Bettisova věta - Bettis theorem - Wikipedia

Bettiho věta, také známý jako Maxwellova-Bettiho reciproční pracovní věta, objeveno uživatelem Enrico Betti v roce 1872 uvádí, že pro lineární elastickou strukturu vystavenou dvěma sadám sil {P_i} i = 1, ..., na a {Q_j}, j = 1,2, ..., n, the práce provedený množinou P prostřednictvím posunů produkovaných množinou Q se rovná práci provedené množinou Q prostřednictvím posunů produkovaných množinou P. Tato věta má aplikace v pozemní stavitelství kde se používá k definování ovlivňující čáry a odvodit metoda hraničních prvků.

Bettiho věta se používá při navrhování mechanismů vyhovujících přístupu optimalizace topologie.

Důkaz

Zvažte pevné těleso vystavené dvojici vnějších silových systémů, označovaných jako ${ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ a ${ displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$. Uvažujme, že každý silový systém způsobuje pole posunutí, přičemž posuny měřené v místě působení vnější síly jsou označovány jako ${ displaystyle d_ {i} ^ {P}}$ a ${ displaystyle d_ {i} ^ {Q}}$.

Když ${ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ Silový systém je aplikován na konstrukci, rovnováha mezi prací vykonanou vnějším silovým systémem a deformační energií je:

${ displaystyle { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {P} = { frac {1} {2 }} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {P} epsilon _ {ij} ^ {P} , d Omega}$

Pracovní a energetická bilance spojená s ${ displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$ silový systém je následující:

${ displaystyle { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {Q} = { frac {1} {2 }} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {ij} ^ {Q} , d Omega}$

Zvažte to s ${ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ použitý silový systém, ${ displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$ silový systém se použije následně. Jako ${ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ je již aplikováno, a proto nezpůsobí žádné další posunutí, rovnováha pracovní energie předpokládá následující výraz:

${ displaystyle { frac {1} {2}} suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {P} + { frac {1} {2 }} sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {Q} + sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P } d_ {i} ^ {Q} = { frac {1} {2}} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {P} epsilon _ {ij} ^ {P} , d Omega + { frac {1} {2}} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {ij} ^ {Q} , d Omega + int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {P} epsilon _ {ij} ^ {Q} , d Omega}$

Naopak, vezmeme-li v úvahu ${ displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$ silový systém již byl použit a ${ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ následně aplikovaný vnější silový systém bude mít rovnováha práce a energie následující výraz:

${ displaystyle { frac {1} {2}} suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {Q} + { frac {1} {2 }} sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {P} + sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q } d_ {i} ^ {P} = { frac {1} {2}} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {ij} ^ {Q} , d Omega + { frac {1} {2}} int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {P} epsilon _ {ij} ^ {P} , d Omega + int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {ij} ^ {P} , d Omega}$

Pokud se pracovní a energetická bilance pro případy, kdy jsou vnější silové systémy aplikovány izolovaně, odečtou od případů, kdy jsou silové systémy aplikovány současně, dospějeme k následujícím rovnicím:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q} = int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {P} epsilon _ {ij} ^ {Q} , d Omega}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {P} = int _ { Omega} sigma _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {ij} ^ {P} , d Omega}$

Pokud je pevné těleso, kde jsou aplikovány silové systémy, tvořeno a lineární elastický materiál a pokud jsou silové systémy takové, že pouze nekonečně malé kmeny jsou pozorovány v těle, pak v těle konstitutivní rovnice, které mohou následovat Hookeův zákon, lze vyjádřit následujícím způsobem:

${ displaystyle sigma _ {ij} = D_ {ijkl} epsilon _ {kl}}$

Nahrazení tohoto výsledku v předchozí sadě rovnic nás vede k následujícímu výsledku:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q} = int _ { Omega} D_ {ijkl} epsilon _ {ij} ^ {P} epsilon _ {kl} ^ {Q} , d Omega}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {Q} d_ {i} ^ {P} = int _ { Omega} D_ {ijkl} epsilon _ {ij} ^ {Q} epsilon _ {kl} ^ {P} , d Omega}$

Pokud odečteme obě rovnice, získáme následující výsledek:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q} = sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} ^ { Q} d_ {i} ^ {P}}$

Příklad

Pro jednoduchý příklad nechť m = 1 an = 1. Zvažte horizontální paprsek ve kterém byly definovány dva body: bod 1 a bod 2. Nejprve aplikujeme vertikální sílu P v bodě 1 a změříme vertikální posunutí bodu 2, označeného ${ displaystyle Delta _ {P2}}$. Dále odstraníme sílu P a aplikujeme vertikální sílu Q v bodě 2, která způsobí vertikální posunutí v bodě 1 ${ displaystyle Delta _ {Q1}}$. Bettiho věta o vzájemnosti uvádí, že:

${ displaystyle P , Delta _ {Q1} = Q , Delta _ {P2}.}$

Příklad Bettiho věty

Viz také

• D'Alembertův princip

Reference

• Ghali; DOPOLEDNE. Neville (1972). Strukturální analýza: jednotný klasický a maticový přístup. Londýn, New York: E & FN SPON. str. 215. ISBN  0-419-21200-0.