Věta o třech okamžicích - Theorem of three moments

v stavební inženýrství a strukturální analýza Clapeyron je věta tří okamžiků je vztah mezi ohybovými momenty ve třech po sobě jdoucích podporách vodorovného nosníku.

Nechat A, B, C být třemi po sobě jdoucími body podpory a označovat l délka AB a ${displaystyle l '}$ délka před naším letopočtemtím, že w a ${displaystyle w '}$ hmotnost na jednotku délky v těchto segmentech. Pak^[1] ohybové momenty ${displaystyle M_ {A} ,, M_ {B} ,, M_ {C}}$ ve třech bodech souvisí:

${displaystyle M_ {A} l + 2M_ {B} (l + l ') + M_ {C} l' = {frac {1} {4}} wl ^ {3} + {frac {1} {4}} w '(l') ^ {3}.}$

Tuto rovnici lze také zapsat jako ^[2]

${displaystyle M_ {A} l + 2M_ {B} (l + l ') + M_ {C} l' = {frac {6a_ {1} x_ {1}} {l}} + {frac {6a_ {2} x_ {2}} {l '}}}$

kde A₁ je oblast na diagram ohybového momentu kvůli svislému zatížení na AB, A₂ je oblast kvůli zatížení na BC, X₁ je vzdálenost od A k těžišti diagramu ohybového momentu paprsku AB, X₂ je vzdálenost od C k těžišti oblasti diagramu ohybového momentu paprsku BC.

Druhá rovnice je obecnější, protože nevyžaduje rovnoměrné rozložení hmotnosti každého segmentu.

Obrázek 01 - Ukázka souvislého řezu paprskem

Odvození tří momentových rovnic

Mohrova teorém^[3] lze použít k odvození věty o třech momentech^[4] (TMT).

Mohrova první věta

Změna v sklon a výchylka křivka mezi dvěma body paprsku se rovná ploše M / EI diagramu mezi těmito dvěma body. (obrázek 02)

Obrázek 02 - Mohrova první věta

Mohrova druhá věta

Uvažujme dva body k1 a k2 na a paprsek. The výchylka k1 a k2 vzhledem k průsečíku mezi tečnou v k1 a k2 a svislou přímkou ​​k1 se rovná momentu M / EI diagramu mezi k1 a k2 kolem k1. (Obrázek 03)

Figure03 - Mohrova druhá věta

Rovnice tří momentů vyjadřuje vztah mezi ohybové momenty ve třech po sobě následujících podpěrách spojitého nosníku, vystavených zatížení na dvě sousední pole s nebo bez vyrovnání podpěr.

Znamení konvence

Podle obrázku 04,

1. Moment M1, M2 a M3 je pozitivní, pokud způsobí komprese v horní části paprsku. ([: wikt: povislá | povislá]] pozitivní)
2. The výchylka dolů pozitivní. (Kladné vyrovnání dolů)
3. Nechť ABC je a kontinuální paprsek s podporou v A, B a C. Pak jsou momenty v A, B a C M1, M2 a M3.
4. Nechť A 'B' a C 'jsou konečné polohy paprsku ABC kvůli podpoře osady.

Obrázek 04 - Průhybová křivka spojitého nosníku pod usazením

Odvození věty o třech okamžicích

PB'Q je tečna nakreslená na B 'pro finále Elastický Křivka A'B'C 'z paprsek ABC. RB'S je vodorovná čára vedená skrz B '. Zvažte, trojúhelníky RB'P a QB'S.

${displaystyle {dfrac {PR} {RB '}} = {dfrac {SQ} {B'S}},}$

${displaystyle {dfrac {PR} {L1}} = {dfrac {SQ} {L2}}}$

(1)

${displaystyle PR = Delta B-Delta A + PA '}$

(2)

${displaystyle SQ = Delta C-Delta B-QC '}$

(3)

Z (1), (2) a (3),

${displaystyle {dfrac {Delta B-Delta A + PA '} {L1}} = {dfrac {Delta C-Delta B-QC'} {L2}}}$

${displaystyle {dfrac {PA '} {L1}} + {dfrac {QC'} {L2}} = {dfrac {Delta A-Delta B} {L1}} + {dfrac {Delta C-Delta B} {L2} }}$

(A)

Nakreslete diagram M / EI a najděte PA 'a QC'.

Obrázek 05 - Diagram M / EI

Z Mohrovy druhé věty
PA '= První okamžik oblasti M / EI diagramu mezi A a B kolem A.

${displaystyle PA '= left ({frac {1} {2}} imes {frac {M_ {1}} {E_ {1} I_ {1}}} imes L_ {1} ight) imes L_ {1} imes { frac {1} {3}} + vlevo ({frac {1} {2}} imes {frac {M_ {2}} {E_ {2} I_ {2}}} imes L_ {1} ight) imes L_ { 1} imes {frac {2} {3}} + {frac {A_ {1} X_ {1}} {E_ {1} I_ {1}}}}$

QC '= První okamžik oblasti M / EI diagramu mezi B a C kolem C.

${displaystyle QC '= left ({frac {1} {2}} imes {frac {M_ {3}} {E_ {2} I_ {2}}} imes L_ {2} ight) imes L_ {2} imes { frac {1} {3}} + vlevo ({frac {1} {2}} imes {frac {M_ {2}} {E_ {2} I_ {2}}} imes L_ {2} ight) imes L_ { 2} imes {frac {2} {3}} + {frac {A_ {2} X_ {2}} {E_ {2} I_ {2}}}}$

Náhradou v PA 'a QC' v rovnici (a) lze získat tříkomorovou větu (TMT).

Tří momentová rovnice

${displaystyle {frac {M_ {1} L_ {1}} {E_ {1} I_ {1}}} + 2M_ {2} vlevo ({frac {L_ {1}} {E_ {1} I_ {1}} } + {frac {L_ {2}} {E_ {2} I_ {2}}} ight) + {frac {M_ {3} L_ {2}} {E_ {2} I_ {2}}} = 6 [ {frac {Delta A-Delta B} {L_ {1}}} + {frac {Delta C-Delta B} {L_ {2}}}] - 6 [{frac {A_ {1} X_ {1}} { E_ {1} I_ {1} L_ {1}}} + {frac {A_ {2} X_ {2}} {E_ {2} I_ {2} L_ {2}}}]}}$

Poznámky

externí odkazy

• CodeCogs: Spojité nosníky s více než jedním rozpětím