlavní napětí.

Mohr Mohr – Coulombovo kritérium lze proto vyjádřit také jako

${ displaystyle tau _ {m} = sigma _ {m} sin phi + c cos phi ~.}$

Tato forma Mohr – Coulombova kritéria je použitelná pro selhání v rovině, která je rovnoběžná s ${ displaystyle sigma _ {2}}$ směr.

Mohr – Coulombovo kritérium selhání ve třech rozměrech

Mohrovo – Coulombovo kritérium ve třech rozměrech je často vyjádřeno jako

${ displaystyle left {{ begin {aligned} pm { cfrac { sigma _ {1} - sigma _ {2}} {2}} & = left [{ cfrac { sigma _ { 1} + sigma _ {2}} {2}} vpravo] sin ( phi) + c cos ( phi) pm { cfrac { sigma _ {2} - sigma _ { 3}} {2}} & = left [{ cfrac { sigma _ {2} + sigma _ {3}} {2}} right] sin ( phi) + c cos ( phi ) pm { cfrac { sigma _ {3} - sigma _ {1}} {2}} & = left [{ cfrac { sigma _ {3} + sigma _ {1}} {2}} vpravo] sin ( phi) + c cos ( phi). End {zarovnáno}} vpravo.}$

The Mohr – Coulombův povrch selhání je kužel s šestihranným průřezem v prostoru deviátorového napětí.

Výrazy pro ${ displaystyle tau}$ a ${ displaystyle sigma}$ lze zobecnit do tří dimenzí vytvořením výrazů pro normální napětí a vyřešené smykové napětí v rovině libovolné orientace vzhledem k souřadným osám (základní vektory). Pokud je jednotka kolmá k zájmové rovině

${ displaystyle mathbf {n} = n_ {1} ~ mathbf {e} _ {1} + n_ {2} ~ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} ~ mathbf {e} _ {3}}$

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}, ~~ i = 1,2,3}$ jsou tři základní vektory ortonormální jednotky, a pokud hlavní napětí ${ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2}, sigma _ {3}}$ jsou zarovnány se základními vektory ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$, pak výrazy pro ${ displaystyle sigma, tau}$ jsou

${ displaystyle { begin {sladěno} sigma & = n_ {1} ^ {2} sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } sigma _ {3} tau & = { sqrt {(n_ {1} sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} sigma _ {3}) ^ {2} - sigma ^ {2}}} & = { sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} ( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} ( sigma _ {2} - sigma _ {3} ) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} ( sigma _ {3} - sigma _ {1}) ^ {2}}}. End {zarovnáno}} }$

Kritérium Mohr – Coulombova selhání lze poté vyhodnotit pomocí obvyklého výrazu

${ displaystyle tau = sigma ~ tan ( phi) + c}$

pro šest rovin maximálního smykového napětí.

Odvození normálového a smykového napětí v rovině

Nechte jednotku kolmou k zájmové rovině ${ displaystyle mathbf {n} = n_ {1} ~ mathbf {e} _ {1} + n_ {2} ~ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} ~ mathbf {e} _ {3}}$ kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}, ~~ i = 1,2,3}$ jsou tři vektory na bázi ortonormálních jednotek. Pak je trakční vektor v rovině dán vztahem ${ displaystyle mathbf {t} = n_ {i} ~ sigma _ {ij} ~ mathbf {e} _ {j} ~~~ { text {(opakované indexy označují součet)}}}$ Velikost trakčního vektoru je dána vztahem ${ displaystyle | mathbf {t} | = { sqrt {(n_ {j} ~ sigma _ {1j}) ^ {2} + (n_ {k} ~ sigma _ {2k}) ^ {2} + (n_ {l} ~ sigma _ {3l}) ^ {2}}} ~~~ { text {(opakované indexy označují součet)}}}$ Pak je velikost napětí kolmého k rovině dána vztahem ${ displaystyle sigma = mathbf {t} cdot mathbf {n} = n_ {i} ~ sigma _ {ij} ~ n_ {j} ~~ { text {(opakované indexy označují součet)}}}$ Velikost vyřešeného smykového napětí v rovině je dána vztahem ${ displaystyle tau = { sqrt {| mathbf {t} | ^ {2} - sigma ^ {2}}}}$ Pokud jde o komponenty, máme ${ displaystyle { begin {aligned} sigma & = n_ {1} ^ {2} sigma _ {11} + n_ {2} ^ {2} sigma _ {22} + n_ {3} ^ {2 } sigma _ {33} +2 (n_ {1} n_ {2} sigma _ {12} + n_ {2} n_ {3} sigma _ {23} + n_ {3} n_ {1} sigma _ {31}) tau & = { sqrt {(n_ {1} sigma _ {11} + n_ {2} sigma _ {12} + n_ {3} sigma _ {31}) ^ {2} + (n_ {1} sigma _ {12} + n_ {2} sigma _ {22} + n_ {3} sigma _ {23}) ^ {2} + (n_ {1} sigma _ {31} + n_ {2} sigma _ {23} + n_ {3} sigma _ {33}) ^ {2} - sigma ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$ Pokud hlavní zdůrazňuje ${ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2}, sigma _ {3}}$ jsou zarovnány se základními vektory ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$, pak výrazy pro ${ displaystyle sigma, tau}$ jsou ${ displaystyle { begin {sladěno} sigma & = n_ {1} ^ {2} sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } sigma _ {3} tau & = { sqrt {(n_ {1} sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} sigma _ {3}) ^ {2} - sigma ^ {2}}} & = { sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} ( sigma _ {1} - sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} ( sigma _ {2} - sigma _ {3} ) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} ( sigma _ {3} - sigma _ {1}) ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Obrázek 2: Mohr – Coulombova mez kluzu v ${ displaystyle pi}$- letadlo pro ${ displaystyle c = 2, phi = 20 ^ { circ}}$

Obrázek 3: Trasování Mohr – Coulombovy meze výnosu v ${ displaystyle sigma _ {1} - sigma _ {2}}$- letadlo pro ${ displaystyle c = 2, phi = 20 ^ { circ}}$

Mohr – Coulombův povrch selhání v prostoru Haigh – Westergaard

Mohr – Coulombův povrch (výtěžek) je často vyjádřen v Souřadnice Haigh – Westergaad. Například funkce

${ displaystyle { cfrac { sigma _ {1} - sigma _ {3}} {2}} = { cfrac { sigma _ {1} + sigma _ {3}} {2}} ~ sin phi + c cos phi}$

lze vyjádřit jako

${ displaystyle left [{ sqrt {3}} ~ sin left ( theta + { cfrac { pi} {3}} right) - sin phi cos left ( theta + { cfrac { pi} {3}} vpravo) vpravo] rho - { sqrt {2}} sin ( phi) xi = { sqrt {6}} c cos phi.}$

Alternativně z hlediska invarianty ${ displaystyle p, q, r}$ můžeme psát

${ displaystyle left [{ cfrac {1} {{ sqrt {3}} ~ cos phi}} ~ sin left ( theta + { cfrac { pi} {3}} vpravo) - { cfrac {1} {3}} tan phi ~ cos left ( theta + { cfrac { pi} {3}} right) right] qp ~ tan phi = c}$

kde

${ displaystyle theta = { cfrac {1} {3}} arccos left [ left ({ cfrac {r} {q}} right) ^ {3} right] ~.}$

Odvození alternativních forem Mohr – Coulombovy výnosové funkce

Můžeme vyjádřit výnosovou funkci ${ displaystyle { cfrac { sigma _ {1} - sigma _ {3}} {2}} = { cfrac { sigma _ {1} + sigma _ {3}} {2}} ~ sin phi + c cos phi}$ tak jako ${ displaystyle sigma _ {1} ~ { cfrac {(1- sin phi)} {2 ~ c ~ cos phi}} - sigma _ {3} ~ { cfrac {(1+ sin phi)} {2 ~ c ~ cos phi}} = 1 ~.}$ The Haigh – Westergaardovy invarianty souvisí s hlavními napětími od ${ displaystyle sigma _ {1} = { cfrac {1} { sqrt {3}}} ~ xi + { sqrt { cfrac {2} {3}}} ~ rho ~ cos theta ~; ~~ sigma _ {3} = { cfrac {1} { sqrt {3}}} ~ xi + { sqrt { cfrac {2} {3}}} ~ rho ~ cos left ( theta + { cfrac {2 pi} {3}} right) ~.}$ Zapojení do výrazu pro Mohr – Coulombovu výnosovou funkci nám dává ${ displaystyle - { sqrt {2}} ~ xi ~ sin phi + rho [ cos theta - cos ( theta +2 pi / 3)] - rho sin phi [ cos theta + cos ( theta +2 pi / 3)] = { sqrt {6}} ~ c ~ cos phi}$ Použití trigonometrických identit pro součet a rozdíl kosinů a přeskupení nám dává výraz Mohr-Coulombovy výnosové funkce z hlediska ${ displaystyle xi, rho, theta}$. Můžeme vyjádřit výnosovou funkci z hlediska ${ displaystyle p, q}$ pomocí vztahů ${ displaystyle xi = { sqrt {3}} ~ p ~; ~~ rho = { sqrt { cfrac {2} {3}}} ~ q}$ a přímá substituce.

Mohr – Coulombův výtěžek a plasticita

Mohr – Coulombův výtěžek se často používá k modelování plastického toku geomateriálů (a dalších kohezních třecích materiálů). Mnoho takových materiálů vykazuje dilatační chování za triaxiálních stresových stavů, které Mohr – Coulombův model nezahrnuje. Vzhledem k tomu, že mez kluzu má rohy, může být nepohodlné použít k určení směru plastického toku původní model Mohr – Coulomb (v teorie toku plasticity ).

Běžným přístupem je použití a nepřidružený plastový potenciál proudění, který je hladký. Příkladem takového potenciálu je funkce^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle g: = { sqrt {( alpha c _ { mathrm {y}} tan psi) ^ {2} + G ^ {2} ( phi, theta) ~ q ^ {2}} } -p tan phi}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je parametr, ${ displaystyle c _ { mathrm {y}}}$ je hodnota ${ displaystyle c}$ když je plastická deformace nulová (nazývá se také počáteční mez kluzu), ${ displaystyle psi}$ je úhel vytvořený výtěžkovou plochou v Rendulické letadlo při vysokých hodnotách ${ displaystyle p}$ (tento úhel se také nazývá dilatační úhel), a ${ displaystyle G ( phi, theta)}$ je vhodná funkce, která je také hladká v rovině deviátorového napětí.

Typické hodnoty soudržnosti a úhlu vnitřního tření

Soudržnost (alternativně nazývaná soudržná síla) a hodnoty třecího úhlu pro kameny a některé běžné půdy jsou uvedeny v tabulkách níže.

Úhel vnitřního tření (${ displaystyle phi}$) pro některé materiály

Materiál	Úhel tření ve stupních
Skála	30°
Písek	30° až 45°
Štěrk	35°
Silt	26° až 35°
Jíl	20°
Sypký písek	30° až 35°
Střední písek	40°
Hustý písek	35° až 45°
Písčitý štěrk	> 34° až 48°

Viz také

• 3-D pružnost
• Kritérium selhání Hoek-Brown
• Byerleeův zákon
• Boční zemní tlak
• von Mises stres
• Výnos (strojírenství)
• Kritérium výnosu Drucker Prager - hladká verze kritéria výtěžku M – C
• Lode souřadnice

Reference