Orientace čáry kolmé na střední rovinu silné knihy v ohybu.
The Teorie paprsku Timoshenko-Ehrenfest byl vyvinut společností Stephen Timoshenko a Paul Ehrenfest[1][2][3] počátkem 20. století.[4][5] Model bere v úvahu smyková deformace a rotační ohýbání efekty, takže je vhodný pro popis chování silných paprsků, sendvičové kompozitní nosníky nebo paprsky vystavené vysokýmfrekvence buzení, když vlnová délka se blíží tloušťce paprsku. Výsledná rovnice je 4. řádu, ale na rozdíl od ní Teorie paprsku Euler – Bernoulli, je také přítomna parciální derivace druhého řádu. Fyzicky, s přihlédnutím k přidaným mechanismům deformace, se účinně snižuje tuhost nosníku, přičemž výsledkem je větší průhyb při statickém zatížení a nižší predikce vlastní frekvence pro danou sadu okrajových podmínek. Druhý efekt je patrnější u vyšších frekvencí, protože vlnová délka je kratší (v zásadě srovnatelná s výškou paprsku nebo kratší), a tím se zmenšuje vzdálenost mezi protilehlými smykovými silami.
Efekt rotační setrvačnosti zavedl Bresse[6] a Rayleigh[7].
Pokud tažný modul materiálu paprsku se blíží k nekonečnu - a paprsek se tak ve smyku ztuhne - a pokud jsou zanedbány účinky rotační setrvačnosti, teorie paprsku Timoshenko konverguje k běžné teorii paprsku.
Kvazistatický paprsek Timoshenko
Deformace paprsku Timoshenko (modrá) ve srovnání s deformací paprsku Euler-Bernoulli (červená).
Deformace paprsku Timoshenko. Normální se otáčí o částku

což se nerovná

.
v statický Teorie paprsku Timoshenko bez axiálních účinků, předpokládá se, že posunutí paprsku je dáno

kde
jsou souřadnice bodu v paprsku,
jsou složky vektoru posunutí ve třech směrech souřadnic,
je úhel otáčení normály k střední ploše paprsku a
je posunutí střední plochy v
-směr.
Řídicí rovnice jsou následující spojený systém obyčejné diferenciální rovnice:

Teorie paprsku Timoshenko pro statický případ je ekvivalentní s Euler-Bernoulliho teorie když je zanedbán poslední termín výše, aproximace, která je platná, když

kde
je délka paprsku.
je plocha průřezu.
je modul pružnosti.
je tažný modul.
je druhý okamžik oblasti.
, nazývaný Timoshenkovy smykový koeficient, závisí na geometrii. Normálně,
pro obdélníkový průřez.
je rozložené zatížení (síla na délku).
Kombinace dvou rovnic dává pro homogenní paprsek konstantního průřezu

Ohybový moment
a smykovou sílu
v paprsku souvisí s posunem
a rotace
. Tyto vztahy pro lineární elastický paprsek Timoshenko jsou:

Odvození kvazistatických rovnic paprsku Timoshenko |
---|
Z kinematických předpokladů pro paprsek Timoshenko jsou posuny paprsku dány vztahem
Potom ze vztahů deformace a posunu u malých kmenů jsou nenulové kmeny založené na Timoshenkových předpokladech 
Protože skutečné smykové napětí v paprsku není v průřezu konstantní, zavedeme korekční faktor takhle 
Změna vnitřní energie paprsku je ![{displaystyle delta U = int _ {L} int _ {A} (sigma _ {xx} delta varepsilon _ {xx} + 2sigma _ {xz} delta varepsilon _ {xz}) ~ mathrm {d} A ~ mathrm {d } L = int _ {L} int _ {A} vlevo [-z ~ sigma _ {xx} {frac {částečný (delta varphi)} {částečný x}} + sigma _ {xz} ~ vlevo kappa (-delta varphi + {frac {částečný (delta w)} {částečný x}} ight) ight] ~ mathrm {d} A ~ mathrm {d} L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8538120f720cdf9758cf966457cc594ab501443)
Definovat 
Pak ![{displaystyle delta U = int _ {L} vlevo [-M_ {xx} {frac {částečný (delta varphi)} {částečný x}} + Q_ {x} vlevo (-delta varphi + {frac {částečný (delta w) } {částečné x}} ight) ight] ~ mathrm {d} L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36737b1d63a52a76cf0d34f07d97b340ccd61cb)
Integrace po částech a konstatování, že kvůli okrajovým podmínkám jsou variace na koncích paprsku nulové, vede k ![{displaystyle delta U = int _ {L} vlevo [vlevo ({frac {částečné M_ {xx}} {částečné x}} - Q_ {x} ight) ~ delta varphi - {frac {částečné Q_ {x}} {částečné x}} ~ delta wight] ~ mathrm {d} L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f25d6c444400ea89df8677e062734fb86236ac)
Variace vnější práce prováděné na nosníku příčným zatížením na jednotku délky je 
Pak pro kvazistatický paprsek dává princip virtuální práce ![delta U = delta W znamená
int_L vlevo [vlevo (frac {částečné M_ {xx}} {částečné x} - Q_xight) ~ deltavarphi - vlevo (frac {částečné Q_ {x}} {částečné x} + qight) ~ delta wight] ~ mathrm {d} L = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70338b0e41cd72e9b72cfa2dba0e4e4329467ee)
Řídicí rovnice pro paprsek jsou ze základní věty variačního počtu, 
Pro lineární pružný paprsek 
Proto mohou být řídící rovnice pro paprsek vyjádřeny jako ![egin {zarovnat}
frac {částečné} {částečné x} vlevo (EIfrac {částečné varphi} {částečné x} ight) + kappa AG ~ vlevo (frac {částečné w} {částečné x} -varphiight) & = 0
frac {částečné} {částečné x} vlevo [kappa AG vlevo (frac {částečné w} {částečné x} - varphiight) ight] + q & = 0
konec {zarovnat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1694f92bbda646acb7cbfca5f0497ff4165cac)
Kombinace dvou rovnic dohromady dává 
|
Okrajové podmínky
Dvě rovnice, které popisují deformaci paprsku Timoshenko, je třeba doplnit okrajové podmínky pokud mají být vyřešeny. K vyřešení problému jsou zapotřebí čtyři okrajové podmínky dobře pózoval. Typické okrajové podmínky jsou:
- Jednoduše podepřené nosníky: Posunutí
je nula v místech dvou podpěr. The ohybový moment
také musí být specifikováno použití aplikované na paprsek. Rotace
a příčnou smykovou sílu
nejsou specifikovány. - Upnuté paprsky: Posunutí
a rotace
jsou na upnutém konci označeny jako nula. Pokud je jeden konec volný, smyková síla
a ohybový moment
na tomto konci musí být upřesněno.
Příklad: Konzolový nosník
Konzolový nosník Timoshenko pod bodovým zatížením na volném konci
Pro konzolový nosník, jedna hranice je upnuta, zatímco druhá je volná. Pojďme použít a pravostranný souřadnicový systém Kde
směr je pozitivní směrem doprava a
směr je kladný nahoru. Podle běžné konvence předpokládáme, že pozitivní síly působí v pozitivních směrech
a
osy a kladné momenty působí ve směru hodinových ručiček. Rovněž předpokládáme, že znaková konvence výslednice stresu (
a
) je takový, že kladné ohybové momenty stlačují materiál ve spodní části nosníku (nižší
souřadnice) a kladné smykové síly otáčejí paprskem proti směru hodinových ručiček.
Předpokládejme, že upnutý konec je na
a volný konec je v
. Pokud je bodové zatížení
je aplikován na volný konec v pozitivu
směr, a diagram volného těla paprsku nám dává

a

Z výrazů pro ohybový moment a smykovou sílu tedy máme

Integrace první rovnice a aplikace okrajové podmínky
na
, vede k

Druhá rovnice může být zapsána jako

Integrace a aplikace okrajové podmínky
na
dává

Axiální napětí je dáno vztahem

Dynamický paprsek Timoshenko
V teorii paprsku Timoshenko bez axiálních účinků se předpokládá, že posunutí paprsku je dáno vztahem

kde
jsou souřadnice bodu v paprsku,
jsou složky vektoru posunutí ve třech směrech souřadnic,
je úhel rotace normály k střední ploše paprsku a
je posunutí střední plochy v
-směr.
Počínaje výše uvedeným předpokladem lze teorii paprsku Timoshenko, která umožňuje vibrace, popsat pomocí spojené lineární parciální diferenciální rovnice:[8]
![ho Afrac {částečné ^ {2} w} {částečné t ^ {2}} - q (x, t) = frac {částečné} {částečné x} vlevo [kappa AG vlevo (frac {částečné w} {částečné x} - varphiight) ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ae3e2d14c1b5e59f0e4cd53c7a506b7d1111f8)

kde jsou závislé proměnné
, translační posunutí paprsku a
, úhlové posunutí. Všimněte si, že na rozdíl od Euler-Bernoulli Teorie, úhlová výchylka je další proměnná a není aproximována sklonem výchylky. Taky,
je hustota materiálu paprsku (ale ne lineární hustota ).
je plocha průřezu.
je modul pružnosti.
je tažný modul.
je druhý okamžik oblasti.
, nazývaný Timoshenkovy smykový koeficient, závisí na geometrii. Normálně,
pro obdélníkový průřez.
je rozložené zatížení (síla na délku).

Tyto parametry nemusí být nutně konstanty.
Pro lineární elastický, izotropní, homogenní paprsek s konstantním průřezem lze tyto dvě rovnice kombinovat[9][10]

Odvození kombinované rovnice paprsku Timoshenko |
---|
Rovnice, kterými se řídí ohyb homogenního paprsku Timoshenko s konstantním průřezem, jsou
Z rovnice (1), za předpokladu odpovídající hladkosti, máme 
Diferenciační rovnice (2) dává 
Dosazením rovnice (3), (4), (5) do rovnice (6) a přeskupením dostaneme 
|
Timoshenkova rovnice předpovídá kritickou frekvenci
U normálních režimů lze vyřešit rovnici Timoshenko. Jako rovnice čtvrtého řádu existují čtyři nezávislá řešení, dvě oscilační a dvě evanescentní pro frekvence pod
. Pro frekvence větší než
všechna řešení jsou oscilační a v důsledku toho se objeví druhé spektrum.[11]
Axiální efekty
Pokud jsou posuny paprsku dány vztahem

kde
je další posunutí v
-směr, pak mají podobu řídící rovnice paprsku Timoshenko
![egin {zarovnat}
m frac {částečné ^ {2} w} {částečné t ^ {2}} & = frac {částečné} {částečné x} vlevo [kappa AG vlevo (frac {částečné w} {částečné x} -varphiight) ight] + q (x, t)
J frac {částečné ^ {2} varphi} {částečné t ^ {2}} & = N (x, t) ~ frac {částečné w} {částečné x} + frac {částečné} {částečné x} vlevo (EIfrac {částečné varphi} {částečné x} ight) + kappa AGleft (frac {částečné w} {částečné x} -varphiight)
konec {zarovnat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c35d8e346f27ef78d0a9c29ac3449ed4fb94b21)
kde
a
je zevně působící axiální síla. Jakákoli vnější axiální síla je vyvážena výsledníkem napětí

kde
je axiální napětí a předpokládá se tloušťka nosníku
.
Kombinovaná rovnice paprsku včetně účinků axiální síly je

Tlumení
Pokud kromě axiálních sil předpokládáme tlumicí sílu, která je úměrná rychlosti s tvarem

spojené řídící rovnice pro paprsek Timoshenko mají podobu
![m frac {částečné ^ {2} w} {částečné t ^ {2}} + eta (x) ~ cfrac {částečné w} {částečné t} = frac {částečné} {částečné x} vlevo [kappa AG vlevo (frac { parciální w} {parciální x} -varphiight) ight] + q (x, t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72225eea89af02d344a6877126ab80e276b33c9)

a kombinovaná rovnice se stane

Upozornění na tuto tlumící sílu Ansatz (připomínající viskozitu) spočívá v tom, že zatímco viskozita vede k frekvenčně závislé a na amplitudě nezávislé rychlosti tlumení kmitů paprsku, empiricky měřené rychlosti tlumení jsou necitlivé na frekvenci, ale závisí na amplitudě vychýlení paprsku .
Součinitel smyku
Stanovení smykového koeficientu není přímé (ani stanovené hodnoty nejsou široce přijímány, tj. Existuje více než jedna odpověď); obecně musí splňovat:
.
Součinitel smyku závisí na Poissonův poměr. Pokusy poskytnout přesné výrazy byly učiněny mnoha vědci, včetně Stephen Timoshenko,[12] Raymond D. Mindlin,[13] G. R. Cowper,[14] N. G. Stephen,[15] J. R. Hutchinson[16] atd. (viz také odvození teorie paprsku Timoshenko jako teorie rafinovaného paprsku založené na variačně-asymptotické metodě v knize Khanh C. Le[17] což vede k různým smykovým koeficientům ve statických a dynamických případech). V technické praxi jsou výrazy Stephen Timoshenko[18] jsou ve většině případů dostačující. V roce 1975 Kaneko[19] zveřejnil vynikající přehled studií smykového koeficientu. Nedávno nové experimentální údaje ukazují, že smykový koeficient je podhodnocen [20][21].
Podle Cowpera (1966) pro plné obdélníkové průřezy,

a pro plné kruhové průřezy,

kde
je Poissonův poměr.
Viz také
Reference
- ^ Isaac Elishakoff, 2020. Kdo vyvinul takzvanou teorii paprsku Timoshenko? Matematika a mechanika těles, 25 (1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
- ^ Elishakoff, I., 2020, Handbook on Timoshenko-Ehrenfest Beam and Uflyand-Mindlin Plate Theories, World Scientific, Singapore, ISBN 978-981-3236-51-6
- ^ Grigolyuk, E.I., 2002, S.P.Timoshenko: Life and Destiny, Moskva: Aviation Institute Press (v ruštině)
- ^ Timoshenko, S. P., 1921, Na korekčním faktoru pro smykovou diferenciální rovnici pro příčné vibrace tyčí stejnoměrného průřezu, Philosophical Magazine, str. 744.
- ^ Timoshenko, S. P., 1922, Na příčné vibrace tyčí rovnoměrného průřezu, Philosophical Magazine, str. 125.
- ^ Bresse J.A.C., 1859, Cours de mécanique appliquée - Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paříž, Gauthier-Villars (ve francouzštině)
- ^ Rayleigh Lord (J. W. S. Strutt), 1877-1878, Theory of Sound, London: Macmillan (viz také Dover, New York, 1945)
- ^ Timoshenkovy paprskové rovnice
- ^ Thomson, W. T., 1981, Teorie vibrací s aplikacemi, druhé vydání. Prentice-Hall, New Jersey.
- ^ Rosinger, H. E. a Ritchie, I. G., 1977, Na Timoshenkově korekci smyku ve vibračních izotropních paprskechJ. Phys. D: Appl. Phys., Sv. 10, str. 1461-1466.
- ^ „Experimentální studium předpovědí teorie paprsku Timoshenko“, A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, R.A. Méndez-Sánchez, G. Monsivais a A. Morales, Journal of Sound and Vibration, svazek 331, číslo 26, 17. prosince 2012, str. 5732–5744.
- ^ Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik, Julius Springer.
- ^ Mindlin, R. D., Deresiewicz, H., 1953, Součinitel smyku Timoshenko pro ohybové vibrace nosníků, Technical Report No. 10, ONR Project NR064-388, Department of Civil Engineering, Columbia University, New York, NY
- ^ Cowper, G. R., 1966, „Shear Coefficient in Timoshenko’s Beam Theory“, J. Appl. Mech., Sv. 33, č. 2, s. 335–340.
- ^ Stephen, N. G., 1980. „Součinitel smyku Timoshenka ze svazku vystaveného gravitačnímu zatížení“, Journal of Applied Mechanics, sv. 47, č. 1, s. 121–127.
- ^ Hutchinson, J. R., 1981, „Příčná vibrace paprsků, přesné versus přibližné řešení“, Journal of Applied Mechanics, sv. 48, č. 12, str. 923–928.
- ^ Le, Khanh C., 1999, Vibrace mušlí a prutůSpringer.
- ^ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanika materiálů. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. strany 207.
- ^ Kaneko, T., 1975, „O Timoshenkově korekci smyku ve vibračních paprskech“, J. Phys. D: Appl. Phys., Sv. 8, str. 1927–1936.
- ^ „Experimentální kontrola přesnosti teorie paprsku Timoshenka“, R. A. Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
- ^ „O přesnosti teorie paprsku Timoshenko nad kritickou frekvencí: nejlepší koeficient smyku“, J. A. Franco-Villafañe a R. A. Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, leden 2016, s. 1–4. DOI: 10.1017 / jmech.2015.104.