Povrchy, na nichž jsou invarianty

,

,

jsou konstantní. Vyneseno v prostoru hlavního napětí.
A povrch výnosu je pětrozměrný povrch v šestrozměrném prostoru zdůrazňuje. Plocha výnosu je obvykle konvexní a stav stresu uvnitř povrch výnosu je elastický. Když stav napětí leží na povrchu, říká se, že materiál dosáhl svého mez kluzu a materiál se údajně stal plastický. Další deformace materiálu způsobí, že stav napětí zůstane na meze kluzu, i když se může s vývojem plastické deformace měnit tvar a velikost povrchu. Je tomu tak proto, že stavy stresu, které leží mimo povrch výnosu, jsou nepřípustné rychlostně nezávislá plasticita, i když ne v některých modelech viskoplastičnost.[1]
Plocha výnosu je obvykle vyjádřena jako (a vizualizována) trojrozměrně hlavní stres prostor (
), dvou- nebo trojrozměrný prostor překlenut stresové invarianty (
) nebo verze trojrozměrného Haigh – Westergaardův stresový prostor. Můžeme tedy napsat rovnici meze výnosu (tj. Výnosovou funkci) ve formách:
kde
jsou hlavní napětí.
kde
je první hlavní invariant Cauchyova napětí a
jsou druhým a třetím hlavním invarianty deviátorové části Cauchyova napětí.
kde
jsou zmenšené verze
a
a
je funkce
.
kde
jsou zmenšené verze
a
, a
je úhel napětí[2] nebo Lode úhel[3]
Invarianty používané k popisu výnosových ploch
Povrchy, na nichž jsou invarianty

,

,

jsou konstantní. Vyneseno v prostoru hlavního napětí.
První hlavní invariant (
) z Cauchyho stres (
) a druhý a třetí hlavní invarianty (
) z deviátorský část (
) Cauchyho napětí jsou definovány jako:
![egin {zarovnat}
I_1 & = ext{Tr}( oldsymbol{sigma}) = sigma_1 + sigma_2 + sigma_3
J_2 & = frac{1}{2} oldsymbol{s}: oldsymbol{s} =
frac{1}{6}left[(sigma_1-sigma_2)^2+(sigma_2-sigma_3)^2+(sigma_3-sigma_1)^2ight]
J_3 & = det( oldsymbol{s}) = frac{1}{3} ( oldsymbol{s}cdot oldsymbol{s}): oldsymbol{s}
= s_1 s_2 s_3
konec {zarovnat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2367aae106ad4915a3c05e829c4d06e62ee17c18)
kde (
) jsou hlavní hodnoty
, (
) jsou hlavní hodnoty
, a

kde
je matice identity.
Související množina veličin, (
), se obvykle používají k popisu výnosových ploch pro soudržné třecí materiály jako jsou kameny, půdy a keramika. Ty jsou definovány jako

kde
je ekvivalentní napětí. Možnost záporných hodnot
a výsledný imaginární
činí použití těchto množství v praxi problematickým.
Další související sada široce používaných invariantů je (
), které popisují a válcový souřadnicový systém (dále jen Haigh – Westergaard souřadnice). Ty jsou definovány jako:

The
letadlo se také nazývá Rendulické letadlo. Úhel
se nazývá úhel napětí, hodnota
se někdy nazývá Parametr Lode[4][5][6] a vztah mezi
a
byl poprvé uveden Nayakem a Zienkiewiczem v roce 1972 [7]
Hlavní napětí a souřadnice Haigh-Westergaarda spolu souvisejí

Odlišnou definici úhlu Lode lze také najít v literatuře:[8]

v takovém případě objednaná jistina zdůrazňuje (kde
) jsou ve vztahu[9]

Příklady povrchových výnosů
Ve strojírenství je známo několik různých povrchových výnosů a ty nejoblíbenější jsou uvedeny níže.
Povrch výnosu Tresca
Kritérium výnosu Tresca je považováno za dílo Henri Tresca.[10] To je také známé jako teorie maximálního smykového napětí (MSST) a Tresca – host[11] (TG) kritérium. Z hlediska hlavních napětí je kritérium Tresca vyjádřeno jako

Kde
je mez kluzu ve smyku a
je mez kluzu v tahu.
Obrázek 1 ukazuje povrch výtěžku Tresca – Guest v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to hranol šesti stran a nekonečné délky. To znamená, že materiál zůstává elastický, když jsou všechna tři hlavní napětí zhruba ekvivalentní (a hydrostatický tlak ), bez ohledu na to, jak moc je stlačen nebo natažen. Když se však jedno z hlavních napětí zmenší (nebo zvětší) než ostatní, materiál je vystaven smyku. V takových situacích, pokud smykové napětí dosáhne meze kluzu, pak materiál vstupuje do plastické domény. Obrázek 2 ukazuje povrch výnosu Tresca – Guest ve dvourozměrném napěťovém prostoru, jedná se o průřez hranolem podél
letadlo.
Obrázek 1: Pohled na povrch výnosu Tresca – Guest v 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 2: Tresca – povrch pro hodnocení hostů ve 2D prostoru (

)
von Misesův povrch výnosu
Kritérium výtěžku von Mises je vyjádřeno v hlavních tlacích jako

kde
je mez kluzu v jednoosém napětí.
Obrázek 3 ukazuje von Misesovu mez kluzu v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to oběžník válec nekonečné délky s osou nakloněnou ve stejných úhlech ke třem hlavním napětím. Obrázek 4 ukazuje povrch výtěžku von Mises ve dvojrozměrném prostoru ve srovnání s kritériem Tresca – Guest. Průřez von Misesova válce v rovině
vyrábí eliptický tvar výnosové plochy.
Obrázek 3: Pohled na Huber – Mises – Henckyho mez kluzu ve 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 4: Porovnání kritérií Tresca – Host a Huber – Mises – Hencky ve 2D prostoru (

)
Kritérium Burzyński-Yagn
Toto kritérium[12][13]

představuje obecnou rovnici rotačního povrchu druhého řádu kolem hydrostatické osy. Některé speciální případy jsou:[14]
- válec
(Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)), - kužel
(Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)), - paraboloid
(Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)), - elipsoid se středem roviny symetrie
,
(Beltrami (1885)), - elipsoid se středem roviny symetrie
s
(Schleicher (1926)), - hyperboloid dvou listů
(Burzynski (1928), Yagn (1931)), - hyperboloid jednoho listu se středem roviny symetrie
,
,
(Kuhn (1980)) - hyperboloid jednoho listu
,
(Filonenko-Boroditsch (1960), Gol’denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).
Lze vypočítat vztahy mezi tlakovým a torzním napětím

Poissonovy poměry v tahu a tlaku se získají pomocí


U tvárných materiálů omezení
![u_+^mathrm{in}in igg[,0.48,,frac{1}{2}, igg]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7c270b90d3c766fd6ecd9b7204e1622d9f7722)
je důležité. Aplikace rotačně symetrických kritérií pro křehké porušení s
![u_+^mathrm{in}in ]-1,~u_+^mathrm{el},]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690096f2ce81fb70324e3cebefabb993721ed772)
nebyl dostatečně studován.[15]
Kritérium Burzyński-Yagn je velmi vhodné pro akademické účely. Pro praktické aplikace by měl být třetí invariant deviátoru v lichém a sudém výkonu zaveden do rovnice, např .:[16]

Huberovo kritérium
Kritérium Huber se skládá z elipsoidu Beltrami a zmenšeného von Misesova válce v prostoru hlavního napětí[17][18][19][20], viz také[21][22]
![{displaystyle 3,I_{2}'=left{{ egin{array}{ll}displaystyle {frac {sigma _{mathrm {eq} }-gamma _{1},I_{1}}{1-gamma _{1}}},{frac {sigma _{mathrm {eq} }+gamma _{1},I_{1}}{1+gamma _{1}}},&I_{1}>0[1em]displaystyle {frac {sigma _{mathrm {eq} }}{1-gamma _{1}}},{frac {sigma _{mathrm {eq} }}{1+gamma _{1}}},&I_{1}leq 0end{array}}ight.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e5badc1256fedb02c6e3bb4e32c3c04f455c74)
s
. Přechod mezi plochami v průřezu
je průběžně diferencovatelné. Kritérium představuje „klasický pohled“ s ohledem na nepružné chování materiálu:
- chování materiálu citlivého na tlak pro
s
a - chování materiálu necitlivého na tlak
s 
Huberovo kritérium lze použít jako mez kluzu s empirickým omezením pro Poissonův poměr při napětí
, což vede k
.
Huberovo kritérium s

a upraveno Huberovo kritérium s

a

v Burzyńského rovině: nastavení podle hypotézy normálního stresu (

). Kritérium von Mises (

) je zobrazen pro srovnání.
Upravené Huberovo kritérium [23][22], viz také [24]
![{displaystyle 3,I_{2}'=left{{ egin{array}{ll}displaystyle {frac {sigma _{mathrm {eq} }-gamma _{1},I_{1}}{1-gamma _{1}}},{frac {sigma _{mathrm {eq} }-gamma _{2},I_{1}}{1-gamma _{2}}},&I_{1}>-d,sigma _{mathrm {+} }[1em]displaystyle {frac {sigma _{mathrm {eq} }^{2}}{(1-gamma _{1}-gamma _{2})^{2}}},&I_{1}leq -d,sigma _{mathrm {+} }end{array}}ight.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7665d54a30d98465586f222a2ad1cf088bfd4d2a)
sestává z Schleicherova elipsoidu s omezením Poissonova poměru při kompresi

a válec s
- přechod v průřezu
. Druhé nastavení parametrů
a
následuje se vztahem komprese / tahu

Upravené Huberovo kritérium lze lépe přizpůsobit naměřeným datům jako Huberovo kritérium. Pro nastavení
následuje
a
.
Kritérium Huber a upravené Huberovo kritérium by mělo být upřednostňováno před kritériem von Mises, protože v dané oblasti lze dosáhnout bezpečnějších výsledků
Pro praktické aplikace je třetí invariant deviátoru
by měla být zohledněna v těchto kritériích [22].
Mohr – Coulombův povrch výnosu
The Mohr – Coulombovo kritérium výtěžku (selhání) je podobné kritériu Tresca s dalšími opatřeními pro materiály s různou pevností v tahu a v tlaku. Tento model se často používá k modelování beton, půda nebo zrnité materiály. Kritérium Mohr – Coulombova výtěžku lze vyjádřit jako:

kde

a parametry
a
jsou meze kluzu (porušení) materiálu v jednoosém tlaku a tahu. Vzorec se redukuje na kritérium Tresca, pokud
.
Obrázek 5 ukazuje Mohr – Coulombovu mez kluzu v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to kónický hranol a
určuje úhel sklonu kuželové plochy. Obrázek 6 ukazuje Mohr – Coulombovu mez kluzu v prostoru dvojrozměrného napětí. Na obrázku 6
a
se používá pro
a
, respektive ve vzorci. Jedná se o průřez tohoto kuželovitého hranolu v rovině
. Na obrázku 6 jsou ve vzorci použity Rr a Rc pro Syc, respektive Syt.
Obrázek 5: Pohled na Mohrovu – Coulombovu mez kluzu v 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 6: Mohr – Coulombova mez kluzu ve 2D prostoru (

)
Drucker – Pragerův výnosový povrch
The Kritérium výnosu Drucker – Prager je podobné kritériu von Misesovy meze kluzu s opatřeními pro manipulaci s materiály s rozdílnou pevností v tahu a v tlaku. Toto kritérium se nejčastěji používá pro beton kde normální i smykové napětí mohou určit selhání. Kritérium výnosu Drucker – Prager lze vyjádřit jako

kde

a
,
jsou jednoosá meze kluzu v tlaku a v tahu. Vzorec se redukuje na von Misesovu rovnici, pokud
.
Obrázek 7 ukazuje Drucker – Pragerův výnosový povrch v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to pravidelný kužel. Obrázek 8 ukazuje výnosovou plochu Drucker – Prager ve dvojrozměrném prostoru. Eliptická elastická doména je průřez kuželem v rovině
; lze jej zvolit k protnutí Mohr – Coulombovy výtěžné plochy v různých počtech vrcholů. Jednou z možností je protnout Mohrovu – Coulombovu výtěžnou plochu ve třech vrcholech na obou stranách
řádek, ale obvykle se podle konvence volí ty v režimu komprese.[25] Další možností je protnout Mohr – Coulombovu mez kluzu ve čtyřech vrcholech na obou osách (jednoosé uložení) nebo ve dvou vrcholech na úhlopříčce
(biaxiální uložení).[26] Kritérium výnosu Drucker-Prager je také běžně vyjádřeno ve smyslu soudržnost materiálu a úhel tření.
Obrázek 7: Pohled na výnosovou plochu Drucker – Prager ve 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 8: Pohled na výnosovou plochu Drucker – Prager ve 2D prostoru hlavních napětí
Bresler – Pister výtěžek povrch
Kritérium výnosu Bresler – Pister je rozšířením Kritérium výnosu Drucker Prager který používá tři parametry a má další termíny pro materiály, které podléhají hydrostatické kompresi. Z hlediska hlavních napětí lze toto kritérium meze vyjádřit jako
![S_{yc} = frac{1}{sqrt{2}}left[(sigma_1-sigma_2)^2+(sigma_2-sigma_3)^2+(sigma_3-sigma_1)^2ight]^{1/2} - c_0 - c_1~(sigma_1+sigma_2+sigma_3) - c_2~(sigma_1+sigma_2+sigma_3)^2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168ce31fef86a9a05a75721a81e088c69edcf24f)
kde
jsou materiálové konstanty. Další parametr
dává výnosový povrch a elipsoidní průřez při pohledu ze směru kolmého na jeho osu. Li
je mez kluzu v jednoosé kompresi,
je mez kluzu v jednoosém napětí a
je mez kluzu v biaxiální kompresi, lze parametry vyjádřit jako

Obrázek 9: Pohled na výnosovou plochu Bresler – Pister ve 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 10: Plocha výnosu Bresler – Pister ve 2D prostoru (

)
Povrch výnosu Willam – Warnke
The Kritérium výnosu Willam – Warnke je tříparametrová vyhlazená verze Mohr – Coulombovo kritérium výtěžku který má podobnou podobu s Drucker – Prager a Bresler – Pister kritéria výnosu.
Kritérium výnosu má funkční formu

Častěji se však vyjadřuje v souřadnicích Haigh-Westergaard jako

Průřez povrchu při pohledu podél jeho osy je vyhlazený trojúhelník (na rozdíl od Mohr – Coulomb). Povrch výnosu Willam – Warnke je konvexní a má jedinečné a dobře definované první a druhé derivace v každém bodě jeho povrchu. Proto je model Willam – Warnke výpočetně robustní a byl použit pro různé soudržně-třecí materiály.
Obrázek 11: Pohled na povrch výnosu Willam – Warnke ve 3D prostoru hlavních napětí
Obrázek 12: Plocha výnosu Willam – Warnke v
-letadloPodgórski a Rosendahl trigonometrické povrchové výnosy
Normalizováno s ohledem na jednoosé tahové napětí
, kritérium Podgórski [27] jako funkce úhlu napětí
čte

s tvarovou funkcí trigonální symetrie v
-letadlo
![{displaystyle Omega _{3}( heta , eta _{3},chi _{3})=cos left[displaystyle {frac {1}{3}}left(pi eta _{3}-arccos[,sin(chi _{3},{frac {pi }{2}}),!cos 3, heta ,]ight)ight],qquad eta _{3}in [0,,1],quad chi _{3}in [-1,,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31655f9e540e841ea6d966f7a0bdbe1fd6304b4a)
Obsahuje kritéria von Mises (kruh v
-letadlo,
,
), Tresca (pravidelný šestiúhelník,
,
), Mariotte (pravidelný trojúhelník,
,
), Ivlev [28] (pravidelný trojúhelník,
,
) a také kubické kritérium Sayira [29] (Ottosenovo kritérium [30]) s
a isotoxální (rovnostranné) šestiúhelníky kritéria Capurso[28][29][31] s
. Přechod von Mises - Tresca [32] následuje s
,
. Isogonal (equiangular) šestiúhelníky Haythornthwaite kritéria [22][33][34] obsahující Schmidt-Ishlinsky kritérium (pravidelný šestiúhelník) nelze popsat s Podgórski ctiterion.
Kritérium Rosendahl [35] [36] čte

s tvarovou funkcí hexagonální symetrie v
-letadlo
![{displaystyle Omega _{6}( heta , eta _{6},chi _{6})=cos left[displaystyle {frac {1}{6}}left(pi eta _{6}-arccos[,sin(chi _{6},{frac {pi }{2}}),!cos 6, heta ,]ight)ight],qquad eta _{6}in [0,,1],quad chi _{6}in [-1,,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e980c867fa1766fcc5a741ecf363e19c05a8bfe8)
Obsahuje kritéria von Mises (kruh,
,
), Tresca (pravidelný šestiúhelník,
,
), Schmidt - Ishlinsky (pravidelný šestiúhelník,
,
), Sokolovský (pravidelný dodekagon,
,
), a také bikubické kritérium Szweda [22][37] s
nebo stejně[35] s
a isotoxální dodecagony podle kritéria jednotného výnosu Yu [38] s
. Isogonal dodecagons of multiplicative ansatz kritérium hexagonální symetrie [22] obsahující kritérium Ishlinsky-Ivlev (pravidelný dodekagon) nelze popsat kritériem Rosendahl.
Kritéria Podgórského a Rosendahla popisují jednotlivé povrchy v hlavním napěťovém prostoru bez dalších vnějších obrysů a rovinných průsečíků. Pamatujte, že aby se předešlo numerickým problémům, funkce skutečné součásti
lze zavést do tvarové funkce:
a
. Zobecnění ve formě
[35] je relevantní pro teoretická šetření.
Lineárně lze dosáhnout rozšíření kritérií citlivých na tlak
-střídání [22]

což je dostačující pro mnoho aplikací, např. kovy, litina, slitiny, beton, nevyztužené polymery atd.
Základní průřezy popsané kružnicí a pravidelnými polygony trigonální nebo hexagonální symetrie v

-letadlo.
Bigoni – Piccolroaz výnosová plocha
The Kritérium výtěžku Bigoni – Piccolroaz [39][40] je sedmiparametrový povrch definovaný

kde
je funkce „poledníku“
![F(p) =
left{
egin{array}{ll}
-M p_c sqrt{(phi - phi^m)[2(1 - alpha)phi + alpha]}, & phi in [0,1],
+infty, & phi otin [0,1],
konec {pole}
ight.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9948aa54df1e39ab115e425b19f088dff39beadc)

popisující citlivost na tlak a
je „deviátorová“ funkce[41]
![g( heta) = frac{1}{cos[ eta frac{pi}{6} - frac{1}{3} cos^{-1}(gamma cos 3 heta)]},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba97f3c7548243d55f4c6736d862e34b31b04cb)
popisující závislost Lode na výtěžku. Sedm nezáporných materiálových parametrů:

definovat tvar poledníku a deviátorového řezu.
Toto kritérium představuje hladký a konvexní povrch, který je uzavřen jak hydrostatickým napětím, tak tlakem a má kapkovitý tvar, zvláště vhodný pro popis třecích a zrnitých materiálů. Toto kritérium bylo rovněž zobecněno na případy povrchů s rohy.[42]
V 3D prostoru hlavních napětí
V

-letadlo
Bigoni-Piccolroaz výtěžek povrchu
Cosine Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)
Pro formulaci kritérií pevnosti je úhel napětí

může být použito.
Následující kritérium chování izotropního materiálu

obsahuje řadu dalších známých méně obecných kritérií za předpokladu, že jsou vybrány vhodné hodnoty parametrů.
Parametry
a
popsat geometrii povrchu v
-letadlo. Podléhají omezením

které vyplývají ze stavu konvexity. Přesnější formulace třetích omezení je navržena v.[43] [44]
Parametry
a
popsat polohu průsečíků meze kluzu s hydrostatickou osou (úhlopříčka prostoru v hlavním napěťovém prostoru). Tyto průsečíky se nazývají hydrostatické uzly. V případě materiálů, které při hydrostatickém tlaku neporuší (ocel, mosaz atd.),
. Jinak to platí pro materiály, které selhávají při hydrostatickém tlaku (tvrdé pěny, keramika, slinuté materiály atd.)
.
Celočíselné mocniny
a
,
popsat zakřivení poledníku. Poledník s
je přímka a s
- parabola.
Barlatův výnosový povrch
U anizotropních materiálů se mechanické vlastnosti liší v závislosti na směru aplikovaného procesu (např. Válcování), a proto je rozhodující použití funkce anizotropního výtěžku. Od roku 1989 Frederic Barlat vyvinula rodinu výnosových funkcí pro konstitutivní modelování plastické anizotropie. Mezi nimi byla kritéria výtěžnosti Yld2000-2D použita pro širokou škálu plechů (např. Slitiny hliníku a pokročilé vysokopevnostní oceli). Model Yld2000-2D je nekvadratická funkce výtěžku založená na dvou lineárních transformacích tenzoru napětí:
:
Yld2000-2D výtěžek lokusů pro list AA6022 T4.
- kde
je efektivní stres. a
a
jsou transformované matice (lineární transformací C nebo L): 
- kde s je deviátorový tenzor napětí.
pro hlavní hodnoty X 'a X “lze model vyjádřit jako:

a: